Организации и эволюции природных структур

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                   8
 
CRITICAL STATISTICAL ENSEMBLES IN ELECTRON NANOSYSTEMS  
AT THE LOCALIZATION TRANSITION 
I.Kh. Zharekeshev  
Al-Farabi Kazakh National Universiiy, Almaty 
 
The statistical properties of spectra in the electron nanostuctures are studied with 
and  without  magnetic  field.  It  is  shown  that  the  spectral  correlations  exhibit 
universal  scale-independent  behaviour  characteristic  of  critical  statistical 
ensembles 
 
Introduction 
The  crossover  from  integrability  to  chaos 
is  one  of  the  important  issues  in  physics  of 
complex  systems.  Non-ergodicity  and  nonlinear 
behavior  of  open  systems  out  of  equilibrium  is 
often  caused  by  the  influence  of  the  external 
conditions,  for  example,  by  the  adiabatic 
connection  to  the  environment  or  by  imposing 
strong  external  fields.  The  description  of 
dynamical  aspects  of  time-dependent  evolution 
of  statistical  parameters  can  be  based  on  the 
formalism  of  canonical  ensembles  (when  the 
number of particles  N in an open nanosystem is 
fixed)  and  grand-canonical  ensembles  (when  N 
is  large  and  not  fixed).  As  a  counterpart  for  the 
transition 
between 
full 
integrability 
and 
complete  chaos  in  quantum  electronic  systems 
(e.g.  quantum  dots  coupled  to  a  bath  reservoir) 
can serve a delocalization-localization transition.  
On  the  other  hand,  the  latter  is 
characterized  by  a  sharp  crossover  of  the 
electronic conductivity from the metallic regime 
to the insulating one.  A striking signature of this 
metal-insulator  transition  is  a  presence  of  the 
criticality, 
meaning 
that 
a 
set 
of 
thermodynamical  quantities  exhibit  critical 
behavior.  It  turns  out,  that  the  distributions  of 
strongly  fluctuating  parameters  at  the  critical 
point  of  the  transition  obey  generic  common 
laws  and  can  be  analyzed  by  the  finite-size 
scaling  scenarios.  Moreover,  a  new  set  of  the 
statistical  ensembles,  named  critical  ones,  have 
been introduced especially for characterizing the 
critical point. 
The  problem  of  localization  of  quantum 
particles  in  a  disordered  nanosystem  has 
attracted great attention during last decades,  
 
triggered  by  the  discovery  of  new  quantum 
phenomena  in  condensed  matter  physics.  After 
the  first  formulation  of  the  modern  theory  of 
solids  in  the  1930’s  it  was  thought  for  a  long 
time  that  the  effect  of  disorder  on  the  state  of 
electrons  in  solid  structures  can  be  described  in 
terms of the perturbations of low orders. Indeed, 
the 
standard 
quantum-mechanical 
implementation 
of 
Boltzmann 
transport 
approach 
appeared 
to 
work 
perfectly 
everywhere,  expect  for  certain  unexplainable 
observations  like,  for  example,  the  negative 
magnetoresistance of doped semiconductors in a 
weak  magnetic  field.  It  was  only  in  1958  that 
Philipp  Anderson  suggested  the  currently  well-
known  concept  of  quantum  localization  of 
electrons  by  the  potential  disorder  [1].  He 
proposed  that  in  a  tight-binding  model  of 
electrons  on  a  lattice  with  chaotically  varying 
site energies V the electrons of a given energy E 
would become localized if the spread of the on-
site  energies  V  meaning  the  disorder  degree  is 
sufficiently large.  
In  the  other  words,  the  behavior  of  the 
electronic  states  would  change  drastically  from 
extended  to  localized  behavior.  In  the  former 
case the disorder manifests itself mainly through 
a decay of phase coherence in the averaged one-
particle  propagator,  while  in  the  latter  case  the 
probability amplitude decreases exponentially as 
one goes away from the centre of localization. It 
is not surprising, since even in a classical system 
the  disorder  may  cause  the  localization  of 
particles.  However  the  quantum  nature  of 
electrons make them harder to overcome narrow 
passages  and  channels,  despite  the  fact  that 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
9                                                 Вып. 12, Т.1, 2010 
quantum  particles  can  tunnel  under  barriers,  i.e. 
through  classically  forbidden  regions.  Hence, 
quantum  particles  in  nanoclusters  tend  to  be 
localized  more  easily  than  their  classical 
counterparts. 
 
 
Quantum transport in open nanosystems 
The  first  qualitative  consequence  of  the 
quantum  nature  of  particles  for  transport  in 
disordered  open  nanosystems  is  reflected  in  the 
fact  that  the  mean  free  path  l  cannot  become 
shorter  that  the  wavelength  of  the  electrons  λ
F
. 
For  electrons  in  the  centre  of  the  band  λ
F
  is  of 
the order of the lattice spacing a, but for energies 
near the band edge λ
F
 may be larger than lattice 
constant  a.  In  a  classical  system  the  shortest 
possible  mean  free  path  is  always  given  by  the 
average  distance  between  the  scattering  centers, 
irrespectively  of  the  particle  energy.  If  the 
disorder  increases  beyond  the  point  where  l≈ λ
F 
or  else,  if  the  energy  of  the  electrons  decreases 
for  a fixed  disorder, the  nature of  the  electronic 
states  is  expected  to  change  from  extended  to 
localized.  As  a  consequence,  the  electrical 
conductivity  of  the  nanosystem  or  mobility  of 
carriers is expected to vanish to zero.  
This  scenario,  where  a  change  in  the 
electron  energy  induces  a  metal-insulator 
transition,  was  explored  early  by  Mott  [2].    He 
introduced  the  term  ‘mobility  edge’  for  the 
critical energy separating extended and localized 
states. These two types of states are not likely to 
coexist at a given energy, since any small change 
in  the  potential  would  cause  admixtures  of 
extended states with a localized state, and would 
thus  delocalize  it.  On  the  basis  of  qualitative 
considerations  and  experimental  data  Mott 
concluded  that  the  Anderson  transition  in  a 
three-dimensional 
system 
should 
be 
discontinuous,  the  conductivity  jumps  from  a 
finite 
value, 
called 
minimum 
metallic 
conductivity  downwards  to  zero.  The  advent  of 
the 
computer, 
which 
made 
the 
exact 
diagonalization  of  finite-size  systems  possible, 
and  the  advances  in  electrical  transport 
measurements near the metal-insulator transition 
at low temperatures have changed this picture. 
It  is  well  established  now  that  there  is,  in 
fact, no minimum metallic conductivity and that 
the  transition  is  continuous,  much  like  a 
continuous 
phase 
transition 
in 
usual 
thermodynamics.  A  continuous  phase  transition 
is  necessarily  associated  with  a  characteristic 
length  ξ,  localization  length,  which  tends  to 
infinity  as  the  transition  is  approached.  At  the 
transition  a  natural  unit  of length  does  not  exist 
anymore  and  the  system  is  therefore  considered 
as  being  scale-invariant.  The  ensuing  scaling 
behavior  was  discovered  by  Thouless  [3]  who 
noticed  that  the  conductance  of  a  finite-size 
block scales with the size in a universal way.  
In  this  paper  we  also  consider  the 
electronic  spectra  rather  than  the  conductivity. 
Its  statistics  also  undergo  the  phase  transition 
similar to the conductance.  Mostly  concentrated 
on  the  critical  point  of  the  metal-insulator 
transition,  the  various  classes  of  the  ensembles 
are  numerically  investigated  depending  on  the 
presence  of  the  external  magnetic  field.  It  has 
earlier shown that the probability function of the 
neighboring  spacings  P(s)  exhibits  finite-size 
scaling and also becomes scale-invariant exactly 
at  the  transition  point  for  both  the  orthogonal 
and  the  unitary  symmetry.  Interestingly,  our 
results  demonstrate  that  there  is  a  essential 
difference  between  the  spectral  correlations  for 
critical  orthogonal  ensemble  (COE)  and  for  the 
Gaussian  orthogonal  ensemble  (GOE)  [4].  The 
same  is  observed  for  the  deviations  between 
critical  unitary  (CUE)  and  Gaussian  unitary 
ensembles (GUE).  
Critical orthogonal ensemble 
For 
the 
orthogonal 
case, 
which 
corresponds to the system without magnetic field 
and with spinless particles, the level statistics at 
non-vanishing  disorder  of  random  potential 
exhibits critical behaviour starting from the three 
dimensions. 
As 
an 
example, 
we 
have 
numerically calculated the level statistics of a 
 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                      
10 
sample with time-reversal symmetry (φ= 0) for L = 
6 for different disorders. Figure 1 demonstrates how 
the  distribution  P(s)  changes  from  the  GOE-result 
to  the  Poisson  distribution,  when  the  disorder  W 
increases. One observes a continuous change of the 
data  between  the  two  limits,  the  slope  at  small  s 
being  always  linear  for  arbitrary  disorder  W  in 
agreement with the time-invariant symmetry: 
                                                      
 
,
)
(

s
B
s
P
o
o

        (1) 
with  β  =  1.  In  the  metallic  regime  (W  <  W
c
)  it 
diminishes  towards  B
o
  =  π
2
/6  with  decreasing 
disorder  or/and  increasing  the  size,  i.e.  with 
increasing  the  conductance  g,  unless  the  system  is 
in  the  ballistic  regime.  In  the  insulating  regime  the 
slope B
o
 increases to infinity when both the disorder 
W  and  the  linear  size  of  the  system  L  tend  to 
infinity. 
 
 
Fig.1.The level spacing distribution P(s) for a 
cubic nanosystem with orthogonal symmetry for 
various disorder strength W=5, 16.5, 30 и 100 
(box distribution). Taken is a nanocube of linear 
size L=16. Solid line is the GOE result and 
dashed line is Wigner surmise. Dotted line: 
Poisson distribution P
p
(s) = exp(-s). Inset shows 
an enlarged area near s = s
0
≈2.0, the crossing 
point of the Poisson and the Wigner 
distributions. The number of spacings is about 
10
8
. 
At  the  transition  point  W  =  W
c
  =  16.5  of  the 
`box'  model  the  level  spacing  distribution  function 
corresponds  to  the  critical  orthogonal  probability 
function P
o
c
(s), which is not sensitive to the change 
of  the  system  size  L.  The  prefactor  is  found  to  be 
B
o
c
 = 2.12

 0.06, i.e. B
o
c
 ≈1.29 B
o
, according to the 
Eq.  (1).  The  scale-invariance  of  the  critical  level 
statistics  has  been  justified  in  many  works  [5-8]. 
We  analyze  here the overall functional  form  of  the 
critical P
o
c
(s), in more detail using results of large-
scale  computations,  particularly  concentrating  on 
the asymptotic behaviour for large s. 
We  have  computed  also  the  level  spacing 
distribution function (in form of a histogram) for the 
critical  disorder  W
c
  =  20.9  of  the  Gaussian 
distribution of the on-site energies. The eigenvalues 
were  taken  from  the  interval  centred  at  E  =  0 
containing  approximately  10%  of  the  spectrum. 
Within the numerical error-bars the data of P(s) are 
the same for different  L and coincide with those of 
P
o
c
(s)  for  the  box  distribution,  justifying  the 
independence on the model of diagonal disorder. By 
other  words,  it  is  proved  that  the  critical  statistics 
are universal irrespective of the microscopic details 
of the system.  
Of particular interest is the region of spacings 
around  s
0
  =  2.002,  where  the  Wigner  surmise 
P
W
(s)=π
2
/2  exp(-π
2
s
2
/4),  and  P
P
(s)  =  exp(-s), 
intersect.  It  has  been  suggested  by  Shklovskii  [5] 
that  independently  of  the  disorder  degree  W,  all 
empirical  curves  P(s)  including  the  critical  one, 
P
o
c
(s)  should  intersect  at  the  same  point  s
0
,  which 
would then play the role of a universal energy. The 
existence of such a universal point would mean that 
the  system  possess  a  hidden  symmetry.  The 
underlying  reason  for  this  symmetry,  however,  is 
not known yet at present.  
Focusing  on  a  region  close  to  s
0
,  we  have 
performed  detailed  calculations  with  the  large 
number  of  realizations.  One  should  again  take  into 
account  that,  in  fact,  the  Wigner  surmise  only 
approximates  the  exact  RMT  result  for  P(s),  albeit 
quite  well  (within  5%).  Thus  P
GOE
(s)≠P
W
(s).  The 
true  intersection  of  P
P
(s),  and  P
GOE
(s),  lies  at  s
0
  = 
2.019.  Careful  analysis  of  our  data  does  not, 
however,  show  any  common  crossing  point  for 
various  disorder  degrees  W  (see  inset  of  Fig.  1). 
The computed value of P(s
0
) for disorder W = 16.5 
(also  for  W  =  30  and  100)  differs  from  P
P
(s
0
)  by  a 
magnitude  which  exceeds  the  numerical  errors.  No 
unique  point  so  has  been  observed  also  for  the 
unitary case.  

Журнал проблем эволюции открытых систем
] 
 
11                                         
Вып. 12, Т.1, 2010
 
In  the  vicinity  of  the  transition  point  W
c
  the 
level spacing distribution exhibits critical behaviour 
similar  to  that  of  the  level  number  variance, 
discussed  in  papers  [6-8].  Using  the  finite-size 
scaling analysis for the distribution of neighbouring 
spacings one can construct the disorder dependence 
of  the  localization  length  ξ(W)  and  extract  the 
critical  exponent  ν.  The  one-parameter  scaling 
scenario for the function P(s) has been corroborated 
in  a  large  number  of  computer  simulations  [8-10]. 
Therefore  we  provide  here  only  the  summary  of 
numerical  results  available  on  calculations  of  the 
critical exponent for various physical situations and 
do not further focus on this topic.  
One  can  show  that  the  critical  exponent  as  a 
characteristic  of  the  symmetry  class,  is  almost  the 
same  within  statistical  uncertainty  for  different 
models  of  the  diagonal  disorder  (for  the  uniform 
and  the  Gaussian  distributions  of  on-cite  energies 
ε
n
) and of the quantum  percolation. As expected, it 
is also not sensitive to the anisotropy of the system. 
Generally,  all  the  data  for  the  critical  exponent  of 
the localization length are centred about the value ν 
=  1.45  ±  0.1,  as  an  acceptable  estimate  for  the 
orthogonal  case.  It  turns  out  that  the  value  of  the 
critical  exponent  evaluated  from  the  level  number 
variance  is  consistent  with  that  obtained  from  the 
analysis  of  P(s).  Notably  this  value  is  somewhat 
smaller  than  that  found  by  the  high-precision 
transfer-matrix calculations ν
TM
 = 1.57 ± 0.02. The 
reason  of  such  a  slight,  but  resolvable  discrepancy 
is not known yet.  
 
Critical unitary ensemble 
We  now  consider  the  level  statistics  for 
systems  with  broken  time  reversal  symmetry.  Such 
a  situation  can  be  realized  by  applying  an  external 
Aharonov-Bohm  (AB)  magnetic  flux  through  a 
system forming a ring geometry. In order to achieve 
the  maximal  effect  of  the change  of  the  symmetry, 
the  AB-fluxes  of  the  equal  magnitude  are  applied 
along  all  three  perpendicular  directions  in  a  three-
dimensional  cubic  lattice  (the  three-component 
flux).  Performing  diagonalization  for  different 
magnitudes  of  the  flux  ranging  from  φ  =  0  to  φ  = 
1/4, we found the critical statistics to be sensitive to 
the flux. As a function of φ, the distribution P(s) at 
the critical point W
c
 = 16.5 changes smoothly from 
the  critical  orthogonal  P
o
c
(s)  to  the  critical  unitary 
form P
u
c
(s) at φ = 1/4, which is known as the COE-
CUE crossover [8] (see figure 2). 
 
 
 
 
Fig.2.The level spacing distribution P(s) for the 
unitary case at the critical disorder W=16.5. 
Upper panel: at different values of the 
Aharonov-Bohm flux φ for a system with fixed 
linear size L = 5. Lower panel: at the fixed flux φ 
= 0.2 for different sizes L = 5 (+); 10 (□); 20 (●). 
Solid and dashed lines are the critical P(s) for 
two limiting phases φ = 1/4 and φ = 0, 
respectively. Inset: asymptotic behaviour of P(s) 
at the limiting AB-phase φ = 1/4 for linear sizes 
L = 5 (+) and 20 (●). Solid line – P
u
c
(s)  [Eq. 
(3)], dashed line - P
P
(s) and dotted line – P
u
W
(s) 
all correspond to critical, insulating and metallic 
regimes, respectively. 
 
This  flux-controlled  crossover  of  the  critical  level 
statistics 
repeats 
periodically, 
resuming 
the 
orthogonal  form  at  φ=0.5,  since  a  half  of  the  flux 
quantum  corresponds  to  the  real  Hamiltonian 
defined with antiperiodic boundary conditions
 

Журнал проблем эволюции открытых систем 
 
Вып. 12, Т.1, 2010                                                  
12 
 (`false' T-invariance). For fixed flux, all P(s) at W
c
 
proved to be insensitive to variations of the size of 
the system L = 5, 10 and 20, as shown in figure 2 
(left  panel)  for  φ  =  0.2.  The  same  L-independent 
behaviour  has  been  observed  for  other  values  of 
flux φ = 0.05, 0.1 and 0.25. As expected for the T-
symmetry  broken,  we  observe  a  quadratic 
behaviour P
u
(s) ~s
2
 for small s at all W, as soon as 
L  is  finite.  It  has  recently  been  suggested  that  the 
flux-driven  crossover  of  the  critical  unitary 
statistics  can  be  explained  on  the  basis  of  the 
analogy to the semi-classical limit. For n = 0 both 
the  Mehta  parameter  [9]  for  the  unitary  critical 
statistics J
c
u
 = 0.685±0.003 and, consequently, the 
spacing variance var s = 2J
c
u 
-1 ≈ 0.344 are larger 
than those for the GUE, where J
u
 for RMT is equal 
to 0.590.  
The  extreme  form  of  the  unitary  critical 
P
u
c
(s)  corresponding  to  the  AB-phase  φ  =  1/4 
coincides  with  that  found  in  the  presence  of  the 
strong  magnetic  field,  as  has  been  shown  in  Ref. 
[10]. In the latter case, the COE-to-CUE crossover 
is  discontinuous,  unlike  to  the  application  of  an 
AB-flux.  The  behaviour  of  P
u
c
(s)  for  small 
spacings s is described by the power-law 
,
)
(

s
B
s
P
u
с
u
с

 
,
1
.
0
5
.
8


u
с
B
      (2) 
with  the  `repulsion  parameter' 

=2.  This  result  is 
in  direct  contradiction  to  another  numerical  work 
[11], which has claimed the linear growth of P
u
c
(s) 
at  small  s,  i.e. 

  =  1,  similar  to  the  critical 
orthogonal case.  
The  asymptotic  form  of  the  size-invariant 
P
u
c
(s) for large s can be well approximated by the 
simple exponential decay [11] 
),
exp(
)
(
s
A
D
s
P
u
c
u
с
u
с


,
1
.
0
85
.
1


u
с
A
 (3) 
that  is  slower  compared  to  the  Gaussian  tail 
characteristic  of  the  RMT-result.  On  the  other 
hand, it is similar to the Poisson decay valid in the 
strongly  localized regime,  although  the  decay  rate 
A
u
c
  is  certainly  larger  than  unity.  Note  that  the 
critical prefactor B
u
c
 = 2.59 B
u
RMT
 is also markedly 
larger  than that  of the  GUE.  In  fact,  the  value  A
u
c
 
≈1.85  should  be  considered  as  a  lower  bound  for 
the exponential decrease of P
u
c
(s) because obtained 
range  of  s  is  not  sufficiently  large.  It  was 
demonstrated 
in 
[12] 
that 
the 
similar 
asymptotic  behaviour  holds  also  for  systems 
with time-reversal symmetry. 
 

жүктеу/скачать 5,02 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: