Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан



Pdf көрінісі
бет181/255
Дата31.12.2021
өлшемі4,32 Mb.
#23860
1   ...   177   178   179   180   181   182   183   184   ...   255
Байланысты:
teoreticheskaya mexanika

Замечание.  Практически,  при  исследовании  конкретных  колебательных 
систем приходится раскладывать в ряд функции, содержащие, чаще всего, sinx, 
cosx,  e
x
.  Разложение  их  с  точностью  до  малых  второго  порядка  известны:   
sinx=x, cos=1-x
2
/2, e
x
=1+x+x
2
/2. 
Малые свободные колебания системы. 
Свободными колебаниями называется колебательное движение системы, 
выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. 
Составим уравнение Лагранжа для консервативной системы: 
 
Используя  (4)  и  (5),  получим  дифференциальное  уравнение    свободных  
колебаний 
 
или, обозначив c/a=k
2
,  
153 
 


=0.   
 
 
  (6) 
Решение  этого  однородного  линейного  дифференциального  уравнения 
второго порядка с постоянными коэффициентами известно
q=C
1
coskt+C
2
sinkt  
  
 
  (7) 
или, использовав другие постоянные 
 
и 
,  

 
 
   (8) 
Следовательно, малые свободные колебания – гармонические колебания, 
причем  амплитуда  колебаний  и  начальная  фаза  определяются  начальными 
условиями  (q  и    при  t  =  0),  а  частота  колебаний  k  и  период  Т  не  зависят  от 
начальных условий, определяются только конструкцией системы. 
Обычно  частоту  колебаний  находят  сравнением  полученного 
дифференциального уравнения с уравнением (6). 
 
Пример 1.  Тело  весом  Р  подвешено  на  нити,  перекинутой  через 
блок  и  прикрепленной  к  пружине  (рис.4).  Вес  блока  G,  радиус  -  r;  жесткость 
пружины с. Определим период свободных колебаний системы. 
 
Рис.4 
 
Назначим  обобщенной  координатой  смещение  z  груза  по  вертикали  от 
положения равновесия, при котором пружина была растянута на величину f.  
Тогда  потенциальная  энергия  относительно  положения  равновесия 
.    Где  (z+f)  -  полная  деформация  пружины,  а  cf
2
/2  - 
потенциальная  энергия  пружины  в  положении    равновесия,      которую  
вычитаем    из  потенциальной  энергии  полностью  деформированной  пружины. 
Раскрыв скобки, получим  
 
 
В 
положении 
равновесия 
должно 
выполняться 
условие 
. Отсюда P=cf, значит, П=cz
2
/2  
Кинетическая энергия системы 
154 
 


 
Составив  уравнение  Лагранжа,  получим 
 
или 
  
Сравнивая  с  (6),  находим  частоту  колебаний 
 
и  затем 
период 
 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   177   178   179   180   181   182   183   184   ...   255




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет