-модулі  бойынша  қосу,  импликация,  Шеффер  және  Веб

420 

 

2-нің модулі бойынша қосу операциясы үшін ассоциативті, коммута тивті 

заңдар және коньюнкцияға қатысты дистрибутивті (распределит) заңы бар. 

1. x

 1

    х

2 

 х

2 

  x

1       

коммутативтілік 

2. x

 1

      х

2 

  x

3

       x

 1

    х

2

     х

3 

  ассоциативтілік   

3. x

 1

      х

2 

  x

3

       x

 1

   х

2

        x

 1

   х

2

    

бұларға қоса  

1. x

 

    х

 

 0;  2. х

  

 0

 

х;   3. x

 

   1

 

х

;  4. х

  

 

х

1; 

және  x

 1

    х

2 

 х

1 

  x

2  

 

 

x

 1

   х

2

 

x

 1

 

 

 х

2  

 

2

1

~ x

x

 

)

(

)

(

2

1

2

1

x

x

x

x

   

 формулалары бар. 

Импликация үшін коммутативті, ассоциативті заңдар жоқ. 

x

 

 

 х

 

 1;    

х

 

х

х

;   x

 

 

  1

 

 1; 

x

 

 

 0

 

 х;    0

  х

 

1;   1

 

 

  х

 

 х;  

1

2

2

1

x

x

х

х

;   x

 1

 

  х

 2 

 х

1 

 х

1

  

Шеффер және Веб функциялары үшін коммутативті (переместит) заң бар. 

x

 1

    х

 2 

  х

2 

 х

1

  

x

 1

   х

 2 

 х

2 

 х

1

  

ассоциативті заң бұлар үшін орындалмайды. 

x

 1

     х

 2

 х

3 

     х

 1

 х

2 

)   х

3

  

x

 1

     х

 2

 х

3 

     х

 1

 х

2 

)   х

3

  

Және мына заңдар орындалады. 

 

 

 

Шеффер  мен  Веб  функциялары  бір-бірімен  дизьюнкция  мен 

коньюнкцияға  арналған    Морган  заңдары  сияқты  заңдылықтармен 

байланысқан. 

а) x

 1

    х

 2 

 

2

1

x

x

;   в)  x

 1

 х

 2 

2

1

 x

x

 

 

Жалпылама формулалар.  ,    операциялары ассоциативті болғандықтан  

,

&

&

&

2

1

n



 

n



2

1

   

 

  ӛрнектерінде  жақша  қоймауға  болады. 

Бірінші ӛрнек кӛп мүшелі коньюнкция, екіншісі кӛпмүшелі дизьюнкция. Бұлар 

дистрибутивті заңға және Морган заңдарына бағынады: 

Дистрибутивті  заң: 

(А

1

   А

2

   ...   А

к

 )   (В

1

   В

2

   ...   В

l

 )  ( А

1

   В

1

 )   ( А

1

   В

2

)   ...  ( А

1

 

 В

l

)  ( А

2

   В

1

 )   ( А

2

   В

2

)   ...  ( А

2

   В

l

)   

...    ...  ...            ...( А

к

   В

1

 )   ( А

к

   В

2

)   ...  ( А

к

   В

l

)  (А

1

   А

2

   ...   

А

к

 )   (В

1

   В

2

   ...   В

l

 )   

421 

 

( А

1

   В

1

 )   ( А

1

   В

2

)   ...  ( А

1

   В

l

) ( А

2

   В

1

 )   ( А

2

   В

2

)   ...  ( А

2

   

В

l

)   

 ...       ...             ...( А

к

   В

1

 )   ( А

к

   В

2

)   ...  ( А

к

   В

l

)   

 

Кӛп мушелі коньюнкция мен дизьюнкцияға да Морган заңдарын 

қолдануға болады. 

1.  (

к

А

А

А

...

2

1

 )   (

к

А

А

А

...

2

1

 ) 

2.  (

к

А

А

А

...

2

1

 )   (

к

А

А

А

...

2

1

 ) 

3.  x

 

   х   ...     х  х 

4.  x

 

   х   ...     х  х  

5.  x

 1

   х

2

 ...     х

n

   

n

х

х

х

...

2

1

  

6.  x

 1

   х

2

 ...     х

n

   

n

х

х

х

...

2

1

 

Эквивалентті тҥрлендірулер. Формулаларды ықшамдау. 

Эквивалентті формулаларда бір айнымалыны (барлық жерінде) басқа бір 

формуламен  ауыстырсақ,  жаңадан  алған  формула  тағы  да  эквивалентті  болып 

шығады. 

Мысалы,        мына  формуланың 

Y

X

Y

X

  эквиваленттігін  жоғарыда 

стандартты әдіспен  дәлелдедік яғни ол тавтология .  Ал енді бұл формуладағы 

х-ң  орнына 

x

  қойсақ, 

y

-ң  орнына 

y

x

  қойсақ  жаңа  эквивалентті  формула 

аламыз. 

Y

X

X

Y

X

X

)

(

 

Егер  қандай  да  бір  F  формуланың  құрамына  кіретін  F1-ді  оған 

эквивалентті    F2  формуласымен  алмастырсақ,  алынған  формула  F-ке 

эквивалентті болып шығады. 

Осыған байланысты 

Y

X

X

Y

X

X

-қос терістеу заңы бойынша 

Y

X

X

 

)

(

Y

X

X

-Де Морган заңы бойынша 

)

(

)

(

Y

X

X

Y

X

X

-қос терістеу заңы  

Y

X

X

Y

X

X

)

(

)

(

-ассоциативті заң бойынша 

Y

X

Y

X

X

)

(

-идемпотентті заңы бойынша 

Эквиваленттік қатынастың транзитивті қасиетіне байланысты 

жоғарыдағы формулалар тізбегінің 1-шісімен соңғының эквиваленттігін жазуға 

болады. 

Y

X

Y

X

X

  

Логиканың    аталған  заңдарына  формулаларды  қысқартқанда  жиі 

қолданылатын тағы бірнеше эквиваленттіктерді қосуға болады. 

Анықтама.  Формуланы    оған    эквивалентті  (мәндес)  басқа  формуламен 

ауыстыруды эквивалентті түрлендіру дейміз. 

Формулаларды ықшамдау. 

Формуланы    ықшамдау  деп  (

,

,

-қос  терістеу  белгілері  жоқ 

формулаға  түрлендіретін  немесе  алғашқыға  қарағанда 

,

  белгілері  аз 

422 

 

формулаға  түрлендіруді  айтамыз.  Негізгі  эквиваленттік    қатынастардан  басқа 

формулаларды  ықшамдау  үшін  тӛмендегідей  эквивалентті  қатынастар 

қолданылады.  

1. Жұтылу заңдары. 

X

Y

X

X

)

(

; 

2. Желімдеу заңдары. 

1.

;

)

(

)

(

Y

Y

X

Y

X

 

3. Жалпылама желімдеу заңы. 

Z

Y

XZ

XY

Z

Y

XZ

 

4. 

y

x

y

x

x

; 

5. 

2

1

х

х

    х

1 

 х

2

  

6. 

2

1

х

х

 х

1

 х

2

 

7. Импликацияны дизьюнкция, коньюнкция және терістеу арқылы 

байланыстыратын тӛмендегідей формулалар бар. 

7.1  x

 1

 

  х

 2 

1

х

 

 х

2

  

7.2  

1

х

 

  х

 2 

 х

1 

 х

2

  

7.3  

2

1

x

x

 

 х

1 

   х

2

 

7.4  x

 1

 

  х

 2 

2

1

x

x

 

8. Эквиваленцияның дизьюнкция , коньюнкция және  терістеу  арқылы 

ӛрнектелуі 

8.1  x

 1

 

 х

2

(х

1

 х

2

 )   (х

1

 х

2

 )

 (

1

х

   х

2

 )   (

2

х

    х

1

 ) 

8.2  x

 1

 

 х

2

(х

1

 х

2

 )   (

1

х

2

х

  ) 

8.3  x 

1

 

 х

2

(

1

х

 х

2

 )   (

2

х

 х

1

 ) 

8.4  x

 1

 

 х

2

2

1

х

х

      

1

2

х

х

 

Кейде формулаларды қысқарту үшін конъюнкция белгісін жазбайды. 

