Ранее было установлено, что в положении равновесия выполняется
условие
и если в положении равновесия
, то равновесие будет
устойчиво.
Договоримся отсчитывать координату от положения равновесия
а
потенциальную энергию там считать равной нулю (П
0
=0) Тогда, по
определению малых колебаний, обобщенная координата
q всегда будет малой
величиной.
Разложим потенциальную энергию в ряд Маклорена около положения
равновесия:
Так как П(0) = 0 и
и, отбросив члены третьего и выше порядка
малости, получим
,
(4)
где коэффициент
по условию устойчивости.
Поэтому потенциальная энергия колебательной системы, отсчитываемая
от положения устойчивого равновесия, будет всегда положительной.
Кинетическую энергию системы при малых колебаниях также можно
преобразовать.
Кинетическая энергия системы
,
а так как радиус-вектор точек
и q=q(t), то
Поэтому
, где
Эту функцию A(q) можно разложить в ряд Маклорена по степеням
q
около положения равновесия и учесть только первый член: A(q)=A(0)+… .
Остальные члены можно не учитывать, т.к. после подстановки A(q) в
Т, они
станут величинами третьего и выше порядка.
Обозначив постоянную A(0)=
a получим
T=
aq
2
/2.
(5)
Коэффициент
a называется коэффициентом инерции. Конечно,
a>0 т.к.
кинетическая энергия не может быть отрицательной.
Достарыңызбен бөлісу: