«Кездейсоқ шамалар» ұғымын оқыту әдістемесі

«Кездейсоқ шамалар» ұғымы ықтималдықтар теориясының үшінші фундаменталды ұғымы. Оқушылар математикалық анализ элементтерін білмей «Кездейсоқ шамалар» ұғымы мен оның қасиеттерін оқып үйрену мүмкін емес [98].

Кездейсоқ шаманың анықтамасын нақты-индуктивтік әдіспен енгізіледі. Алдымен кездейсоқ шамаларға біреше мысал келтіріледі (депутаттыққа кандидаттардың жинаған дауыс саны, өлшеу нәтижелері, ойын сүйегін лақтыруда жинаған ұпай саны және т.б.)

Енді анықтама беріледі: Белгілі бір тәжірибенің нәтижесіне байланысты сандық мән қабылдайтын айнымалыны кездейсоқ шама деп атайды. Кездейсоқ шамалар X,Y,Z және т.б. деп белгіленеді.

Кездейсоқ шаманың қандай мән қабылдайтынын алдын ала болжап айту мүмкін емес.

Анықтаманы функционалдық тұрғыдын беруге де болады. Х кездейсоқ шамасын анықталу аймағы Ω болатын α қарапайм оқиғасының функциясы деп қарастыруға болады.

Дискретті кездейсоқ шаманы оқыту әдістемесіне тоқталайық.

Кездейсоқ шамаларды X,Y,Z және басқа да бас әріптермен, ал олардың қабылдайтын мәндерін x,y,z және басқа да кіші әріптермен белгілейміз.

Қабылдайтын мәндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды екі топқа бөледі: дискреттік және үзіліссіз. Егер кездейсоқ шамалардың мәнін тізбек түрде жазуға болса, онда оны дискреттік деп, ал мәндері белгілі бір аралықта жатса, онда оны үзіліссіз деп атайды.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың мәндері мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестікті дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы немесе үлестірім функциясы деп атайды. Бұл сәйкестік таблица, график және аналитикалық түрде берілуі мүмкін.

Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы кесте арқылы берілуі мүмкін.
Кесте-8

Х	x1	x2	x3	……	xn
P	p1	p2	p3	……	pn

Бұл жерде, бірінші жолда кездейсоқ шама х-тің қабылдайтын мәндері, екіші жолда сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары жазылады.

Кездейсоқ шама Х-тың мәндері толық жүйе жасайтын болғандықтан:

P1+P2+…+Pn=1 (P≥0,i=1,2,..n).

Егер кездейсоқ шаманың мәндер қабылдау ықтималдықтары Бернулли формуласымен табылса, онда кездейсоқ шама биномиальды үлестірілген деп аталады.

Айталық Х-үзіліссіз кездейсоқ шама болсын.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы дегеніміз Х шамасының айнымалы х-тен кіші мән қабылдау ықтималдығы, яғни үлестірім функциясы

F(x)=P(X

теңдігімен анықталады.

Үлестірім функциясы арқылы кездейсоқ шаманың берілген аралықта жату ықтималдығын тауып алуға болады.

Теорема. Х кездейсоқ шаманың мәндері [a,b]аралығында жату ықтималдығы

P(a≤x≤b)=F(b)-F(a)

Формуласымен анықталады.

Енді үлестірім функциясының қасиеттерін атап өтелік.

1. 
   Үлестірім функция шектелген функция болады.
   

Бұл қасиет F(x) функцияның ықтималдық екендігі орындалады.

2. 
   Үлестірім функциясы – кемімейтін функция, яғни x1≤ x2 болғанда F(x1) ≤F(x2) теңсіздігі орындалады.
   
3. 
   Үлестірім функциясы сол жағынан үзіліссіз, яғни
   
   
4. 
   Егер кездейсоқ шама х-тың мәндері [a,b] интервалында жатса, онда
   

1. 
   F(x)=0, егер x≤a
   
2. 
   F(x)=1, егер x≥b
   

F(x)=F’(x)

Деп жазылады және бұл функцияны үлестірім тығыздығы деп атайды.

Үлестірім функциясын үлестірім тығыздығы арқылы да анықтауға болады:

F(x)=_

Ықтималдықтар тығыздығы туынды, ал үлестірім функциясы интеграл амалдарына байланысты болғандықтан, тығыздықты дифференциалдық функция үлестірім функциясын интегралдық функция деп атайды.

1. 
   Үлестірім тығыздығы F(x) ≥0
   
2. 
   _
   
3. 
   Х кездейсоқ шаманың (а,b) интервалында жату ықтималдығы
   

Соңында кездейсоқ оқиғалардың сандық сипаттамасы қарастырылады [99].