Вращение тела вокруг неподвижной точки

y
1
,  z
1
,  связывается  с  телом.  Поэтому  положение  тела  будет  определяться  как 
положение этих осей относительно неподвижных.  
 
Рис.16 
 
Когда    углы  Эйлера    равны    нулю,  подвижные    оси    совпадают  с  непод-
вижными.  Чтобы  определить  положение  тела,  соответствующее  заданным 
углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала  подвижные  оси,  а 
значит  и  тело,  поворачиваем  на  угол  Ψ  вокруг  оси  z.  При  этом    оси    x
1
 
и  y
1
 
отойдут от осей x и y в горизонтальной плоскости и ось x
1
 
займёт положение 
OK 
(рис.16).  Затем  тело  вращаем  вокруг  нового    положения    оси  x
1
 
(прямой 
OK
) на угол θ. Ось z
1
 
отойдёт от оси z на этот угол θ, а ось y
1
 
приподнимется 
над  горизонтальной  плоскостью.  Наконец,  тело  (и  подвижные  оси)  вращаем 
вокруг нового положения оси z
1
 
на угол φ. Ось x
1
 
отойдёт от положения OK в 
наклонной  плоскости,  перпендикулярной  оси  z
1
.  Это  положение  тела  и  будет 
соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано). 
Линия  пересечения  неподвижной  плоскости xOy и  подвижной x
1
Oy
1
, 
прямая OK, называется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол 
θ – углом  нутации,  угол φ – углом собственного вращения. Эти названия углов 
пришли из теории гироскопов. 
При движении тела  углы Эйлера изменяются по определённым законам 
Ψ=Ψ(t);  θ=θ(t);  φ=φ(t) которые называются уравнениями вращения. 
На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах 
Эйлера (рис.17). Ось волчка z
1
 
описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это 
вращение  определяется  углом  Ψ  (говорят:  волчок  совершает  прецессию). 
Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ.  
А  вращение    волчка    вокруг    своей    оси  z
1
,    определяемое  углом  φ  – 
собственное вращение. 
 
Рис.17 
 2) 
Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения. 
Проведём  в  теле  сферическую  поверхность  произвольного  радиуса  с 
центром в неподвижной точке O (рис.18).  
110 
 

 
Рис.18 
 
Покажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой 
сфере.  Соединим  их  по  сфере  дугой  наибольшего  радиуса  (кратчайшее 
расстояние  между  точками).  Переместим  тело  в  новое  положение.    Точки,  а  
значит  и  дуга,  займут  положение  A
1
 
и  B
1
.  Соединим  точки  A  и  A
1
,  B 
и  B
1
 
дугами  большого  радиуса  AA
1
 
и  BB
1
.  Посередине  этих  дуг  проведём  им 
перпендикулярные  дуги  и    найдём  их  точку  пересечения  P
1
.  Соединим  эту 
точку P
1
 
с точками A, B, A
1
, B
1
. Получим два сферических треугольника ∆ABP
1
 
и  ∆A
1
B
1
P
1
,  расположенных  на  этой  сфере.  Эти  два  треугольника  равны,  как 
треугольники  с  равными  сторонами  (AB=A
1
B
1
,  а  AP
1
=A
1
P
1
 
и  BP
1
=B
1
P
1
  – 
как 
дуги  равноудалённые  от  перпендикуляров).  Так  как  эти  два  треугольника 
расположены  на  одной  сфере  и  имеют  общую  вершину  P
1
,  то  их  можно 
совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP
1
. 
Поэтому  можно  сделать  вывод,  что  тело  с  одной  неподвижной  точкой 
можно  переместить  из  одного  положения  в  другое  поворотом  вокруг 
некоторой  оси,  проходящей  через  неподвижную  точку  O. Это  утверждение  – 
есть теорема Даламбера-Эйлера. 
 
Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом 
деле  тело  переходило  из  первого  положения  в  другое  каким-то  другим, 
наверное более сложным путём. Но, если время ∆t такого перехода мало, то это 
перемещение  будет  близко  к  действительному.  А  при  ∆t→0  можно 
предположить,  что для данного  момента  времени  тело поворачивается  вокруг 
некоторой  оси  Р,  проходящей  через  неподвижную  точку  O,  вращаясь  вокруг 
неё с угловой скоростью  . Конечно, для каждого другого момента времени эта 
ось расположена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения, а 
угловую скорость   – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направ-
лен по оси. 
  3) 
Скорость точек тела. 
По  теореме  Даламбера-Эйлера  за  малое  время  ∆t  движение  тела  можно 
представить  как  вращение  вокруг  неподвижной  оси  OP
1
 
с  некоторой  угловой 
скоростью   (рис.19).  
 
Рис.19 
111 
 

 
Тогда  скорость  точки  M: 
 
В  пределе,  при  ∆t→0,  угловая 
скорость 
 
будет  приближаться  к  мгновенной  угловой  скорости 
, 
направленной  по  мгновенной  оси  вращения  P,  а  скорость  точки 
  - 
к 
истинному значению: 
 
Но  таким  же  образом  находится  скорость  точки  при  вращении  тела 
вокруг оси, по которой направлен вектор  , в нашем случае – по мгновенной 
оси  вращения  P.  Поэтому  скорость  точки  можно  определить  как  скорость  её 
при  вращении  тела  вокруг  мгновенной  оси  P.  Величина  скорости  v=h∙ω  
(рис.19). 
 
Определение  скоростей  точек  тела  значительно  упрощается,  если  известна 
мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если удастся обнаружить 
у  тела  хотя бы ещё  одну  точку,  кроме  O,  скорость  которой  в данный  момент 
равна нулю, и провести ось P из неподвижной точки О через эту точку. Так как 
мгновенная  ось  вращения  –  геометрическое  место  точек,  скорости  которых 
равны нулю в данный момент времени. 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: