Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
§5. Қисық сызықты координаталарда өрістердің берілу градиенті
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
§5. Қисық сызықты координаталарда өрістердің берілу градиенті. Егер кеңістікте координаталар жүйесі берілсе, онда кез келген скалярлық өрісті аналитикалық түрде үш айнымалы функция түрінде кескіндеуге болады: векторлық өрісті сол кеңістікте аналитикалық түрде кескіндеу үшін кеңістіктің әрбір нүктесіндегі векторының бірлік оттардағы проекциялары берілуі қажет. Ал векторы нүктесінің орнына байланысты, демек векторының проекциялары да осы нүктенің координаттарына тәуелді, басқаша айтқанда бұл проекциялардың әрқайсысы айнымалыларының функциялары болып табылады: Сондықтан Ескерту. Бұл жерде тек коэффициенттері ғана емес, сол сияқты орттарының бағыттары да айнымалы нүктесінің орнына тәуелді. Қисық сызықты координаталардағы градиент. Айталық, скалярлық өріс (1) теңдікпен берілсін делік. Осы өрістің кезк елген нүктелеріндегі градиентін қалай есептеп табуға болатындығы туралы есепті қарастырайық. Алдымен градиенттің векторындағы проекциясын табайық. Ал біз градиенттің белгілі бір бағыттағы проекциясының сол бағыттағы туындыға тең болатындығын білеміз. Сондықтан Екінші жағынан бағыт бойынша алынған туындының осы бағытпен жанасатын кез келген доға бойынша алынған туындыға тең болатындығын білеміз.Сонымен ал доға бойынша алынған туынды, анықтама бойынша, төмендегі шекке тең болады. Бұдан Соңғы бөлшекті шамасына көбейтіп, бөлеміз және теңдігін ескерсек, сонда Демек,
Сонымен, Дербес жағдайда, егер өріс декарт координаталар жүйесінде берілген болса, онда Ламе коэффициенттерінің екендігін ескеріп градиентті мынадай формула бойынша есептеуге болады: Егер өріс цилиндрлік координаталар жүйесінде берілген болса, онда Ламе коэффициенттерін ескеріп, градиентті былайша жазуға болады: Егер өріс сфералық координаталар жүйесінде берілсе, онда Егер бізге скалярлық өрісінің нүктесіндегі векторының бағыты бойынша алынған туындысын табу қажет болса, онда градиенттің сол векторына проекциясын табу жеткілікті болып табылады, яғни жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|