Z

Y

X

)

(

- ӛрнегін  

Z

XY

, деп ал  

X

Z

Y

X

)

(

 - ӛрнегін 

X

Z

Y

X

))

(

(

 деп 

түсіну керек. 

Импликация  мен  эквиваленцияны  конъюнкция,  дизъюнкция, 

терістеу арқылы ӛрнектеу. 

,

  белгілері  бар    кез-келген  формуланы 

,

  белгілері  жоқ  басқа 

эквивалентті формуламен ауыстыруға болатының дәлелдейміз. 

Айталық  

Y

X

Y

X

  (1)   

Y

X

Y

X

   (2) формулалары белгілі болсын. 

Бірінші  формулада  импликация  дизъюнкция  мен  терістеу  арқылы,  ал  екінші 

формуладағы  импликация    конъюнкция  мен  терістеу  арқылы    ӛрнектеліп  тұр. 

Мына  эквиваленцияны 

)

(

&

)

(

X

Y

Y

X

Y

X

  (3)  конъюнкция,  импликация  арқылы 

ӛрнектеуге болатындығын кӛрсетейік.  

Тексеру: 

 

 

 

423 

 

X

 

Y

 

Y

X

 

X

Y

 

(

Y

X

)& 

(

X

Y

) 

 

Y

X

 

а 

а  а 

а 

а 

а 

а 

ж ж 

а 

ж 

ж 

ж 

а  а 

ж 

ж 

ж 

ж 

ж

 

а 

а 

а 

а 

 

(3) пен (1) ден  

)

(

&

)

(

X

Y

Y

X

Y

X

 (4) ( конъюнкция, дизъюнк ция, 

терістеу) (3)-пен (2)-ден 

)

(

)

(

)

(

Y

X

Y

X

Y

X

  (5)  (конъюнкция, терістеу)

 

 

Әдебиеттер 

1.

 

Яглом И.М. Необыкновенная алгебра.1968г. 

2.

 

Яглом И.М. Алгебры Буля. 

3.

 

Дж.Т. Калбертсон Математика и логика цифровых устройств.1965г. 

4.

 

Владимиров Д.А. Булевы алгебры.1969г. 

5.

 

Сикорский Р. Булевы алгебры. 1969г 

6.

 

Ершов Ю.Л., Палютин Е.А., «Математическая логика». М., Наука, 1979. 

7.

 

Жетпісов Қ., Түсіпов Ж.А., «Математикалық логика», Тараз, 2000. 

8.

 

Лавров И.А., Максимова Л.Л., «Задачи по теории множеств, 

математической статистике и теории алгоритмов». М., Наука, 1975. 

9.

 

Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., «Математическая логика». СПб.: «Лань», 

1998. 

10.

 

Мальцев А.И. «Алгоритмы и рекурсивные функции». М.: Наука, 1986. 

11.

 

Мендельсон Э. «Введение в математическую логику». М: 1976. 

 

Резюме 

С  целью  демонстрации  универсальности  проявление  структурных 

свойств  Булевых  алгебр  рассмотрено  большое  количество  примеров, 

свойственных  различным  математическим  наукам.  Используя  опыт 

пропедевтики  метода  формальных  аксиоматических  теории,  введено 

абстрактное  определение  класса  Булевых  алгебр,  позволяющее  отразить 

посредством  его  аксиом,  аналогию  между  теоретико-множественными, 

логико-алгебраическими и теоретико-вероятностными концепциями. 

Summary 

In order to  demonstrate  the  universality of  the  manifestation  of  the structural 

properties  of  Boolean  algebras  a  number  of  examples  which  characteristic  of 

different mathematical sciences is considered. Using the experience of Propaedeutic 

of method of formal axiomatic theories, an abstract definition of the class of Boolean 

algebras,  which  allows  reflected  by  its  axioms,  the  analogy  between  set-theoretic, 

logical, algebraic and probability-theoretic concepts is introduced. 

