Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
Дәрістер 1-5
- Бұл бет үшін навигация:
- (2.10) Анықтама 1.
- Анықтама 2.
- (2.11) (2.11) – гиперболалық теңдеудің бірінші канондық түрі деп аталады. Егер де сызықты алмастыруын жазсақ, онда (2.11) мына түрде жазылады: (2.12)
- (2.13) Енді коэффициентті түрлендірсек, онда (2.14)
| Ескерту 1. Егер де функция аргументтері бойынша сызықты болса, онда аргументтері бойынша да сызықты функция болады (дәлелдеңдер).
Жоғарыда келтірілген алмастыру (2.2) функциялар мен таңдау арқылы (2.6) теңдеудің кейбір коэффициенттерін нөлге айландыра, теңдеуді ықшамдауға (канондық түрге келтіруге) болады. Алғашқы (2.1) теңдеудің коэфициенті дейік. Жаңа (2.5) теңдеудің коэффициенті болу үшін, функция (2.9) теңдеудің шешімі болуы қажет. Екінші дәрежесі (2.9) теңдеуді бойынша шешіп немесе бірінші дәрежелі екі теңдеу аламыз: Алынған бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерге сәйкес сипатаушы теңдеулері: осы екі теңдеулер жүйесін біріктіріп, мына жай дифференциалдық теңдеуді аламыз: (2.10) Анықтама 1. Теңдеу (2.10) дербес туындылы 2-ретті дифференциалдық теңдеудің (2.1) сипаттаушы теңдеуі деп аталады, ал (2.10) теңдеуінің бірінші интегралдары , (2.1) теңдеудің сипаттаушы қисықтары дейді. Алынған нәтижелерді тұжырымдап, мына лемманы аламыз. Лемма. Егер функциясы (2.9) теңдеудің дербес шешімі болса, онда (2.10) теңдеудің жалпы интегралы болады және керісінше, егер (2.10) теңдеудің жалпы интегралы болса, онда (2.9) теңдеудің шешімі болады. Сипаттаушы (2.10) теңдеудің қанша шешімі бар және шешімі қандай функциялар болатыны детерменанттың әрбір нүктедегі таңбасына байланысты. Детерменант таңбасына байланысты (2.1) мынадай типтерге бөлінеді. Анықтама 2. Егер де нүкте детерменант немесе немесе болса, онда (2.1) теңдеу нүктеде сәйкес гиперболалық, параболалық, эллиптикалық типке жатады дейді. Анықтама 3. Егер де аймағының әрбір нүктесінде теңдеу (2.1) гиперболалық немесе эллиптикалық немесе параболалық типке жатса, онда теңдеу (2.1) аймақта гиперболалық, не эллиптикалық, не параболалық типке жатады дейді. Ескерту 2. Теңдік (2.8) дифференциалдық теңдеудің типтерінің инварианттылығын көрсетеді, яғни (2.2)-(2.3) алмастыру нәтижесінде типтердің типтері өзгермейді. Енді аймақта (2.1) теңдеудің типтері өзгермейді деп есептеп, әр типке жеке-жеке канондық түрге келтірейік: 1) (гиперболалық тип). Бұл жағдайда сипаттаушы теңдеу (2.10) екі түрліше нақты бірінші интегралдары , бар. Егер десек, онда лемма бойынша коэффициенттері болады. Коэффициент , егер де деп жорысақ, онда (2.8) теңдіктен аламыз, яғни , функцияларға байланысты, (2.3) шарт орындалмайды. Сондықтан коэффициент . Алмастыру нәтижесінде (2.6) теңдеуді мына түрде жазуға болады: (2.11) (2.11) – гиперболалық теңдеудің бірінші канондық түрі деп аталады. Егер де сызықты алмастыруын жазсақ, онда (2.11) мына түрде жазылады: (2.12) (2.12) теңдік – гиперболалық теңдеудің 2-канондық түрі деп аталады. 2) (параболалық тип). Бұл жағдайда сипаттаушы теңдеудің жалғыз нақты бірінші интегралы болады. Сондықтан кез-келген функцияға тәуелсіз, яғни (2.3) шарт орындалатын функциясын аламыз. Лемманың негізінде коэффициент болады. Бұл жағдайда коэффициент болатынын көрсетейік. Шынында да, керісінше Осыдан, (2.13) Енді коэффициентті түрлендірсек, онда (2.14) (2.13) теңдікті ескеріп, (2.14) теңдіктен коэффициенті болатынын көреміз. Коэффициент . Егер де коэффициент деп жорысақ, онда осыдан, (2.15) (2.13) пен (2.15) теңдіктерден болғандықтан , яғни функциялар пен тәуелділігі шығады. Алынған қарама-қайшылық, коэффициент үшін дәлелденді. Сонымен , онда (2.6) теңдеуді мына түрде жазуға болады: (2.16) (2.16) теңдеу – параболалық теңдеудің канондық түрі деп аталады. 3) эллиптикалық тип. Бұл жағдайда (2.10) сипаттаушы теңдеудің екі комплекс түйіндес шешімдері болады: Егер деп алмастыру жасасақ, онда канондық теңдеудің коэффициенттері комплексті функциялар болуы мүмкін. Сондықтан, теңдеудің канондық формасының коэффициенттері нақты функция болуы үшін, аламыз. функциясы теңдеудің шешімі болғандықтан, немесе Осыдан, егер де алмастыруын жасасақ, онда , . Сонымен, (2.1) теңдеу эллиптикалық типке жатса, онда оның канондық формасы келесі түрде жазылады: (2.17) . жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|