Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан

Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Pdf көрінісі

бет	182/255
Дата	31.12.2021
өлшемі	4,32 Mb.
	#23860

1 ... 178 179 180 181 182 183 184 185 ... 255

Байланысты:
teoreticheskaya mexanika

Случай малого сопротивления (n

Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению.
Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило
они,  как  говорят,  затухают  и  довольно скоро.  Причиной  этому  является  чаще
всего  –  сопротивление  среды,  в  которой  движутся  части  колебательной
системы.
Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть
на  каждую  точку  материальной  системы  действует  сила  сопротивления
. Обобщенная сила, соответствующая этим силам,

Скорость точек

так как  – сложная функция,
а q=q(t). Поэтому

Значит,

Обозначим
.  Тогда  обобщенная  сила  сопротивления

Заметим, что по форме эта функция  Ф аналогична кинетической энергии
Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго
порядка  малости,  результат  получится  тоже  аналогичным  (5):

(коэффициент  b  также  будет  положительным).  И  тогда  обобщенная  сила
сопротивления движению

Функция  Ф  называется  диссипативной  или  функцией  рассеивания
энергии системы.
После  подстановки  в  уравнение  Лагранжа
,  получим
дифференциальное уравнение

или
(10)
Где  n=b/2a  -  коэффициент  сопротивления,
  -
частота  свободных
колебаний без сопротивления.
Найдем  решение  уравнения  (10).  Характеристическое  уравнение:
z
2
+2nz+k
2
=0  Корни  его
,  могут  быть  и  комплексными,  и
вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.

а) Случай малого сопротивления (n < k).
155

Корни  получаются  комплексными
,    где
,
.
Решение дифференциального уравнения ищем в виде
(11)
или
(12)
где постоянные C
1

и C
2

или   и   находятся по начальным условиям.
Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но
не  гармонические, так  как  амплитуда колебаний, равная
,  не постоянная,
уменьшается  с  течением  времени.  Поэтому  такие  колебания  и  называются

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 178 179 180 181 182 183 184 185 ... 255