Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан
жүктеу/скачать 4,32 Mb. Pdf көрінісі
|
teoreticheskaya mexanika
- Бұл бет үшін навигация:
- Малые свободные колебания системы.
| Замечание. Практически, при исследовании конкретных колебательных
систем приходится раскладывать в ряд функции, содержащие, чаще всего, sinx, cosx, e x . Разложение их с точностью до малых второго порядка известны: sinx=x, cos=1-x 2 /2, e x =1+x+x 2 /2. Малые свободные колебания системы. Свободными колебаниями называется колебательное движение системы, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе. Составим уравнение Лагранжа для консервативной системы: Используя (4) и (5), получим дифференциальное уравнение свободных колебаний или, обозначив c/a=k 2 , 153 =0. (6) Решение этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами известно: q=C 1 coskt+C 2 sinkt (7) или, использовав другие постоянные и , . (8) Следовательно, малые свободные колебания – гармонические колебания, причем амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями (q и при t = 0), а частота колебаний k и период Т не зависят от начальных условий, определяются только конструкцией системы. Обычно частоту колебаний находят сравнением полученного дифференциального уравнения с уравнением (6). Пример 1. Тело весом Р подвешено на нити, перекинутой через блок и прикрепленной к пружине (рис.4). Вес блока G, радиус - r; жесткость пружины с. Определим период свободных колебаний системы. Рис.4 Назначим обобщенной координатой смещение z груза по вертикали от положения равновесия, при котором пружина была растянута на величину f. Тогда потенциальная энергия относительно положения равновесия . Где (z+f) - полная деформация пружины, а cf 2 /2 - потенциальная энергия пружины в положении равновесия, которую вычитаем из потенциальной энергии полностью деформированной пружины. Раскрыв скобки, получим В положении равновесия должно выполняться условие . Отсюда P=cf, значит, П=cz 2 /2 Кинетическая энергия системы 154 Составив уравнение Лагранжа, получим или Сравнивая с (6), находим частоту колебаний и затем период жүктеу/скачать 4,32 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|