Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
| Ескерту. Скалярлық өрістің де және векторлық өрістің де координаталар жүйесінің таңдап алынуына байланысты инвариантты болатындығын байқауға болады.
Бұны былайша түсіндіруге болады: дивергенцияны есептеуге мүмкіндік беретін аналитикалық формулалардың әр түрлі координаталар жүйесінде түрліше болатындығына қарамастан, олардың барлығы бір скалярлық өрісті кескіндейді, себебі кеңістіктің әрбір нүктесінде дивергенцияның мәні берілген алғашқы өрісі бойынша бір мәнді түрде анықталады. Осыған ұқсас түрде өрісінің роторы туралы да пайымдауға болады. §9. Векторлық өрістің потенциалын қалпына келтіру. Егер векторлық өріс потенциалды болса; онда ол өрістің потенциалын табу қажеттігі туады. Оны табу үшін Теңдігін ескеріп, бұл вектордың құраушыларын векторының аттас құраушыларымен теңестіреміз. Сонда Бұдан Бұл теңдеулерді интегралдау арқылы функциясын (тұрақты қосылғышқа дейінгі дәлдікпен ) табамыз. Мысалы. Цилиндрлік координаталар жүйесінде берілген өрісінің потенциалын табыңдар. Шешуі. Бұл теңдік берілген өрістің потенциалды екендігін дәлелдейді. Өрістің потенциалын арқылы белгілеп, векторы мен векторының аттас құраушыларын теңестіреміз. Сонда теңдіктерін шығарып аламыз. Бірінші теңдеуден: теңдігі шығады. Әрі қарай бұл теңдікті бойынша дифференциалдап, оны өрнегіне теңестіреміз. Сонда Демек, Енді , бұл теңдікті теңдігімен теңестіріп, одан болатындығын табамыз. Сонымен, §10. Гамильтон операторы. Дифференциалдау операцияларының жазылуын жеңілдету мақсатында “Набла” деп аталатын символдық вектор –ны Гамильтон енгізген: Бұның көмегімен скалярлық және векторлық функцияларды дифференциалдаудың негізгі амалдары операторын сәйкес функцияларға көбейтуге әкеліп тіреледі. Скалярлық өрістің градиентін: векторы мен скаляр функциясының көбейтіндісі түрінде қарастыруға болады: векторлық өрісінің роторы: операторы мен векторының векторлық көбейтіндісіне дәл келеді: Скалярлық және векторлық функцияларға қолданылатын әр түрлі дифференциалдық амалдардың ішінде Гамильтон операторымен пайдаланудың артықшылығы сонда, “Набла” формальды түрде кәдімгі ережелерін қолдануға болатындығына, оның үстіне –ның туындының қасиеттеріне ие дифференциалдық оператор екендігін естен шығармау керек. Бұдан төмендегідей алдарлар шығады. –сызықтық оператор болғандықтан, қосындыдан алынған оператор, әрбір қосылғыштардың операторларының қосындысына тең болады, яғни – дифференциалдық оператор болғандықтан, немесе функциялары тұрақты шамалар болған жағдайда: – дифференциалдық операторының екі скалярлық функциялардың немесе скалярлық функция мен векторлық функциялардың көбейтіндісіне әсерінің нәтижесі төмендегідей түрде жазылады: жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|