 

 

424 

 

ӘОЖ 51(071) 

 

МАТЕМАТИКА САБАҚТАРЫНДА ТАРИХИ МӘЛІМЕТТЕРДІ 

ПАЙДАЛАНУ 

 

Исаков  Адхамжан   Шухратҧлы,  

Академиялық инновациялық университетінің ІІ курс магистранты 

 

Қазіргі заман мектеп математикасын оқыту үрдісінде тарихи элементтерді 

қосу  мәселесі  болашақ  мұғалімдердің  кәсіби  шеберліктерін  шыңдаудың 

кӛкейкесті  мәселелерінің  бірі  болып  табылады.    Оқулықтармен  қатар  тарихи 

материалдар,  қызықты  есептер,  әдеби  кітаптар,  сӛздіктер,  дидактикалық, 

энциклопедиялық  материалдар,  зерттеулердің  нәтижелері,  жаңа  ақпарат 

құралдары, әдістемелік технологиялар,  компьютерлік анимациялар, оргами т.б. 

қосымша  материалдарды  сабақ  үрдісінде  пайдалану  қазіргі  заман  сабағының 

дәстүрлік  сабақтан  айырмашылықтарының  бірі  болып  табылады.  Кӛптеген 

классикалық,  тарихи,  қызықты  есептер  білім  алушылардың  логикалық  ойлау 

қабілетін  дамытумен  қатар,  олардың  математикалық  сӛйлемдерді  оңай 

түсінуіне  жағдай  жасайды  және  оларды  қиын  ситуацияларда  дұрыс  шешім 

қабылдауға үйретеді, математиканы табиғатпен байланыстырады.  «Философия 

кӛз  алдымызда  әрқашан  ашық  тұратын  ұлы  кітапқа  жазылған  (мен  әлем 

жӛнінде айтып отырмын), бірақ оны, ол жазылған тілді үйренбейінше және ол 

белгіленген  белгілерді  ажырата  білмейінше,  түсінуге  болмайды.  Ал,  ол 

математика  тілінде  жазылған  және  оның  белгілері  үшбұрыштар,  дӛңгелектер 

және  басқа  математикалық  фигуралар»  –  деп  жазды  орта  ғасырдың  ұлы 

ойшылы  Галилео  Галилей.  Оқушыларды  есеп  шығаруға  қызықтырудың  бір 

жолы оларды есептердің шығу тарихымен таныстыру болып табылады. 

Мысал  келтірейік.  Физика-математикалық  «Алгорифм»  [1]  журналында 

Шығыс Қазақстан облысы, Жарма ауданынан М.Мұқажановтың «Жұмбақ есеп 

жауабы»  атты  мақаласы  жарияланған.  Осы  қызықты  мақаласында  автор 

Б.Э.Ульямстің  «Кокос  жаңғақтары»  атты  жұмбақ  есебі  жайында  ӛте  қызық 

мәліметтер  келтірген.  Ол,  бұл  есеппен  айналысып  жүрген  қазақстандық 

зейнеткер  ұстаз  Балқаш  Нақанов  пен  қарағандылық  Серік  Сағынтайдың  және 

Қарағанды  облысы  Ақтоған  ауылының  Сәуле  ауылының  қойшысы  Ермекбай 

Жолдыбеков  ақсақалдың,  қарапайым  есептеулермен  есептің 

413

n

  үшін 

жауабын  «Алаш  үні»  газетінде  жариялағандығы  жӛнінде  жазып,  есептің 

қысқаша шешуі мен шығу тарихын келтірген. 

Мектеп оқушысына осы қысқаша шешімді түсіну қиын болғандықтан біз 

оңай түсінудің кестелік шешімін бердік [2]. 

1-есептің  тарихы.  1926  жылы  9-қарашада  америкалық  «Сатедей  ивнинг 

пост»  газетінде  Б.Э.Ульямстің  «Кокос  жаңғақтары»  атты  шағын  әңгімесі 

жарияланған. 

Мақаланың  мақсаты  тендер  үшін  жарыста  қарсыластардың  бірі 

екіншісінің осал жерлерін зерттеп, олардың «қызықты есептерді» шешуден есі 

кететіндіктерін  байқаған  да,  газетке  осы  қиын  есепті  жариялаған.  Газетке 

425 

 

есептің  жауабын  талдау  хаттары  20  жыл  бойы  толастамаған.  Америка 

математигі Мартин Гарднер кезінде бұл есепті теріс сандарды қолдану арқылы 

шешіпті де, оны «Теріс жаңғақ әдісі» деп атайды [3]. 

1-есеп.  Теңізде  апатқа  ұшыраған  кемеден  тірі  қалған  бес  теңізші  мен  бір 

маймыл  елсіз  аралға  жетіп,  қоныстайды.  Олар  күндіз  кокос  жаңғақтарын 

жинап,  кешке  оларды  бір  жерге  тӛгеді  де,  таңертең  теңбе-тең  бӛліп  алуға 

келісіп,  ұйқыға  кетеді.  Түн  ортасында  бір  теңізші  оянып,  жаңғақтардың 

үйіндісін беске бӛлгенде бір жаңғақ артық қалады. Ол бір жаңғақты маймылға 

беріп, қалған жаңғақтар үйіндісінің ӛзіне тиісті бестен бір бӛлігін тығып қояды 

да,  қайтадан  ұйқыға  кетеді.  Біраз  уақыттан  соң  екінші  ұры-теңізші  оянып, 

қалған жаңғақтар үйіндісінің бестен бір бӛлігін тығып, артылған бір жаңғақты 

маймылға  беріп,  ол  да  қайтадан  ұйқыға  кетеді.  Осылай  қалған  үш  теңізші  де 

кезегімен оянып, сәйкесінше қалған жаңғақтар үйіндісінің бестен бірін тығып, 

артылған  бір  жаңғақтан  маймылға  беріп,  содан  соң  қайтадан  ұйқыға  жатып 

отырады. 

Таңертең  оянған  теңізшілер  кішірейіп  қалған  жаңғақтардың  үйіндісін 

кӛріп,  дауласпай  оны  беске  теңдей  бӛлісіп  алады  да,  тағы  да  артылып  қалған 

бір  жаңғақты  маймылға  береді.  Теңізшілер  жинаған  жаңғақтардың  жалпы 

санын және әр теңізші мен маймылға тиген жаңғақтар санын есептеңіз. 

Шешуі. Жиналған жаңғақтардың жалпы санын  n, бірінші теңізші ұрлаған 

жаңғақтар  санын 

x

  және  таңертең  әділ  бӛлісуде  әрбір  теңізшіге  тиесілі 

жаңғақтарды 

y

 деп белгілейік. Сонда әрбір теңізшіден кейін қалған жаңғақтар 

санын қарастырайық (1,2,3,4,5-кестелер) 

1-кесте – Бірінші теңізшінің жаңғақтарды бӛлуі 

Барлығы 

1

5x

n

 

Маймылға  берілген 

жаңғақ 

Бірінші теңізші тыққан жаңғақтар 

саны 

Қалғаны 

x

4

 

1 

x  

x

 

x  

x  

x  

 

2-кесте – Екінші теңізшінің жаңғақтарды бӛлуі 

Барлығы 

x

4

 

Маймылға  берілген 

жаңғақ 

Екінші  теңізші  тыққан 

жаңғақтар саны 

Қалғаны 

5

4

16

5

1

4

4

x

x

 

1 

5

1

4x

 

5

1

4x

 

5

1

4x

 

5

1

4x

 

5

1

4x

 

 

3-кесте – Үшінші теңізшінің жаңғақтарды бӛлуі 

Барлығы 

5

4

16x

 

Маймылға 

берілген жаңғақ 

Үшінші  теңізшінің  тыққан 

жаңғақтарының саны 

Қалғаны 

25

36

64

25

9

16

4

x

x

 

1 

25

9

16

5

1

5

4

16

x

x

 

25

9

16x

 

25

9

16x

 

25

9

16x

 

25

9

16x

 

 

426 

 

4-кесте – Тӛртінші теңізшінің жаңғақтарды бӛлуі 

Барлығы 

25

36

64x

 

Маймылға  берілген 

жаңғақ 

Тӛртінші 

теңізші 

тыққан жаңғақтарының 

саны 

Қалғаны 

125

244

256

125

61

64

4

x

x

 

1 

125

61

64

5

1

25

36

64

x

x

 

125

61

64x

 

125

61

64x

 

125

61

64x

 

125

61

64x

 

5-кесте – Бесінші теңізшінің жаңғақтарды бӛлуі 

Барлығы 

125

244

256 x

 

Маймылға 

берілген 

жаңғақ 

Бесінші 

теңізші 

тыққан жаңғақ саны 

Қалғаны 

625

1476

1024

625

369

256

4

x

x

 

1 

625

369

256

5

1

125

244

256

x

x

 

625

369

256x

 

625

369

256x

 

625

369

256x

 

625

369

256x

 

   

Бес ұры-теңізшіден кейін қалған жаңғақтар санын қарастырайық (6-кесте). 

 

6-кесте – Бес ұры-теңізшіден кейін қалған жаңғақтар санын бӛлу 

Барлығы 

625

1476

1024 x

 

Маймыл

ға 

y  

y  

y  

y  

y  

1 

3125

2101

1024

5

1

625

1476

1024

x

x

 

3125

2101

1024 x

 

3125

2101

1024 x

 

3125

2101

1024 x

 

3125

2101

1024 x

 

 

Сонымен 

.

3125

2101

1024

y

x

 

Осыдан 

,

3125

2101

1024

y

x

 

немесе 

,

3125

1024

3125

1024

y

x

  яғни 

.

3125

3125

1024

1024

y

x

  Ортақ  кӛбейткіштерді 

жақша  сыртына  шығарсақ: 

.

1

3125

1

1024

y

x

Енді 

10

2

1024

, 

5

5

3125

  екенін 

ескерсек 

1024

  мен 

3125

  ӛзара  жай  сандар  болатынын  кӛреміз.  Ендеше 

1

3125

1

1024

y

x

 теңдеуі орындалуы үшін (Мысалы 2 және 5 екі жай сандар 

үшін: 

5

2

,  бірақ: 

2

5

5

2

,  осындағы  екінші  орында  тұрған  кӛбейткіштерді  

1

;

1

y

x

 деп белгілесек: 

1

5

1

2

y

x

) 

2

1

5

1

y

x

 

немесе

.

2

1

;

5

1

k

y

k

x

 

яғни: 

k

k

2

5

5

2

,  мұндағы 

N

k

) 

1024

3125

3125

1024

k

k

  орындалуы  тиіс.  Осыдан

k

y

k

x

1024

1

3125

1

  яғни 

1

1024

1

3125

k

y

k

x

, 

(мұндағы 

N

k

)  екені  шығады.  (

1

3125k

x

)-ді  жаңғақтардың  жалпы  саны 

1

5x

n

-ге  апарып  қойсақ: 

4

15625

1

5

15625

1

1

3125

5

k

k

k

n

,  яғни 

N

k

k

n

;

4

15625

  және 

N

k

k

y

;

1

1024

  шығады.  Сонымен,  жаңғақтардың 

427 

 

мүмкін болатын ең аз жалпы саны 

1

k

 болғанда: 

15621

4

1

15625

n

 (жаңғақ), 

ал 

N

k

y

;

1023

1

1

1024

 болады екен. 

Осыдан  бірінші  теңізшінің  ұрлап  алған  жаңғақтарының  саны: 

3124

5

15620

5

1

15621

  (жаңғақ).  Одан  қалғаны: 

12496

1

3124

15621

  (жаңғақ).  

Басқаша есептесек те: 

12496

4

3124

(жаңғақ). Ал екінші теңізшінің ұрлап алған 

жаңғақтарының  саны: 

2499

5

1

12496

(жаңғақ).  Екіншіден  қалғаны: 

9996

2499

4

 

(жаңғақ).  Енді  үшінші  теңізшінің  ұрлап  алған  жаңғақтарының  саны: 

1999

5

1

9996

  (жаңғақ).  Үшіншіден  қалғаны: 

7996

1999

4

  (жаңғақ).  Тӛртінші 

теңізшінің  ұрлап  алған  жаңғақтарының  саны: 

1599

5

1

7996

  (жаңғақ). 

Тӛртіншіден  қалғаны: 

6396

1599

4

  (жаңғақ).  Бесінші  теңізшінің  ұрлап  алған 

жаңғақтарының  саны: 

1279

5

1

6396

    (жаңғақ).  Бесіншіден  қалғаны: 

5116

1279

4

 (жаңғақ). 

    Таңертең  қалған  жаңғақтарды  тең  бӛліскенде  әрбір  теңізшіге  тиген 

жаңғақтар саны: 

1023

5

1

5116

 (жаңғақ). Яғни 

1023

y

 (жаңғақ) екенін жоғарыда  

басқаша есептеп те кӛрсеткен едік. 

Осыдан  теңізшілердің  ұрлап  және  «әділ»  бӛлісіп  алған  жаңғақтарының 

саны  тӛмендегідей  болады.  Бірінші  теңізші 

4147

1023

3124

  (жаңғақ);  екінші 

теңізші: 

3522

1023

2499

  (жаңғақ);  үшінші  теңізші: 

3022

1023

1999

  (жаңғақ); 

тӛртінші теңізші: 

2622

1023

1599

 (жаңғақ) және бесінші теңізші:  

2302

1023

1279

 

(жаңғақ) алды. Ал маймылға барлығы 6 жаңғақ тиді. 

Жауабы:  Жаңғақтардың  мүмкін  болатын  ең  аз  жалпы  саны: 

15621

. 

Теңізшілердің сәйкес алған жаңғақтарының сандары: 

4147

,  

3522

, 

3022

, 

2622

, 

2302

. Маймылға жалпы  6  жаңғақ берілді. 

2-есептің  тарихы.  Американың  белгілі  математигі  Морис  Клайн  ӛзінің 

«Математика.  Шындықты  іздеу»  [4]  кітабында  адамның  интуициясының 

пайдалы  және  пайдасыздығы  жӛнінде  кӛптеген  мәліметтер  келтірген. 

Психологияда  интуицияға  сенуге  болатын  жағдайлар  кӛп.  Ал,  математикалық 

жағынан  келгенде  сенуге  болмайтын  интуицияның  да  болатынын  айта  кету 

керек. М.Клайнің мысалдарын біз тест түрінде құрып келтірейік.   

2-есеп. Еркін түсіп бара жатқан нысанаға (мысалы алмаға) атылатын оқты 

нысанаға тигізу үшін 

A) тура кӛздеу керек B) сәл тӛмен кӛздеу керек C) сәл жоғары кӛздеу керек 

D) сәл солға кӛздеу керек E) сәл оңға кӛздеу керек 

Шешуі:  еркін  түсіп  бара  жатқан  нысанаға  (мысалы  алмаға)  атылатын 

оқты     

нысанаға  тигізу  үшін  кӛбінесе,  инструкторлар  сәл  тӛмен  кӛздеуді  ұсынады. 

Бірақ оқтың да нысанаға жеткенше ауырлық күшінен еркін түсетінін ескерсек: 

тура кӛздеу керек. 

Жауабы: А. 

3-есептің  тарихы.  Тӛмендегі  сұрақты  кезінде  атақты  физик  ғалым 

А.Эйнштейн ортаға қойған. А.Эйнштейн осы сұраққа әлемдегі 98% адам дұрыс 

428 

 

жауап  бере  алмайды  деген.  Енді  сіз  ӛзіңізді  сынап  кӛріңіз,  мүмкін  қалған  2% 

ішінде сіз бар боларсыз [5]. 

4-есеп.  1.  5  түрлі  түске  боялған  5  үй  бар.  2.  Әр  үйдің  иелері  әр 

мемлекеттің  адамдары.  3.  Бұл  5  адамның  әрқайсысы  әртүрлі  сусын  ішеді, 

әртүрлі  темекі  шегеді,  әртүрлі  жануар  асырайды.  4.Олардың  сусындары, 

темекілері және бағатын жануарлары бір біріне ұқсамайды. Белгілері: 

1.Ағылшын  қызыл  үйде  тұрады.2.Швейцарлық  бір  ит  асырайды. 

3.Даниялық шай ішеді. 4. Жасыл үй ақ үйдің сол жағында. 5. Жасал үйдің иесі 

кофе ішеді. 6.  PALL MALL маркалы темекі шегетін адам бір құс асырайды.7. 

Сары үйдің иесі DUNHILL темекісін шегеді. 8. Ортада орналасқан үйдің иесі 

сиыр  сүтін  ішеді.  9.  Норвегиялық  бірінші  үйде  тұрады.  10.  Махорка  шегетін 

адам  мысық  асырайтын  адамның  үйінің  қасында.  11.  Ат  асырайтын  адам 

DUNHILL  темекісін  шегетін  адамның  кӛршісі.  12.  BLUE  MASTER  темекісін 

шегетін адам сыра ішеді. 13. Неміс PRINCE темекісін шегеді. 14.Норвегиялық 

кӛк үйдің кӛршісі. 15. Махорка шегетін адамның кӛршісі минералды су ішеді. 

(Эйнштейн  бұл  есепті  ересек  адамдар  үшін  құрастырған.  Мектеп 

оқушыларына бергенде темекі орнына шоколадтардың атауын алған жӛн) 

Тапсырма: кім балық асырайтынын анықтаңыз. 

Шешуі: Егер жасыл үй мен ақ үйдің арасында үй жоқ десек, онда неміс 

балық асырайды (1-кесте). Ал, егер жасыл үй ақ үйдің сол жағында бола тұрып, 

арасында  үй  болса,  онда  даниялық  (есептің  басқа  да  шешулері  бар)  балық 

асырайтын болып шығады (2-кесте). 

 

1-кесте - I Шешу нұсқасы 

Мемлекет 

адамдары 

Норвегиял

ық 

Даниял

ық 

Ағылш

ын 

Неміс  Швейцариял

ық 

Үйлерінің түсі 

Сары 

Кӛк 

Қызыл 

Жасы

л 

Ақ 

Асырайтын 

жануары 

Мысық 

Ат 

Құс 

Балық  Ит 

Сусындары 

Мин. су 

Шай 

Сүт 

Кофе  Сыра 

Темекілері 

DUNHILL 

Махорк

а 

PALL 

MALL 

PRIN

CE 

BLUE 

MASTER 

 

2-кесте - II Шешу нұсқасы 

Мемлекет 

адамы 

Норвегиял

ық 

Неміс  Швейцариял

ық 

Ағылш

ын 

Даниялық 

Үйлерінің түсі  Жасыл 

Кӛк 

Ақ 

Қызыл 

Сары 

Асырайтын 

жануарлары 

Құс 

Мысы

қ 

Ит 

Ат 

Балық 

Сусындары 

Кофе 

Мин. 

су 

Сүт 

Сыра 

Шай 

Темекілері 

PALL 

MALL  

PRINC

E 

Махорка 

BLUE 

MASTE

R  

DUNHIL

L  

429 

 

Басқа  шешімін  табу  білім  алушылардың  ӛздеріне  ұсынылады.  Сонымен 

балық асырайтындар: неміс немесе даниялық (тек 2 нұсқасы). 

Жауабы: Неміс немесе даниялық (2 нұсқасы). 

Елімізде 

математика 

сабағын 

оқытатын 

кадрлардың 

кәсіптік 

құзіреттілігігін  қалыптастыру  –  олардың  пән  бойынша  білімін  шыңдаумен 

қатар,  жалпы  интеллектуалдық  ойлау  кеңістігін  кеңейтуді  де  талап  етеді. 

Математика  сабақтарында  мектеп  оқушыларының  математикалық-логикалық, 

интеллектуалдық  ойлауын  дамыту  үшін,    тарихи,  классикалық  есептерді,  ұлы 

математикатердің  және  басқа  пән  ғалымдарының  маематика  жӛніндегі  немесе 

адамгершілік т.б. адам бойындағы жағымды қасиеттері, фәлсафалық тұрғыдағы 

қанатты сӛздері, математика тарихындағы қызықты оқиғалар, парадокстар мен 

шешімі жоқ есептерді, тарихи мәліметтерді пайдалану әдістемесінің осы орайда 

маңызы зор.      

Математиканың   мектептік  курсында   ғылым   тарихының  элементтерін  

жүйелі      пайдалану    оқушылардың    пәнге      деген      ынтасын      дамытуға,   

математиканы   неғұрлым  терең   де  берік   игеруге, мектеп оқушыларының   

диалектикалық-материалистік  дүниетанымын   қалыптастыруға  жәрдемдеседі. 

Сондай-ақ    ӛз  ұлтымыздан  шыққан    математиктер      туралы      әңгімелер  

оқушылардың   ӛз еліне, Отанына  мақтаныш  сезімін  тудырады. 

жүктеу/скачать 4,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: