Момент  инерции  тела  относительно  данной  оси  равен  моменту

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z. Из прямоугольного 
треугольника ОАМ
i
 
следует 
, где 
. И так как радиус-
вектор точки  : 
, то, проектируя это равенство на ось u, получим 
 ( ,  ,  - 
углы между осью u и осями x, y, z). 
 
Как известно из тригонометрии 
. 
Поэтому 
 
 
 
 
 
 
 
И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, 
получим: 
 
 
 
Но 
 
где 
 - 
расстояния от точки М
i 
до осей x, y, z, соответственно.  
Поэтому  
 
 
 
 
 
 
где I
x
, I
y
, I
z
 – 
моменты инерции тела относительно осей координат; I
xy
, J
yz
, 
J
xz 
  - 
центробежные  моменты  инерции  относительно  осей  отмеченных  в 
индексах. 
Если  два  центробежных  момента  инерции,  оба  содержащих  в  индексах 
названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главной 
осью инерции. Например, если J
yz
 = 0 
и J
xz
 
= 0, то ось z – главная ось инерции.  
Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О, от 
выбора  начала  координат,  то  обязательно  надо  указать  для  какой  точки 
определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс 
С,  то  все  главные  оси  инерции  называются  главными  центральными  осями 
инерции. 
Если  в  данной  точке  координатные  оси  являются  главными  осями 
инерции  (центробежные  моменты  инерции  относительно  их  равны  нулю),  то 
формула (2) упрощается: 
.                           (3) 
169 
 

Иногда  по  некоторым  признакам  нетрудно  найти  главные  оси  инерции 
тела. 
1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является 
главной центральной осью инерции. 
Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда 
для  каждой  точки  тела  с  координатами  (x
i
,  y
i
,  z
i
)  можно  отыскать  точку  с 
координатами  (-x
i
,  -y
i
,  -z
i
)  и  поэтому  центробежные  моменты  инерции 
 
и 
.  Значит  ось  z  –  главная  ось  инерции,  и 
центральная  ось,  т.к.  центр  масс,  как  известно,  находится  на  оси  симметрии. 
Причём,  эта  ось  будет  главной  для  любой  точки  расположенной  на  оси 
симметрии. 
2.  Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось 
перпендикулярная  ей  будет  главной  осью  инерции  для  всех  точек  этой 
плоскости.  
Направим  ось  z  перпендикулярно  плоскости  симметрии  из  любой  её 
точки  О,  назначив  там  начало  координат.  Тогда  для  каждой  точки  тела  с 
координатами  (x
i
, y
i
, z
i
) можно найти симметричную ей точку с координатами 
(x
i
, y
i
, - z
i
). Поэтому центробежные моменты инерции I
xz
 
и I
yz
 
будут равны нулю. 
Значит ось z – главная ось инерции. 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: