Н. И. Лобачевского Графики функций Учебно-методическое пособие
Построение графиков функций, заданных явно
жүктеу/скачать 1,37 Mb.
|
| 2.2. Построение графиков функций,
заданных явно Пример. Исследовать функцию и построить её график. Решение. 1. Функция определена на всей действительной оси . 2. Функция нечетная () - график симметричен относительно начала координат. Поэтому исследование функции и построение её графика можно проводить в области . 3. График функции пересекает ось в точках , ; ось - в точке . 4. Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет. Значение на границе определения есть 5. Исследуем наличие асимптот: , . Следовательно, является наклонной асимптотой. Вертикальных асимптот нет (нет точек разрыва второго рода, бесконечных). 6. Найдем точки экстремума функции. ==0 Точка - стационарная точка. Для определения того, является ли эта точка экстремальной, исследуем знак производной -2 2 x Итак, - точка минимума (тогда, в силу симметрии точка максимума). 7. Анализируя вторую производную, найдем точки перегиба и участки выпуклости функции . 0 x Т.к. , то точка - точка перегиба, при - - область выпуклости вниз. 8. Найдем значение функции, а также её производной для некоторых значений аргумента и построим график функции сначала для , а потом отобразим его симметрично относительно начала координат на область .
Пример. Исследовать функцию и построить её график. Решение. 1. Функция определена на всей действительной оси . 2. Функция четная () - график симметричен относительно оси . Поэтому исследование функции и построение её графика можно проводить в области . 3. График функции имеет с осью одну общую точку , ось пересекает в точке . 4. Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет. Значение на границе определения есть 5. Исследуем наличие асимптот: =, . Следовательно, наклонных асимптот у графика нет. Вертикальных асимптот тоже нет, т.к. нет точек разрыва второго рода, бесконечных. 6. Найдем точки экстремума функции. Производная не существует в точке и равна нулю в точке . Это точки подозрительные на экстремум. -2 0 2 x Знаки производной показывают, что - точка максимума, - точка минимума. Т.к. в точке производная не существует, найдем в этой точке односторонние производные. == == == Следовательно, в точке имеем точку возврата функции, причем график функции касается прямой с двух сторон 7. Анализируя вторую производную, найдем точки перегиба и участки выпуклости функции. не существует при и . 0 2 2 x Точка - точка перегиба, потому что при и при - - область выпуклости вниз. 8. Найдем значение функции, а также её производной для некоторых значений аргумента и построим график функции сначала для , а потом отобразим его симметрично относительно оси на область .
Пример. Исследовать функцию и построить её график. Решение. 1. Функция определена на всей действительной оси, т.к. при . 2. Функция четная () - график симметричен относительно начала координат. Поэтому исследование функции и построение её графика можно проводить в области . 3. График функции пересекает оси координат в точке (0,0). 4. Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет. Значение на границе определения есть 5. Исследуем наличие асимптот: , . Следовательно, является горизонтальной асимптотой. Вертикальных асимптот тоже нет, т.к. нет точек разрыва второго рода, бесконечных. 6. Найдем точки экстремума функции. В точке производная не существует – это точка подозрительная на экстремум. Для определения того, действительно ли эта точка экстремальная, исследуем знак производной. -1 1 x Итак, - точка максимума. Для уточнения графика функции, исследуем, чему равны левая и правая производные в точке . = = = = = ==1, =-1. Т.о. точка является угловой точкой, причем тангенс угла наклона левой касательной 1 (угол ), справа тангенс угла наклона -1 (угол ). 7. Анализируя вторую производную, найдем точки перегиба и участки выпуклости функции. , Т.о. , а не существует. Т.к. при - - область выпуклости вниз; при - - области выпуклости вверх. Точки , - точки перегиба, причем . -1 0 1 x 8. Найдем значение функции, а также её производной для некоторых значений аргумента и построим график функции сначала для , а потом отобразим его симметрично относительно начала координат на область .
Пример. Исследовать функцию и построить её график. Решение. 1. Функция определена на всей действительной оси . 2. Функция общего вида, отрицательная при , положительная при . 3. График функции имеет с осью две общие точки и , ось пересекает в точке . 4. Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет. Значение на границе определения есть 5. Исследуем наличие асимптот: =-5=. Следовательно, наклонная асимптота графика. Вертикальных асимптот нет, т.к. нет точек разрыва второго рода, бесконечных. 6. Найдем точки экстремума функции В точках производная не существует, в точке производная равна нулю – это точки подозрительные на экстремум. Для определения того, действительно ли эти точки экстремальные, исследуем знак производной. 3 4 6 x Итак, - точка максимума, - точка минимума. Т.к. в точке производная не существует, найдем в этой точке односторонние производные. = === = Следовательно, в точке имеем точку возврата функции, причем график функции касается прямой с двух сторон. Производная не существует и в точке . Найдем и в этой точке односторонние производные. = === = График функции имеет в точке касательную параллельную оси . 7. Анализируя вторую производную, найдем точки перегиба и участки выпуклости функции 3 x Знаки второй производной показывают, что есть точка перегиба. 8. Найдем значение функции, а также её производной для некоторых значений аргумента и построим график функции.
жүктеу/скачать 1,37 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|