Методика синтеза гидравлических рулевых механизмов

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НАЧАЛО 
Выявление 
закономерностей рабочих 
процессов ГРУ 
Постановка задачи 
оптимизации 
Критерий 
эффективности 
Аппроксимация выявленных закономерностей 
методом наименьших квадратов 
Переход от задачи условной оптимизации 
 к задаче безусловной оптимизации   
методом множителей Лагранжа 
Решение задачи условной оптимизации 
методом второго порядка 
(метод Ньютона) 
Получение оптимальных значений 
конструктивных параметров ГРМ 
 для каждой целевой функции 
Вычисление скорректированных оптимальных 
значений основных конструктивных 
параметров ГРМ 
КОНЕЦ 

 
Рис. 3.34. Алгоритм оптимизационного синтеза 
гидравлических рулевых механизмов
 
3.2.1. Задача оптимизации 
 
 
Задачи  нелинейной  оптимизации  с  точки  зрения  методов 
решения делятся на два класса /4, 24, 45/: 
- задачи безусловной оптимизации; 
 
- задачи условной оптимизации. 
 
Задача  безусловной  оптимизации  представляет  собой  поиск 
оптимума целевой функции без всяких дополнительных условий, это 
записывается /45/: 
f(x) → min(max),                                       (3.2) 
 
 
Такие  задачи  на  практике  встречаются  крайне  редко,  но  метод 
их  решения  служит  основой  для  решения  практических  задач 
оптимизации. 
 
Задача  условной  оптимизации  в  общем  виде  записывается  в 
виде /45, 52/: 
F = f(x
j
) → min; 
g
i
(x
j
) ≤ b
i
; 
d
j
 ≤ x
j
 ≤ D
j
; 
i = 1…m; j = 1…n. 
 
 
 
В систему (3.3) входят три составляющие: 
 
1.  Целевая  функция  показывает,  в  каком  смысле  решение 
должно  быть  оптимальным,  то  есть  наилучшим,  при  этом  возможны 
три  вида назначения целевой  функции:  максимизация, минимизация, 
назначение заданного значения. 
 
2. Ограничения устанавливают зависимости между переменными. 
 
3.    Граничные  условия  показывают,  в  каких  пределах  могут 
быть  значения искомых переменных в оптимальном решении. 
 
Целевые функции выходных параметров и показателей качества 
системы  от  величины  диаметров  отверстий  гидромоторного  ряда  и 
граничные условия: 
 
-  Необходимо  выполнить  требование  по  увеличению  запасов 
устойчивости  путем  минимизации  коэффициента  колебательности 
выходной величины: 
 
(3.3) 











.
d
;
, q)
M (d
м
10
36
м
10
25
min
4
0
4
0
                           (3.4) 
 
 
- 
Необходимо 
выполнить 
требование 
по 
снижению 
перерегулирования выходной величины в системе: 
 










.
d
м
;
, q)
σ (d
м
10
36
10
25
min
4
0
4
0
                              (3.5) 
 
-  Должен  обеспечиваться  поворот  машины  при  минимальном 
давлении питающего насоса: 
 

























































.
d
,
:
 q
,
d
:
 q
,
d
,
:
 q
,
d
:
 q
,
d
:
 q
;
, q)
p (d
м
10
36
м
10
3
29
м
10
250
для
м
10
36
м
10
28
м
10
200
для
м
10
36
м
10
7
26
м
10
160
для
м
10
36
м
10
26
м
10
125
для
м
10
36
м
10
25
м
10
80
для
min
4
0
4
3
6
5
4
0
4
3
6
4
4
0
4
3
6
3
4
0
4
3
6
2
4
0
4
3
6
1
0
           (3.6)     
 
 
 
-  Необходимо  выполнить  требование  по  снижению  времени 
регулирования выходной величины: 
 










.
d
;
, q)
 (d
t
ПП
м
10
36
10
25
4
0
4
0
м
min
                             (3.7) 
 
 
Целевые  функции  показателей  качества  системы  от  величины 
угла  зоны  нечувствительности  гидрораспределителя  и  граничные 
условия при включении гидропривода: 
 
- 
Необходимо 
выполнить 
требование 
по 
снижению 
перерегулирования выходной величины в системе: 
 










.
,
γ
;
q)
(
σ
ВКЛ
рад
10
5
8
рад
10
2
min
,
2
2

                            (3.8) 
 

 
-  Необходимо  снижение  времени  чистого  запаздывания  при 
включении: 
 










.
,
γ
;
τ(γ)
рад
10
5
8
рад
10
2
min
2
2
                            (3.9) 
 
 
 
Целевые  функции  показателей  качества  системы  от  величины 
угла  зоны  нечувствительности  гидрораспределителя  и  граничные 
условия при отключении гидропривода: 
 
- 
Необходимо  выполнить  требование  по  увеличению 
запасов 
устойчивости 
при 
отключении 
путем 
минимизации 
коэффициента колебательности выходной величины: 
 










.
,
γ
;
q)
M (
рад
10
5
8
рад
10
2
min
,
2
2

                          (3.10) 
 
 
-  Необходимо  выполнить  требование  по  снижению  времени 
регулирования выходной величины при отключении: 
 










рад.
10
8,5
рад
10
2
min;
,
2
2
γ
q)
(
t
ПП 

                          (3.11) 
 
 
- 
Необходимо 
выполнить 
требование 
по 
снижению 
перерегулирования выходной величины в системе при отключении: 
 



















































рад.
10
8,5
рад
10
2
          
          
          
          
:
м
10
250
 
и
м
10
200
 
для
рад,
10
8,5
рад
10
2,75
:
м
10
160
 
для
рад,
10
8,5
рад
10
3,13
:
м
10
125
 
для
рад,
10
8,5
рад
10
3,46
:
м
10
80
 
для
min;
,
2
2
3
6
5
3
6
4
2
2
3
6
3
2
2
3
6
2
2
2
3
6
1
γ
q
q
γ
q
γ
q
γ
q
q)
(
σ
ОТКЛ

      (3.12) 
 
 
Целевые  функции  показателей  качества  системы  от  величины 
площади 
проходных 
сечений 
каналов 
разгрузки 
в 
гидрораспределителе и граничные условия: 

 
- 
необходимо 
выполнение 
требования 
к 
снижению 
перерегулирования выходной величины в системе: 









.
м
10
5
,
1
м
10
min;
2
4
2
4
SL
SL
f
,q)
σ(f
                            (3.13) 
 
 
-  необходимо  выполнение  требования  к  снижению  времени 
регулирования выходной величины: 
 









.
м
10
5
,
1
м
10
min;
2
4
2
4
SL
SL
ПП
f
,q)
(f
t
                            (3.14) 
 
 
Таким  образом,  поставлена  задача  оптимизации  при  помощи 
задания целевых функций и граничных условий. 
 
 
3.2.2. Аппроксимация зависимостей 
 
 
Для получения целевых функций и решения задач оптимизации 
необходимо 
аппроксимировать 
зависимости 
выходных 
характеристик, 
показателей 
устойчивости 
и 
качества 
ГРУ 
уравнениями нелинейной регрессии: 
-  от  величины  диаметров  отверстий  гидромоторного  ряда 
гидрораспределителя и рабочих объемов гидромотора обратной связи 
при включении привода: р(d
0
, q) (см. рис. 3.21); М(d
0
, q) (см. рис. 3.9); 
σ (d
0
, q) (см. рис. 3.19) и t
ПП
 (d
0
, q) (см. рис. 3.18); 
- 
от 
величины 
угла 
зоны 
нечувствительности 
гидрораспределителя и рабочих объемов гидромотора обратной связи 
при включении привода: σ(γ, q) (см. рис. 3.24); τ(γ, q) (см. рис. 3.25) и 
при отключении: М(γ, q) (см. рис. 3.15); σ(γ, q) (см. рис. 3.28); t
ПП
(γ, q) 
(см. рис. 3.29); 
-  от  величины  площади  проходных  сечений  каналов  разгрузки и 
рабочих  объемов  гидромотора  обратной  связи  при  включении 
привода: σ(f
SL
, q) (см. рис. 3.32); t
ПП
(f
SL
, q) (см. рис. 3.33). 
 
Обоснование метода аппроксимации. 
В  предлагаемой  работе  для  аппроксимации  вышеперечисленных 
зависимостей 
принято 
решение 
об 
использовании 
метода 
наименьших  квадратов,  поскольку  он  обеспечивает  приемлемую 

точность и используется в распространенных программных продуктах 
типа MatCAD или MS EXCEL. 
Согласно  этому  методу  наилучшими  параметрами  а
1
,  а
2
  …  а
m
  в 
эмпирической  зависимости  считаются  те,  для  которых  сумма 
квадратов отклонений минимальна /30, 73/: 
 
   




.
... a
, a
, a
x
f
y
)
... a
, a
F(a
n
i
m
i
i
m
min
2
1
2
1
2
1





           (3.15) 
 
В  силу  необходимости  условия  экстремума  функции  многих 
переменных,  частные  производные  этой  функции  по  варьируемым 
параметрам обращаются в нуль /30, 73/: 
 




















.
a
)
... a
, a
F(a
.   .
  .   .   
.   .   . 
  .   .   
,
a
)
... a
, a
F(a
,
a
)
... a
, a
F(a
m
m
m
m
0
0
0
2
1
2
2
1
1
2
1
                                 (3.16) 
 
Частные  производные  функции 
)
... a
, a
F(a
m
2
1
по  варьируемым 
параметрам: 
 






 .
... a
, a
, a
x
f
 
... a
, a
, a
x
f
y
a
)
... a
, a
F(a
m
i
n
i
a
m
i
i
m
2
1
1
1
2
1
2
1
2








   (3.17) 
 
По  остальным  параметрам  а
2
,  а
3
  …  а
m
  частные  производные 
имеют аналогичный вид. 
 































.
 
... a
, a
, a
x
f
 
... a
, a
, a
x
f
y
.
  .   .   
.   .   . 
  .   .   
.   .   . 
  .   .   
.   .   . 
  .   .   
.   .   . 
  .   .   
,
 
... a
, a
, a
x
f
 
... a
, a
, a
x
f
y
m
i
n
i
am
m
i
i
m
i
n
i
a
m
i
i
0
0
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
        (3.18) 
 

Решение  этой  системы  относительно  а
1
,  а
2
  …  а
m
  дало  искомые 
наилучшие значения числовых параметров. 
Очень  важной  характеристикой  регрессионных  зависимостей 
является  мера  их  достоверности,  которая  оценивается  величиной  R
2
, 
находящейся в пределах /45/: 
 
0 ≤ R
2
 ≤ 1.                                          (3.19) 
 
При  R
2
  =  0  величины,  для  которых  определяются  уравнения 
регрессии,  являются  независимыми;  при  R
2
  =  1  имеет  место 
функциональная (а не статистическая) зависимость. Принято считать 
допустимым R
2
 ≥ 0,7 /45/. 
 
Известно, что функции  с  двумя переменными при  графическом 
представлении  аппроксимируются  поверхностью,  однако,  даже  имея 
мощный  математический  аппарат  довольно  сложно  получить 
приемлемую  точность,  поскольку  аппроксимация  поверхностей 
производится  в  форме  пользователя  и  описание  поверхности 
полиномом  выше  второй  степени  связано  с  определенными 
трудностями.  Поэтому  в  предлагаемой  работе,  так  как  одна  из 
переменных,  а  именно,  рабочий  объем  гидромотора  обратной  связи 
изменяется  дискретно,  можно  перейти  от  уравнений  множественной 
регрессии  к  уравнениям  парной  регрессии  при  каждом  значении 
дискретно изменяющейся величины. 
Программный  продукт  MS  Excel  позволяет  находить  уравнение 
парной  регрессии  для  построенного  графика  y  =  f(x).  Это 
производится  по  следующему  алгоритму  нахождения  парной 
регрессии с помощью программного продукта MS Excel /45/: 
1. Ввести массив с исходными данными. 
2. Построить зависимость. 
3. Указать на аппроксимируемую кривую и вставить линию 
тренда (рис. 3.35). 
4. Исходя из вида статистических данных, выбрать тип регрессии 
и для полиномиальной регрессии – степень. 
5. Включить отображение полученного уравнения. 
6. Оценить достоверность аппроксимации величиной R
2
. 
Степень полинома определяется максимальным значением 
величины достоверности R
2
. 
Определение нелинейной регрессии F = f(d
0
,q): 
Воспользовавшись  вышеприведенным  алгоритмом,  получим 

уравнения  регрессии  p  =  f(d
0
),  аппроксимирующие  зависимости 
установившихся  значений  давления  в  гидрораспределителе  от 
величины диаметра отверстий гидромоторного ряда d
0
 (рис. 3.36): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
p = 0,0074d
3
 + 0,7868d
2
 – 27,9157d + 336,703        (3.20) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
 
 
Рис. 3.35. Диалоговое окно построения линии тренда 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
p = 9,0891∙10
-5
d
6
  0,0171d
5
 + 1,3406d
4
  55,8626d
3
 +  
+ 1306,6544d
2
  16271,283d + 84320,23                       (3.21) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 

- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
p = 0,01143d
3
 + 1,1948d
2
  41,814d + 497,953                   (3.22) 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
 
Рис. 3.36. Аппроксимация зависимостей давления перед  
гидрораспределителем от величины диаметра отверстий гидромоторного 
ряда при различных значениях рабочего объема гидромотора 
 
 

 
Рис. 3.37. Аппроксимация зависимостей коэффициента колебательности  
расхода в ГРУ при включении от величины диаметра отверстий  
гидромоторного ряда при различных значениях рабочего объема 
 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
p = 0,001694d
4
  0,2261d
3
 + 11,3923d
2
  257,353d + 2212,302     (3.23) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
p = 0,001144d
5
  0,1773d
4
 + 10,9406d
3
 – 335,4502d
2
 + 
+ 5107,258d –  30828,702                             (3.24) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
Уравнения регрессии М = f(d
0
), аппроксимирующие зависимости 
коэффициента  колебательности  расхода  в  ГРУ  при  включении  от 
величины диаметра отверстий гидромоторного ряда d
0
 (рис. 3.37): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,02596d
3
  1,7717d
2
 + 39,4288d  284,0415                  (3.25) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,02451d
3
  1,592d
2
 + 33,08645d  215,0687          (3.26) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,002531d
4
  0,2888d
3
 + 12,9076d
2
  263,2135d + 2038,48   (3.27) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,00221d
4
  0,2441d
3
 + 10,6085d
2
  211,4913d + 1606,879   (3.28) 

 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,003663d
4
  0,4096d
3
 + 17,722d
2
  347,685d + 2585,47    (3.29) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
Уравнения  регрессии  σ  =  f(d
0
),  аппроксимирующие  зависимости 
величины  перерегулирования  расхода  в  ГРУ  при  включении  от 
величины диаметра отверстий гидромоторного ряда d
0
 (рис. 3.38): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,00132d
5
 – 0,2057d
4
 + 12,6497d
3
  385,2586d
2
 + 
+ 5814,2917d  34807,574                                (3.30) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = –6,318E-05d
6
 + 0,01094d
5
  0,7844d
4
 + 29,698d
3
 –  
– 625,1638d
2
 + 6922,663d  31417,31                         (3.31) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,0004869d
5
 – 0,07345d
4
 + 4,3929d
3
 – 130,2413d
2
 + 
+1916,225d - 11200,249                                (3.32) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = –0,000388d
5
 + 0,0584d
4
 – 3,5068d
3
 + 104,8731d
2
 – 
– 1561,8211d + 9264,613                            (3.33) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 

 
σ = – 0,002315d
4
 + 0,2776d
3
 – 12,4389d
2
 + 247,555d – 1838,511 (3.34) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
 
 
Рис. 3.38. Аппроксимация зависимостей величины перерегулирования 
 расхода в ГРУ от величины диаметра отверстий гидромоторного ряда  
при различных значениях рабочего объема гидромотора 
 

 
 
Рис. 3.39. Аппроксимация зависимостей времени регулирования 
расхода в ГРУ от величины диаметра отверстий гидромоторного ряда 
при различных значениях рабочего объема гидромотора
 
Уравнения регрессии t
ПП
 = f(d
0
), аппроксимирующие зависимости 
времени  регулирования  расхода  в  ГРУ  при  включении  от  величины 
диаметров отверстий гидромоторного ряда d
0
 (рис. 3.39): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = –3,254E-06d
6
 + 0,0006d
5
 – 0,04687d
4
 + 1,9222d
3
 –  
– 44,1164d
2
 + 537,1968d – 2711,374                       (3.35) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = –1,0049E-05d
5
 + 0,001567d
4
 – 0,09747d
3
 + 
+ 3,0205d
2
 – 46,621d + 286,688                         (3.36) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,0001978d
3
 + 0,01885d
2
 – 0,5727d + 5,8518          (3.37) 
 

с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 7,4981∙10
-5
d
3
 + 0,00711d
2
 – 0,2115d + 2,353               (3.38) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = 3,4502∙10
-6
d
5
 – 0,0005292d
4
 + 0,03226d
3
 – 
                – 0,9765d
2
 + 14,6755d – 87,2095                              (3.39) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
Определение нелинейной регрессии F = f(γ, q). 
Получим  уравнения  регрессии  M  =  f(γ),  аппроксимирующие 
зависимости  коэффициента  колебательности  расхода  в  ГРУ  при 
отключении 
от 
величины 
угла 
зоны 
нечувствительности 
гидрораспределителя (рис. 3.40): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = 0,3627γ
4
 – 8,9659γ
3
 + 81,107γ
2
 – 317,764γ + 454,43          (3.40) 
 
с величиной достоверности R² = 0,997. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
M = – 0,0577γ
5
 + 1,7614γ
4
 – 21,025γ
3
 + 
+122,628γ
2
 – 348,851γ + 386,65                          (3.41) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = – 0,0575γ
5
 + 1,6961γ
4
 – 19,4812γ
3
 + 
+ 108,703γ
2
 – 293,955 γ+ 307,54                        (3.42) 
 
с величиной достоверности R² = 0,996. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = – 0,0506γ
5
 + 1,4887γ
4
 – 17,048γ
3
 + 94,787γ
2
 – 
– 255,184γ + 265,511                                     (3.43) 
 

с величиной достоверности R² = 0,995. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
M = – 0,0466γ
5
 + 1,3691γ
4
 – 15,6606γ
3
 + 
+86,9521γ
2
 – 233,723γ + 242,739                        (3.44) 
 
с величиной достоверности R² = 0,995. 
Получим  уравнения  регрессии  σ  =  f(γ),  аппроксимирующие 
зависимости  величины  перерегулирования  расхода  в  ГРУ  при 
включении 
от 
величины 
угла 
зоны 
нечувствительности 
распределителя (рис. 3.41): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,005394γ
5
 – 0,2401γ
4
 + 3,6167γ
3
 – 23,5568γ
2
 + 
+ 63,6584γ – 41,8301                                  (3.45) 
 
с величиной достоверности R² = 0,983. 
 
 
 
 
Рис. 3.40. Аппроксимация зависимостей коэффициента  
колебательности расхода в ГРУ при отключении от величины угла 
зоны нечувствительности при различных значениях рабочего объема 
 

 
 
Рис. 3.41. Аппроксимация зависимостей величины перерегулирования 
расхода в ГРУ при включении от величины угла зоны нечувствительности 
при различных значениях рабочего объема гидромотора 
 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
σ = 0,009786γ
5
 – 0,3254γ
4
 + 4,0901γ
3
 – 23,6534γ
2
 + 
+ 59,1557γ – 35,559                                  (3.46) 
 
с величиной достоверности R² = 0,990. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,00115γ
5
 – 0,0189γ
4
 + 0,7957γ
3
 – 
– 6,9301γ
2
 + 20,381γ – 4,135                             (3.47) 
 
с величиной достоверности R² = 0,995. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,02215γ
4
 + 0,5072γ
3
 – 3,9605γ
2
 + 11,3993γ + 2,6264      (3.48) 
 
с величиной достоверности R² = 0,996. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,07842γ + 12,1107                               (3.49) 
 

с величиной достоверности R² = 0,999. 
Получим  уравнения  регрессии  σ  =  f(γ),  аппроксимирующие 
зависимости  величины  перерегулирования  расхода  в  ГРУ  при 
отключении 
от 
величины 
угла 
зоны 
нечувствительности 
распределителя (рис. 3.42): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,0978γ
4
 – 2,4394γ
3
 + 23,0268γ
2
 – 99,7863γ + 177,016    (3.50) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,0581γ
4
 – 1,4927γ
3
 + 14,665γ
2
 – 66,65γ + 125,28      (3.51) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,1395γ
3
 + 3,0742γ
2
 – 22,887γ + 62,201            (3.52) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,0518γ
3
 + 1,1706γ
2
 – 9,2217γ + 29,631               (3.53) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,2024γ
2
 – 2,9853γ + 14,9287                        (3.54) 
 
с величиной достоверности R² = 0,996. 
Уравнение  регрессии  τ  =  f(γ),  аппроксимирующее  зависимость 
времени  чистого  запаздывания  срабатывания  ГРУ  от  величины  угла 
зоны  нечувствительности  распределителя  выглядит  следующим 
образом: 
 
τ = γ.                                                (3.55) 
 
Получим  уравнения  регрессии  t
ПП
  =  f(γ),  аппроксимирующие 
зависимости  величины  времени  регулирования  расхода  в  ГРУ  при 
отключении 
от 
величины 
угла 
зоны 
нечувствительности 

гидрораспределителя (рис. 3.43): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = 0,002447γ
3
 – 0,0432γ
2
 + 0,1712γ + 0,4222             (3.56) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = 0,001242γ
3
 – 0,0236γ
2
 + 0,0823γ + 0,5061             (3.57) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,0002638γ
3
 + 0,001622γ
2
 – 0,0384γ + 0,6436          (3.58) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,00171γ
3
 + 0,0258γ
2
 – 0,1537γ + 0,7697            (3.59) 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
 
 
Рис. 3.42. Аппроксимация зависимостей величины перерегулирования 
 расхода в ГРУ при отключении от величины угла зоны нечувствительности  
распределителя при различных значениях рабочего объема гидромотора 

 
 
 
Рис. 3.43. Аппроксимация зависимостей времени регулирования 
расхода в ГРУ при отключении от величины угла зоны нечувствительности  
распределителя при различных значениях рабочего объема гидромотора
 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,00236γ
3
 + 0,0369γ
2
 – 0,2059γ + 0,8141            (3.60) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
Определение нелинейной регрессии F = f(f
SL
, q). 
Получим  уравнения  регрессии  σ  =  f(f
SL
),  аппроксимирующие 
зависимости  величины  перерегулирования  расхода  в  ГРУ  от 
величины  площади  проходных  сечений  каналов  разгрузки  в 
гидрораспределителе (рис. 3.44): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,3957f
SL
 4
 – 5,7849f
SL
 3
 + 30,4998f
SL
 2
 – 69,923f
SL
 + 66,654 (3.61) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = 0,1932 f
SL
 4
 – 3,015 f
SL
 3
 + 16,8254 f
SL
2
 – 41,172 f
SL
 + 46,403 (3.62) 

 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,4494f
SL
 3
 + 4,621f
SL
 2
 – 16,553f
SL
 + 29,3616               (3.63) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,2338f
SL
 3
 + 2,1127f
SL
 2
 – 7,1647f
SL
 + 19,548               (3.64) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
σ = – 0,1602f
SL
 3
 + 1,0659f
SL
 2
 – 2,548f
SL
 + 14,315                (3.65) 
 
с величиной достоверности R² = 0,997. 
 
 
Получим  уравнения  регрессии  t
ПП
  =  f(f
SL
),  аппроксимирующие 
зависимости  величины  времени  регулирования  расхода  в  ГРУ  от 
величины  площади  проходных  сечений  каналов  разгрузки  в 
гидрораспределителе (рис. 3.45): 
- для q
1
 = 80 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,001562f
SL
 3
 + 0,0219f
SL
 2
 – 0,1157f
SL
 + 0,3675            (3.66) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
2
 = 125 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = 0,000754f
SL
 3
 – 0,002476f
SL
 2
 – 0,0393f
SL
 + 0,3233           (3.67) 
 
с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
3
 = 160 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = 0,0009826f
SL
 2
 – 0,0359f
SL
 + 0,3248                   (3.68) 
 

с величиной достоверности R² = 0,998. 
- для q
4
 = 200 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,001723f
SL
 3
 + 0,00837f
SL
 2
 – 0,0278f
SL
 + 0,3208       (3.69) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
- для q
5
 = 250 ∙ 10
-6
 м
3
: 
 
t
ПП
 = – 0,001799f
SL
 4
 + 0,0154f
SL
 3
 – 0,0477f
SL
 2
 + 0,0558f
SL
 + 0,284 (3.70) 
 
с величиной достоверности R² = 0,999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 3.44. Аппроксимация зависимостей величины перерегулирования 
 расхода в ГРУ от величины площади проходных сечений каналов  
разгрузки при различных значениях рабочего объема гидромотора 
 

 
 
Рис. 3.45. Аппроксимация зависимостей времени регулирования 
 расхода в ГРУ от величины площади проходных сечений каналов  
разгрузки при различных значениях рабочего объема гидромотора
 
 
3.2.3. Решение задачи условной оптимизации 
 
 
 
Обзор 
методов 
поиска 
решения 
в 
задачах 
условной 
оптимизации. 
 
Использование численных методов предполагает знание области 
возможных  изменений  решения,  и  чем  эта  область  уже,  то  есть  чем 
больше  ограничений,  тем  эффективнее  применение  численных 
методов  оптимизации.  В  случае,  когда  критерий  представляет  собой 
линейную  функцию  решения,  а  ограничения  являются  набором 
линейных  неравенств  и  процесс  одношаговый,  подобная  задача 
решается методами линейного программирования /9, 10/. 
 
Если 
критерий 
и 
ограничения 
являются 
нелинейными 
функциями  решения  и  процесс  одношаговый,  то  подобная  задача 
решается  методами нелинейного  программирования.  Геометрическое 
программирование  представляет  собой  математический  метод 
оптимизации,  позволяющий  решать  задачи  оптимизации  в  тех 
случаях,  когда  целевая  функция  и  ограничения  выражаются 
нелинейными функциями специального вида /9/. 
 
Методы  регулярного  поиска  хорошо  разработаны  лишь  для 

отыскания экстремума унимодальных функций одной переменной, то 
есть  функций  имеющих  единственный  экстремум  на  интервале 
допустимых значений аргумента. 
 
Метод  случайного  поиска  используется  для  отыскания 
экстремума  функций  многих  переменных  при  любых  ограничениях 
/9, 10/. 
 
Применение  аналитических  методов  всегда  предпочтительней 
численных,  поскольку  аналитические  методы  позволяют  получить 
достаточно  полную  и  общую  картину  исследуемой  функции, 
установить  влияние  различных  факторов  на  эту  функцию. 
Аналитические  методы  применимы,  когда  критерий  представлен 
целевыми  функциями,  которые  должны  быть,  по  крайней  мере,  два 
раза дифференцируемыми и иметь конечное число точек разрыва. 
 
Для  использования  классических  методов  оптимизации  – 
дифференциального  и  вариационного  исчисления  обязательно 
отсутствие ограничений. 
 
При  наличии  ограничивающих  условий  определяется  условный 
экстремум,  то  есть  решается  задача  Лагранжа.  Принцип  максимума 
Л.С. Понтрягина применим в условиях, когда имеются ограничения и 
решение  является  функцией  аргументов,  но  модель  представляет 
собой набор аналитических зависимостей /9, 10/. 
 
Алгоритм перехода к задаче безусловной оптимизации. 
 
Выше был приведен целый ряд методов решения задач условной 
оптимизации.  Реализованный  в  программе  Excel  метод  множителей 
Лагранжа 
заключается 
в 
преобразовании 
задачи 
условной 
оптимизации  в  задачу  безусловной  оптимизации.  Производится  это 
по следующему алгоритму перехода от задачи условной оптимизации 
к задаче безусловной оптимизации методом множителей Лагранжа /4, 
24, 45/: 
 
1. Преобразование ограничений-неравенств в уравнения: 
 
V
i 
(x
j
) = g
i 
(x
j
) – b
i 
; 
i = 1…m; j = 1…n. 
 
 
2. Запись ограничений в виде: 
V
i 
(x
j
) = 0; 
i = 1…m; j = 1…n. 
 
Аналогично преобразовываются граничные условия. 

Задача условной оптимизации будет иметь вид: 
 






…n.
…m; j = 
i = 
;
) = 
 (x
V
;
 
) 
F = f(x
j
i
j
1
1
0
min
                                 (3.71) 
 
 
3. Задача (3.71) представляется в виде функции Лагранжа: 
…n,
…m; j = 
i = 
;
)
(x
V
λ
)-
) = f (x
, λ
L(x
m
i
j
i
i
j
i
j
1
1
min
1



              (3.72) 
 
где λ
i
 – множитель Лагранжа. 
 
4.  Определение  частных  производных  и  составление  системы 
уравнений: 
…n.
…m; j = 
i = 
;
λ
)
, λ
L(x
;
x
)
, λ
L(x
j
i
j
j
i
j
1
1
0
0






 
 
 
5. Решая систему (3.73) определяются значения λ
i
. 
 
6.  Подставляются  значения  λ
i
  в  выражение  (3.72).  При  этом 
(3.72) будет представлять собой задачу безусловной оптимизации. 
 
 
3.2.4. Решение задачи безусловной оптимизации 
 
Алгоритм метода безусловной оптимизации в общем виде. 
 
Идея поиска экстремума заключается в следующем /4, 45, 68/: 
 
1. Прежде всего, необходимо задаться координатами начальной 
точки  поиска  x
j
0
,  j  =  1…n.  Желательно,  чтобы  выбранная  начальная 
точка x
j
0
 была как можно ближе к искомому экстремуму, что сократит 
время поиска. 
 
2.  В  заданной  точке  x
j
0
  определить  направление  движения  на  
первом шаге β
1
. 
 
3. Принять величину шага t
1
. 
 
4. Определить координаты конца первого шага x
j
1
. 
 
5. Вычислить значения признака экстремума на первом шаге. 
(3.73) 

 
6. Проверить выполнение признака экстремума. 
 
Если  условие  признака  выполняется,  то  принимается,  что 
экстремум  находится в точке  x
j
0
,  если  нет  –  аналогично выполняется 
второй  шаг  и  так  далее  до  выполнения  условия,  характеризующего 
достижения экстремума.
 
Основные  методы  поиска  решения  в  задачах  безусловной 
оптимизации и описание выбранного метода. 
 
В  приведенном  алгоритме  не  сказано  о  том,  как  выбирать 
направление  и  длину  шага  на  каждой  итерации.  А  этот  вопрос 
является  исключительно  важным,  так  как  именно  он  определяет 
точность  полученных  результатов  и  быстроту  сходимости,  то  есть 
число  итераций,  за  которое  будет  достигнут  экстремум.  Методы 
выбора  направления  и  длины  шага  бывают  различных  типов, 
некоторые из них реализованы в Excel /45/. 
 
Методами  поиска  называются  такие  методы,  которые  для 
определения  направления  β  и  величины  шага  t  используют  только 
значение  целевой  функции.  Такие  методы  называются  методами 
нулевого порядка /45, 68/. 
 
Градиентные методы или методы первого порядка – это такие 
методы,  в  которых  для  определения  направления  β  и  шага  t 
используются  значения  первых  производных  целевой  функции  и 
определяется ее градиент /45, 68/. 
 
Методами 
Ньютона 
или 
методами 
второго 
порядка 
называются такие методы, в которых для определения направления β 
и  шага  t  используются  значения  вторых  производных  целевой 
функции /45, 68/. 
 
Чем выше порядок методов, тем больше вычислений на каждой 
итерации,  но  тем  меньше  требуется  итераций.  И,  естественно, 
наоборот. Градиентные методы не требуют на каждой итерации очень 
больших вычислений, так как вычисляется только целевая функция и 
ее первые производные /45/. 
 
Стратегия метода Ньютона /68/: 
 
Стратегия 
метода 
Ньютона 
состоит 
в 
построении 
последовательности  точек  {x
k
},  k  =  0,1,…,  таких,  что  f(x
k+1
)  <  f(x
k
). 
Точки последовательности вычисляются по правилу /68/: 
 

x
k+1
 = x
k
 + β
k 
,                                    (3.74) 
 
где х
0
 – задается пользователем, а направление спуска β
k
 определяется 
для каждого значения k по формуле: 
 
),
f(x
)
(x
 = -H
β
k
k
-
k

1
                                 (3.75) 
 
где  H(x)  –  Матрица  Гессе; 
)
f(x
k

  –  градиент  функции  f(x), 
вычисленный в точке x
k
. 
 
Формула (3.75) получена из следующих соображений /68/: 
 
1. 
Функция 
f(x) 
аппроксимируется 
в 
каждой 
точке 
последовательности {x
k
} квадратичной функцией: 
 
.
2
1
)
)β
,H(x
(β
)
),β
f(x
(
)
f(x
G
k
k
k
k
k
k
k




                    (3.76) 
 
2.  Направление
k
β определяется  из  необходимого  условия 
экстремума  первого  порядка: 
0.

k
k
dβ
dG
  Таким  образом,  при 
выполнении 
требования 
0
 

)
H(x
k
последовательность 
является 
последовательностью точек минимумов квадратичных   функций G
k 
, 
k  =  0,1,…  .  Чтобы  обеспечить  выполнение  требования  f(x
k+1
)  <  f(x
k
), 
даже  в  тех  случаях,  когда  для  каких-либо  значений  матрица  Гессе 
)
H(x
k
  не  окажется  положительно  определенной,  рекомендуется  для 
соответствующих  значений  k  вычислить  точку  x
k+1
  по  методу 
градиентного спуска: 
 
)
f(x
t
x
x
k
k
k
k



1
,                               (3.77) 
 
где t
k
 – величина шага, выбирается из условия: 
 
).
f(x
))
f(x
t
f(x
k
k
k
k



                           (3.78) 
 
 
Построение  последовательности  {x
k
}  заканчивается  в  точке  x
k
, 
для которой 
 

,
1
ε
)
f(x
k


                                      (3.79) 
 
где ε
1
 – заданное малое положительное число, или при k ≥ N, здесь N – 
предельное  число  итераций,  или  при  двукратном  одновременном 
выполнении двух неравенств: 
 











,
ε
)
f(x
)
f(x
;
ε
x
x
k 
k 
k 
k 
2
1
2
1
                             (3.80) 
 
где ε
2
 – малое положительное число. 
 
Таким  образом,  можно  представить  уточненный  алгоритм 
решения  задачи  безусловной  оптимизации  методом  Ньютона  /68/ 
(рис. 3.46). 
 

 
Рис. 3.46. Алгоритм решения задачи безусловной 
оптимизации методом Ньютона 
 
 
3.2.5. Оптимальные значения конструктивных 
 параметров гидравлических рулевых механизмов 

жүктеу/скачать 46,93 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: