Мазмұны: Кiрiспе 1 тарау. Геометриялық салулар теориясының кейбiр мәселелерi 1
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
| 4.4. Аполлоний есебі
Инверсия әдісімен, жалпы жағдайда, Аполлоний есебі шешіледі. Аполлоний есебі: берілген үш шеңбермен жанасатын шеңбер салу. Бұл есепті ең алғаш б.э.д. ІІІ ғасырда атақты грек геометрі Аполлоний Пергский шешкен. Бірақ оның еңбектері бізге дейін жеткен жоқ, ол туралы тек ежелгі математиктер, мысалы Паппның айтуы бойынша білеміз. Бұл есепті Аполлонийдің қалай шешкендігі де белгісіз. Мектептегі геометрия курсында кездесетін шеңберге қатысты салу есептері – осы Аполлоний есебінің жеке және шектік жағдайлары болып табылады. Жеке жағдайлар берілген шеңберлердің орналасуына байланысты болса, шектік жағдайлар барлық немесе кейбір берілген шеңберлердің нүктеге (егер шеңбердің радиусы шексіз кемісе) және түзуге (егер шеңбердің радиусы шексіз өссе) айналуына байланысты болады. Аполлоний есебінің кейбір жеке және шектік жағдайларын қарастырайық: Есеп 1. Берілген үш нүкте арқылы өтетін шеңбер салу. Бұл есептің шешімі болмайды, егер үш нүкте бір түзудің бойында жатса. Қалған жағдайларда бір шешім болады, себебі ізделінді шеңбер – үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер. Ал үшбұрышқа сырттай бір ғана шеңбер жүргізіледі. (Бұл есеп мектеп геометрия курсында шешіледі) Есеп 2. Берілген үш түзумен жанасатын шеңбер салу. Есептің шешіміне қатысты төмендегі жағдайлар болу мүмкін: егер берілген үш түзу өзара параллель орналасқан болса, онда есептің шешімі болмайды; егер түзулердің екеуі өзара параллель, ал үшіншісі оларды қиса, онда септің екі шешімі болады (71-сурет); егер түзулер қос – қостан қиылысса, онда есептің төрт шешімі болады (72-сурет). Есеп 3. Берілген нүкте арқылы өтіп, берілген екі параллель түзулермен жанасатын шеңбер салу. Бұл есептің шешіміне қатысты мына жағдайлар болу мүмкін: егер берілген нүкте берілген түзулермен шектелген жолақтан тысқары жатса, есептің шешімі болмайды; егер берілген нүкте берілген түзулердің бірінде жатса, онда есептің бір ғана шешімі болады (73-сурет); егер берілген нүкте берілген түзулермен шектелген жолаққа тиісті болса, онда есептің екі шешімі болады (74-сурет). Есеп 4. Берілген нүкте арқылы өтіп, берілген екі қиылысатын түзулерді жанайтын шеңбер салу. Егер нүкте берілген түзулердің қиылысу нүктесі болса, онда есептің шешімі болмайды; қалған жағдайларда есептің екі шешімі бар (75-сурет). Есеп 5. Берілген екі нүкте арқылы өтетін және берілген түзумен жанасатын шеңбер салу. Мына жағдайлар болу мүмкін: егер берілген түзу мен берілген нүктелер арқы-лы өтетін түзу қиылысса, яғни берілген нүктелер берілген түзудің әртүрлі жағында орналасса, есептің шешімі болмайды, сонымен қатар берілген нүкте-лер берілген түзуге тиісті болған жағдайда да есептің шешімі жоқ; егер беріл-ген нүктелердің біреуі берілген түзуге тиісті (76-сурет) немесе берілген нүкте-лер арқылы өтетін түзу берілген түзуге параллель (77-сурет) болса, есептің бір ғана шешімі болады; қалған жағдайда септің екі шешімі бар (78-сурет). Есеп 6. Берілген үш шеңбермен жанасатын шеңбер салу. Бұл есептің шешулерінің саны берілген шеңберлердің орналасу жағдайларына байланысты болады. Осы жағдайлардың бірнешеуін қарастырайық: 1) Үш шеңбердің бір – бірімен ешқандай ортақ нүктесі жоқ және олар бірінің ішінде бірі орналасқан. Онда есептің шешімі болмайды. 2) Берілген екі шеңбер жанасады, ал үшіншісі оларды жанасу нүктесінде қиып өтеді. Онда есептің екі шешімі бар. 3) Егер берілген шеңберлердің әрқайсысы қалған екеуінің сыртында және әрбір екеуіне жүргізілген жанаманың үшіншісімен ортақ нүктесі болмаса, онда есептің сегіз шешімі бар. 4) Егер берілген үш шеңбер қос – қостан бір нүктеде жанасса, онда есептің шешімдерінің саны шексіз көп болады. Аполлоний есебін шешу барысында берілген шеңберлердің орналасуына қатысты көрсетілген жағдайлардан басқа отыздан астам орналасуы болатыны табылды. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|