Н. И. Лобачевского Графики функций Учебно-методическое пособие
Построение графиков в полярных координатах
жүктеу/скачать 1,37 Mb.
|
| 1.2. Построение графиков
в полярных координатах Полярными координатами точки М на плоскости являются длина радиус-вектора - расстояние от точки М до точки О (полюса) и полярный угол - угол наклона радиус-вектора к полярной оси. Рис.7. Если совместить ось с полярной и через полюс провести ось , то из прямоугольного получим формулы связи прямоугольных и полярных координат. По определению - величина неотрицательная: . Таким образом, из формул связи, учитывая, что кривая в полярной системе координат задается уравнением , получим параметрическое задание кривой: , , где - параметр. Способ построения таких кривых с полным исследованием см. в п. 2.3. Но, если - известная функция, то задача построения её графика не требует детального исследования функции. Пример. Покажем, как строится график кривой, заданной в полярных координатах на примере Лемнискаты Бернулли . Решение. Функция - периодическая, с периодом . Она определена, если : и . В силу периодичности и четности её график симметричен относительно лучей , , , . Следовательно, достаточно взять таблицу значений на промежутке .
Построение ведется следующим образом: на полярной оси откладывается отрезок ОА длиной . Затем проводим луч под углом и на нем откладываем отрезок ОВ длиной . На луче откладываем отрезок ОС длиной , на луче - отрезок О длиной , на луче -точку О, т.к. . Точки О, В, С, , О соединяем плавной линией. Остальную часть кривой проводим, учитывая симметрию (Рис. 8). Пример. - трехлепестковая роза. Решение. Функция - периодическая, с периодом . Она определена, если : , и . В силу периодичности и симметричности синуса относительно : , достаточно взять таблицу значений на промежутке .
При построении на полярной оси отмечается точка 0, на луче - отрезок длиной , на луче -откладываем отрезок ОС длиной , на луче - 1, и т.д. отмеченные точки соединяем плавной линией. Остальную часть кривой дорисовываем, учитывая периодичность (Рис.9). Пример. , - парабола. Решение. Область определения функции . Учитывая периодичность и четности , достаточно взять таблицу значений на промежутке и найти (т.к. в нуле функция не определена). =
Замечание. Подставив , в уравнение , получим каноническое уравнение параболы жүктеу/скачать 1,37 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|