Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
§11. Екінші ретті дифференциалдық операциялар
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1– анықтама
- 3 – анықтама.
§11. Екінші ретті дифференциалдық операциялар. Скалярлық өрістің градиентін есептеу арқылы біз осы өріске бірінші ретті дифференциалдық операцияны қолданамыз. Осыған ұқсас түрде векторлық өріске қолданатын бірінші ретті дифференциалдық операциялар (дивергенция, ротор) туралы айтуға болады. Бірінші ретті дифференциалдық операциялар өз кезегінде жаңа векторлық немесе скалярлық өріске алып келеді. Егер бұл өрістерге қайтадан бірінші ретті операцияларды қолдансақ, онда алғашқы өріске екінші ретті операцияларды қолданған болып табыламыз. Енді екінші ретті операциялардың мүмкін түрлеріне тоқталайық. Айталық, алғашқы өріс скалярлық болсын. Бұл өріске тек бір ғана дифференциалдық операцияны қолданамыз. Ол . Жаңа өріс векторлық өріс болып табылады. Бұл өріске екі түрлі және операциялары қолданылады. Осы операциялардың әрқайсысына жеке тоқталайық. Алдымен мынадай анықтамаларды берелік. 1– анықтама. Егер векторлық өрісінде болса, онда ол өріс потенциалдық немесе құйынсыз өріс деп аталады. 2– анықтама. Вектор функциясынан контуры бойынша алынған қисық сызықты интеграл Векторының контуры бойындағы циркуляциясы (шыр айналысы) деп аталады. 3 – анықтама. Егер облысының кез келген екі нүктесін бүтіндей сол облыстың ішінде жатқан үзіліссіз қисықпен қосу мүмкін болса, онда облысы бір байланысты облыс деп аталады. Бұл теңдіктің дұрыстығы өрнегінің құйынсыз болатындығы туралы төмендегі теоремадан шығады. Теорема. Бір байланысты облысында берілген өріс құйынсыз болуы үшін, осы облыста жатқан кез келген контуры бойынша алынған циркуляцияның нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни Бұл операция, жалпы алғанда, жаңа скалярлық өріске алып келеді. Екінші ретті операциясы Лаплас операторы немесе Лапласиан деп аталады да, былайша белгіленеді: Қисық сызықты координаталар жүйесінде түрінде жазылады, демек Дербес жағдайлар. Декарт координаталар жүйесінде, яғни Цилиндрлік координаталар жүйесінде Мұнда
Сфералық координаталар жүйесінде: ал Лапласиан былайша жазылады: Анықтама. Лапласианы белгілі бір аймақта (облыста) нөлге тепе-тең болатын скалярлық өріс гармониялық функция деп аталады. Енді гармониялық функцияның кейбір қасиеттерін қарастырайық. Егер функциясы жабық бет –пен шенелген аймағында гармониялық болса, ол функцияны нормаль бағытындағы туындысының беттік интегралы нөлге тең. Гармониялық функция өзінің экстремалдық мәндерін ішкі нүктелерде қабылдай алмайды. Егер гармониялық функциясының мәні жабық аймақты шенеуші бетінде тұрақты болса, ол функция аймақ ішінде де тұрақты болады. Гармониялық функцияның аймақ шенінде (жағында) алдын ала берілген мәніне сәйкес Лаплас теңдеуі –нің жалғыз ғана шешімі болады. Енді векторлық өрісінде қолданылатын екінші ретті дифференциалдық операцияларды қарастырайық. Бұл өрісте қолданылатын бірін ші ретті операциялар, екеу: және Скалярлық өрісінде тек бір ғана дифференциалдық операция қолданылады, ол, ал бұл екінші ретті дифференциалдық операция болып табылады. Векторлық өрісінде екі және операцияларын қолдануға болады. ал олар екінші ретті дифференциалдық оерацияларға алып келеді: Бұлардың ішінде , олардың дұрыстығын тексеру оңай, ал қалған үш екінщі ретті дифференциалдық операциялар былайша жазылады: , яғни
Мұндағы Лапласиан деп аталады.
жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|