Методическая система подготовки студентов высшей педагогической школы к реализации линии практических приложений в курсе геометрии основной и старшей ступени общего образования

106
На первых уроках геометрии в 7 классе при изучении основных свойств изме-
рения углов есть возможность показать применение метода математического моде-
лирования в соответствии с выделенными ранее четырьмя этапами, например, при 
решении следующей задачи: 
Наблюдая на пристани за отплывающим кораблем можно заметить, что 
по мере удаления от берега его видимый размер уменьшается. Как объяснить это 
явление? 
Приведем пример поиска решения задачи согласно выделенным этапам, кото-
рый учащиеся осуществляют вместе с учителем. Предварительно сделаем следую-
щее замечание. Рассмотренные общий подход к построению математической модели 
реального объекта в прикладной математике (А.Д. Мышкис, А.Н. Тихонов, Г.И. Ру-
завин), методические исследования по использованию математического моделирова-
ния в обучении математике (А.Я. Блох, А.Г. Мордкович, В.А. Стукалов) показывают, 
что процесс математизации реального объекта, который обеспечивает перевод усло-
вия задачи на математический язык, определяет выбор математического аппарата для 
решения задачи. Для того чтобы этот выбор был сделан в соответствии с реальной 
ситуацией задачи, предлагаем этап математизации проводить по следующему плану: 
1. Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи. 
2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установле-
ние связей между этими объектами. 
3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным 
объектам. 
0 этап. Математизация. 
1. Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи. 
Начнем с пояснения, что означают слова «видимый размер». В противном слу-
чае не понятно, что за явление надо объяснить. Мы хорошо знакомы с линейными 
размерами предметов. Сколько их? Как их принято называть?
(Ответ: три размера – длина, ширина и высота.) 
При описании свойств математических объектов встречается понятие види-
мого размера. Часто оно используется в упрощенном виде. Мы говорим, например: 

107
«Из точки А отрезок а виден под углом 

». Такой угол принято называть видимым 
или угловым размером предмета.
Понятие углового размера очень важно в астрономии. Знание углового размера 
(астрономы говорят углового диа-
метра или видимого диаметра) 
небесного тела позволяет вычислить 
его линейные размеры. Угловых раз-
меров у предмета может быть беско-
нечно много, так как имеется бесчис-
ленное число точек наблюдения – вершин углов зрения, под которыми виден пред-
мет. Иначе говоря, угловой размер предмета зависит от выбранной точки наблюде-
ния. Для решения практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например, 
тот, под которым видна высота рассматриваемого предмета. 
2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установление 
связей между этими объектами. 
Теперь выделим объекты условия задачи: наблюдатель, корабль, расстояние от 
берега до корабля. Они все связаны между собой. Есть еще объекты (берег, при-
стань), которые не влияют на поиск решения задачи. Но на первоначальном рисунке 
мы их изобразим. (Возможно предложить школьникам и готовый рисунок к усло-
вию).
3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реаль-
ным объектам. 
По этому рисунку сделаем чертеж, отбирая нужные объекты и устанавливая к 
ним подходящие геометрические эквиваленты (рис. 4). Изобразим на одном чертеже 
два положения корабля по мере удаления от берега. Точкой О обозначим наблюда-
теля (точнее его глаз), отрезки АВ и А
1
В
1
– корабль (или его высота над поверхностью 
воды), отрезки ОА и ОА
1
 (ОА< ОА
1
) – расстояние от наблюдателя до корабля.
В
1 

 

 
В 
А
1 
А 
О 
Рис. 4

108
В этом примере этап математизации описан достаточно подробно. Его изложе-
ние может быть сокращено с учетом уровня математической подготовки школьни-
ков, их интересов, жизненного опыта и наличия учебного времени. Однако план ре-
ализации этого этапа необходимо довести до сведения учащихся. 
1 этап. Формализация. Построенный чертеж и есть геометрическая модель 
условия задачи. Однако не хватает вопроса задачи. Сформулируем задачу так: луч 
ОВ
1
проходит между сторонами угла АОВ. Какой угол больше: 

АОВ или 

А
1
ОВ
1
? 
Почему? В приведенной формулировке задача встречается в учебнике автора Пого-
релова А.В. [305, с. 19, задача 29].
2 этап. Внутримодельное решение. Так как на рисунке 4 луч ОВ
1
проходит 
между сторонами угла АОВ и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах, то 
по свойству измерения углов (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, 
на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами) 

АОВ>

А
1
ОВ
1
.
3 этап. Интерпретация. Так как угол, под которым виден корабль с увеличе-
нием расстояния уменьшается, тот и его видимые размеры уменьшаются. 
На примере решения этой задачи учитель имеет возможность продемонстри-
ровать все четыре этапа метода математического моделирования. Специальное вни-
мание здесь уделено обучению этапу математизации, его выполнение является 
наиболее сложным. Содержание этого этапа также нацеливает учащихся на приме-
нение математики при изучении физики. 
При решении ряда задач на приложения математики в школе ситуация, опи-
санная в условии, практически не нуждается в математизации, т. е. проведение нуле-
вого этапа не требуется. Например, рассмотрим следующую задачу, при решении ко-
торой воспользуемся трехэтапной схемой применения метода математического мо-
делирования (этапы 1-3). Здесь, в отличие от предыдущей задачи, не требуется выде-
лять математизируемые объекты, устанавливать их свойства и отношения между 
ними. Этот процесс очевиден, поэтому сразу переходим к первому этапу – построе-
нию математической модели условия задачи. 

109
От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. 
Можно ли по сохранившейся части вырезать такое же оконное стекло? 
1 этап. Изобразив стекло на рисунке 5 согласно описанной ситуации, прихо-
дим к математической формулировке задачи:
Имеется треугольник, у которого известны 
сторона и прилежащие к ней углы. Можно ли по-
строить треугольник равный данному?
Это математическая (геометрическая) модель 
исходной задачи.
2 этап. Внутримодельное решение сводится к обоснованию возможности по-
строения треугольника по трем заданным элементам на основании соответствую-
щего признака равенства треугольников.
3 этап. Для того чтобы заказать стекло необходимо измерить сохранившуюся 
сторону и углы.
На примере этой задачи учитель может показать учащимся важность этапа ин-
терпретации для практической деятельности и таким образом способствовать фор-
мированию их познавательного интереса, а значит, и мотивировать изучение геомет-
рии.
Таким образом, на начальном этапе учителю необходимо ввести понятия «ма-
тематическая модель» и «метод математического моделирования» на геометриче-
ском и на алгебраическом материале. Такой подход способствует формированию у 
школьников наиболее полных представлений об этих центральных для рассматрива-
емой линии понятий. Приведенные примеры демонстрируют возможность выполне-
ния задач начального, этапа реализации линии практических приложений матема-
тики в школе.

жүктеу/скачать 4,6 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: