Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
| 1 – мысал. массалы дене тудыратын тартылыс күшінің векторлық өрісінің центрі координаталар басында орналасқан радиусы a–ға тең сфера беті арқылы өтетін ағыны шамасына тең. Осы өрістің бас нүктедегі дивергенциясын табыңдар. Мұндағы – гравитациялық тұрақты.
Шешуі. Тартылыс күшінің векторы аналитикалық түрде былайша жазылады: Бұл өрісті бірлік векторының радиус-векторының бойымен бағытталғандығын ескеріп, сфералық координаталар арқылы жазалық: мұнда Енді бұл өріске (8) – формуланы қолданайық. Сонда 2 – мысал. Қозғалмайтын өсті тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналатын қатты дененің нүктелерінің жылдамдық өрісінің дивергенциясын табу керек. Шешуі. – тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналатын дененің жалпы жылдамдығы болсын, деп өсі бойындағы жоғары қарай бағытталған, ал сандық мәні бұрыштық жылдамдық –ге тең векторды белгілейік, яғни Вектор радиусы , центрі өсінің нүктесіндегі шеңберге жанамамаен бағыттас болғандықтан: Сол себепті (Ибрашев, стр 486, 119 – чертеж ) либо (Очан, стр 43, рис.23). Сонымен, мұндағы Айналу өсі ретінде өсін алып, бұл өрісті цилиндрлік координаталар жүйесінде қарастыралық. Сонда Енді (7) – формуланы пайдаланып, табамыз: Себебі, –ге тәуелді емес. §8. Қисық сызықты координаталардағы ротор. Роторда қисық сызықты координаталардың жалпы түрінде есептеу үшін, оның орттары бағытындағы проекцияларын табу жеткілікті, яғни Әуелі –ның нүктесіндегі және бағытындағы проекциясын есептелік. Ал бізге ротордың қандай да бір бағыттағы проекциясының векторының сол бағыттағы циркуляциясының тығыздығына тең екндігі белгілі. бағытындағы циркуляция тығыздығын есептеу үшін нүктесін қоршаған тұйық контур бойынша алынған циркуляцияның сол контурмен шектелген аймағының ауданына қатынасын табамыз. Ал аймағы, беттің нүктесіндегі нормаль векторының бойымен бағытталатындай бетте жатуы қажет. Бұл бет ретінде нүктесі арқылы өтетін координаталық бетін, ал аймағы ретінде координаттық сызықтармен шектелген аймағын алған ыңғайлы болады. (20 – сурет) Бұл бетте: екені анық. Олай болса бетінің ауданы былай анықталады: (– Ламе коэффициенттері). Енді аймағының контуры бойынша вектордың циркуляциясын есептейміз, яғни Бірінші интеграл Үшінші интеграл (10) –мен (11) –ді қоссақ, Онан кейін интегралдың орта мәні туралы теореманы қолдансақ, болады. Мұндағы бетіндегі белгілі бір нүкте. Осылайша пайымдап, (12) мен (13) – ті қоссақ, векторының – ның контуры бойындағы толық циркуляциясын табамыз: Бұл нәтижені бетінің ауданы –ға бөліп, дағы шекке көшсек, онда Осыған ұқсас түрде –ның бағыттарындағы проекциялары былайша өрнектеледі: Демек, Бұл кез келген ортогональды координаталар жүйесінде роторды есептеу формуласы болып табылады. Дербес жағдайлар. Декарт координаталар жүйесінде: Цилиндрлік координаталар жүйесіндегі ротор: Демек, (14) –формула мына түрге келеді: Сфералық координаталар жүйесіндегі ротор: Демек, (14) –формула мына түрге келеді: Жаттығулар. Векторлық өрістің роторын есептеп табыңыздар. Күш өрісінің теңдеулерімен берілген винттік сызық дің бір айнымалы бойындағы жұмысын табыңыздар. Векторлық өрісінің теңдеулерімен берілген контуры бойынша циркуляциясын табыңыздар. жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|