Организации и эволюции природных структур

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                  
58 
 


u x t
i
F
( , )

0
,  


0
)
,
(

F
t
x

 
(17) 
ввиду  (12)  обращают  в  нуль  все  слагаемые 
правой  части  (16),  кроме  последнего  слагае-
мого. Следовательно, необходимо, чтобы  
 


0
,


F
t
t
i
j
ij




. 
Запишем  эти  условия  на  соответствующем 
подвижном волновом фронте 
t
F
. В силу (3), 
(4), (13) имеем 
 


,
0
,
,
)
(



t
F
j
l
lij
t
i
j
l
m
E
ml
ij
n
E
e
cu
n
u
C

(18) 
 


0
,
,


t
F
l
jl
l
m
jml
u
e


 
(19) 
В силу (13) условия (18), (19) преобразуются 
к виду (14), где 
c
 – скорость фронта волны, и 
(15).  Условие  (14)  –  закон  сохранения  им-
пульса на волновых фронтах [4]. Теорема до-
казана. 
Следствие. Справедливо равенство 
 


0
,
,


t
F
l
i
t
i
l
cu
u
n
, 
,
,
1 M
i

 
N
l
,
1

 
Последнее  равенство  является  условием  не-
прерывности  касательных  производных  пе-
ремещений  на  волновом  фронте  и  является 
следствием первого условия (17). 
О п р е д е л е н и е  1. Назовем 
)
,
( t
x

 – 
решение  (12)  для 
1
)
,
(


N
R
t
x
классическим 
решением  (12),  если  функция 
)
,
( t
x

  непре-
рывна  на 
1

N
R
,
 
дважды  дифференцируема  
почти  всюду  на 
1

N
R
 
и  имеет  ограниченное 
число волновых фронтов, на которых выпол-
няются  условия на скачки (14) – (15).  
 
3.
 
Динамический аналог формулы 
Сомильяны.  
Рассмотрим  анизотропную  пьезоэлек-
трическую  среду,  занимающую  область 
N
R
S


  с  границей 
S
  из  класса  поверхно-
стей  Ляпунова  с  непрерывной  внешней  нор-
малью 
1
   
,

n
n
, 


D
t
x )
,
(
,  
)
,
0
(





S
D
, 
)
,
0
( t
S
D
t




, 
0

t
, 
)
,
0
(



S
D
, 
)
,
0
( t
S
D
t


. Обозначим:  
при 
0

t
  
 
S
S
x
x
u
x
u
i
i




),
(
)
0
,
(
0
 
(20) 
 



S
x
x
u
x
u
i
t
i
),
(
)
0
,
(
1
,
 
для 
S
x

, 
0

t
 
 
)
,
(
)
,
(
t
x
u
t
x
u
S
i
i

, 
 
),
,
(
)
(
)
,
(
t
x
g
x
n
t
x
i
j
ij


 
(21) 
 
)
,
( t
x
q
n
D
S
j
j

,  
)
,
(
)
,
(
t
x
t
x
S



 
Требуется  по  известным  начальным  и  гра-
ничным  значениям  перемещений,  поверхно-
стных  нагрузок,  электрического  потенциала, 
плотности  потока  заряда  восстановить  пере-
мещения, напряжения и напряженность элек-
трического поля в среде. 
Введем определенные на всем про-
странстве R
N
 обобщенные функции  
 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
ˆ
t
x
H
t
x
u
t
x
u
D
k
k


,  
 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
ˆ
t
x
H
t
x
t
x
D




,  
 
)
,
(
)
(
)
,
(
ˆ
t
x
H
x
G
t
x
G
D
k
k


,  
где 
)
(
)
(
)
,
(
t
H
x
H
t
x
H
S
D



, 
)
(x
H
S

  –  харак-
теристическая функция области 

S
 [8]. Если 
граница области 
S
  –  гладкая  с  непрерывной 
нормалью,  то 
2
/
1
)
(


x
H
S
  для 
S
x

. 
)
(t
H
– функция Хевисайда: 
2
/
1
)
0
(

H
. 
Обозначим через 
)
,
( t
x
U
k
i
  матрицу  Гри-
на  –  решение  системы  уравнений  (12),  соот-
ветствующее  действию  сосредоточенной  си-
лы  
 
)
,
(
)
,
(
ˆ
t
x
t
x
G
ik
i



, 
где 
)
,
(
t
x

  –  обобщенная  дельта–функция,  и 
удовлетворяющее условиям 
 
0
)
0
,
(

x
U
k
i
, 
0
)
0
,
(
,

x
U
t
k
i
, 
0

x
. 
При фиксированном значении 
k
 имеет место  


)
0
,
0
(
)
,
(
),
,
(
k
i
ik
t
x
t
x





)
(
1




N
M
R
D

. 
Введем первообразную матрицы Грина по 
t
: 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
59                                            
 Вып. 12, Т.1, 2010
 
 
)
(
)
,
(
)
,
(
t
H
t
x
U
t
x
V
t
k
i
k
i


,  
 
k
i
k
i
t
U
V


 
(22) 
Здесь символ 
"
"
t

 означает неполную свертку 
по 
t
, которая для регулярной функции имеет 
вид 




t
t
d
x
g
t
x
f
t
H
t
x
g
t
x
f
0
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(



 
Первообразная  матрицы  Грина 
k
i
V
  является 
решением (12) при 
)
(
)
(
~
t
H
x
G
ik
i



. 
Т е о р е м а 1.  Если классическое реше-
ние  краевой  задачи 
)
,
( t
x

  существует  и 
единственно, то обобщенное решение 
)
,
(
ˆ
t
x

 
представимо в виде свертки:  






)
(
)
(
~
)
,
(
ˆ
1
x
H
x
U
G
U
t
x
S
k
x
k
i
k
k
i
i


 






t
S
k
x
k
i
x
H
x
U
,
)
(
)
(
0



)
(
)
(
t
H
x
p
U
S
k
k
i

  
 



)
(
)
(
,
 
,
t
H
x
n
V
C
S
m
t
j
l
k
i
ml
kj


 
 
)
(
)
(
 
,
1
x
x
n
x
V
C
S
m
j
l
k
i
ml
kj




 
Здесь 
)
(x
S

–  сингулярная  обобщенная 
функция  –  простой  слой на 
S
[5],  соответст-
венно 
)
(
)
(
)
,
(
t
H
x
t
x
p
S
k

–  простой  слой  на 
D
. 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действуя опера-
тором 
kj
L
  на 
)
,
(
ˆ
t
x

,  используя  правила 
дифференцирования обобщенных функций, с 
учетом равенств [4]:  
 
)
(
)
(
)
,
(
t
H
x
n
t
x
H
S
j
D
j





, 
 
)
(
)
(
)
,
(
x
H
t
t
x
H
S
D
t





 
и условий на фронтах (14) –(15), получим 
 





)
,
(
ˆ~
)
,
(
ˆ
)
,
(
t
x
G
t
x
L
k
j
t
x
kj

 
 





)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
x
H
x
x
H
x
S
k
S
k


 
 


)
(
)
(
)
,
(
t
H
x
t
x
p
S
k

 
 


)
(
)
(
)
,
(
t
H
x
n
t
x
C
S
m
j
l
ml
kj




=
)
,
(
ˆ
t
x
F
k
(23) 
Свойство матрицы Грина,  позволяет постро-
ить обобщенное решение (12) в виде свертки 
 






)
(
)
(
~
)
,
(
ˆ
1
x
H
x
U
G
U
t
x
S
k
x
k
i
k
k
i
i


 








)
(
)
(
,
)
(
)
(
0
t
H
x
p
U
x
H
x
U
S
k
k
i
t
S
k
x
k
i


 
 


l
S
m
S
j
k
i
ml
kj
t
H
x
n
U
C
,
)
(
)
(




 
(24) 
где 
'
"

  обозначает  полную  свертку  по  пере-
менным 
)
,
( t
x
: 
 


)
,
(
)
,
(
t
x
g
t
x
f
 
 



t
R
y
dV
t
y
g
y
x
f
d
t
H
N
0
)
(
)
,
(
)
,
(
)
(



 
переменная 
x
  под  звездочкой  соответствует 
свертке  только  по 
x
.  Последнюю  свертку  в 
(24)  можно  преобразовать,  пользуясь  прави-
лами  дифференцирования  сверток  и  обоб-
щенных функций 
 





l
S
m
j
k
i
t
ml
kj
t
H
x
n
V
C
,
)
(
)
(


 
 





t
S
m
j
l
k
i
ml
kj
t
H
x
n
V
C
,
)
(
)
(
,


 
 




)
(
)
(
,
 
,
t
H
x
n
V
C
S
m
t
j
l
k
i
ml
kj


 
 



 
)
(
)
(
)
(
0
t
x
n
x
S
m
j



 
 



)
(
)
(
,
 
,
t
H
x
n
V
C
S
m
t
j
l
k
i
ml
kj


 
 
)
(
)
(
 
,
0
x
x
n
x
V
C
S
m
j
l
k
i
ml
kj




 
Подставим это соотношение в (24). В резуль-
тате  получим  правую  часть  (23).  Покажем, 
что  (24)  является  обобщенным  решением 
(12).  Действительно,  если 
)
(x
U
k
i
  -  фунда-
ментальное  решение  (12),  решение  для  про-
извольной 
i
Fˆ
 может быть представлено в ви-
де  свертки: 
k
k
j
j
F
U
ˆ
ˆ




.  Подставив  это  в 
(12), получим 
 






k
k
j
ij
j
ij
F
U
L
L
ˆ
ˆ

 
 


i
k
ik
k
k
j
ij
F
F
F
U
L
ˆ
ˆ
ˆ






 
Поскольку для 
)
(
1



N
M
R
D

 
 








i
k
k
i
i
i
F
U



,
ˆ
,
ˆ
 






i
j
kj
k
i
L
U


,
ˆ





i
j
k
i
kj
U
L


,
ˆ
 
 




i
i
i
j
ij
t
x






,
ˆ
,
ˆ
)
,
(



 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                  
60 
отсюда следует, что 


ˆ
ˆ

 и утверждение 
теоремы. В силу леммы дю Буа-Реймона [5] 
i

 является классическим
 
решением (12). 
Полученная  формула  по  известным  на-
чальным  (20)  и  граничным  (21)  значениям 
восстанавливает решение в области, поэтому 
ее можно назвать аналогом формулы Сомиль-
яны  для  решений  (12).  Она  является  обоб-
щенным  решением  поставленных  задач  и 
может использоваться при 
i
G
ˆ~

 в том числе и 
сингулярных, что характерно для физических 
задач. 
 
 

жүктеу/скачать 5,02 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: