Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан


Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению



Pdf көрінісі
бет182/255
Дата31.12.2021
өлшемі4,32 Mb.
#23860
1   ...   178   179   180   181   182   183   184   185   ...   255
Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению. 
Известно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило 
они,  как  говорят,  затухают  и  довольно скоро.  Причиной  этому  является  чаще 
всего  –  сопротивление  среды,  в  которой  движутся  части  колебательной 
системы.  
Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть 
на  каждую  точку  материальной  системы  действует  сила  сопротивления 
. Обобщенная сила, соответствующая этим силам,  
 
Скорость   точек    
 
так как  – сложная функция, 
а q=q(t). Поэтому 
  
Значит, 
  
Обозначим   
.  Тогда  обобщенная  сила  сопротивления  
 
Заметим, что по форме эта функция  Ф аналогична кинетической энергии 
Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго 
порядка  малости,  результат  получится  тоже  аналогичным  (5): 
 
(коэффициент  b  также  будет  положительным).  И  тогда  обобщенная  сила 
сопротивления движению  
 
Функция  Ф  называется  диссипативной  или  функцией  рассеивания 
энергии системы. 
После  подстановки  в  уравнение  Лагранжа 
,  получим 
дифференциальное уравнение 
 
или  
(10) 
Где  n=b/2a  -  коэффициент  сопротивления, 
  - 
частота  свободных 
колебаний без сопротивления. 
Найдем  решение  уравнения  (10).  Характеристическое  уравнение: 
z
2
+2nz+k
2
=0  Корни  его 
,  могут  быть  и  комплексными,  и 
вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n
 
а) Случай малого сопротивления (n < k). 
155 
 


Корни  получаются  комплексными 
,    где 


Решение дифференциального уравнения ищем в виде  
(11) 
или 
(12) 
где постоянные C
1
 
и C
2
 
или   и   находятся по начальным условиям. 
Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но 
не  гармонические, так  как  амплитуда колебаний, равная 
,  не постоянная, 
уменьшается  с  течением  времени.  Поэтому  такие  колебания  и  называются 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   178   179   180   181   182   183   184   185   ...   255




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет