Өрістің математикалық теориясы скалярлық және векторлық өрістер
§7. Векторлық өрістің дивергенциясы
жүктеу/скачать 86,65 Kb.
|
§7. Векторлық өрістің дивергенциясы. Векторлық өрісінің дивергенциясын есептеу үшін оның анықтамасын пайдаланамыз: мұндағы (V), M нүктесін қамтитын аймақ, ал денесін қоршаған тұйық бет, – тұйық бетке жүргізілген сыртқы нормаль. Шекті аймағы сығылып нүктесіне ұмтылған жағдайда алынған деп есептейміз. Шек аймағының формасына тәуелді болмағандықтан (тек аймақ нүктесін қамтыса болғаны) біз оны есептеуге ыңғайлы болатындай тәсілмен таңдап аламыз. Ол үшін нүктесі арқылы координанттық сызықтарды жүргіземіз де, ол сызықтарға доғаларын саламыз (8– суретті қара). Егер және доғалары жеткілікті аз болса, онда оларды жуық түрде түзулердің кесінділері деп қарауға болады. Сондықтан координаталық жүйелердің ортогональдық қасиеті бойынша Енді осы параллелопипедтің қырлары неге тең болатындығын есептейік. Егер нүктесінің координаталары мынадай болса, онда нүктелерінің координаталары былайша анықталады: Сондықтан Демек S беті арқылы өтетін векторлық өрістің ағынын есептейік. Бүкіл бет арқылы өтетін ағын параллелопипедтің “жағы” арқылы өтетін ағындардың қосындысына тең болады. Осы ағындарды есептейік. Алдымен параллелопипедтің қараама-қарсы және жақтары арқылы өтетін ағынды есептейміз. Ол үшін жоғарыда қорытылып шығарылған ағынды есептеу формуласын қолданайық: Бұл интегралдардың алғашқысының алдына минус таңбасы қойылған, өйткені беті арқылы өтетін ағын векторының бағытында емес, оған қарама-қарсы бағытта алынады, себебі бұл бетке жүргізілген сыртқы нормаль –ге тең. Оның үстіне бұл беттердің әрқайсысында екінші координаталардың тұрақты екендігін байқауға болады. (бетінде екінші координаты -ге, ал бетінде ол –ге тең), және ағындарын қосып, және беттері арқылы өтетін ағынды табамыз: Бұл жерде біз интеграл таңбасының астында тұрған функциясына айнымалысы бойынша шекті өсімшелер туралы Лагранж теоремасын пайдаландық. Ал енді бұл теңдікті аяғына дейін жеткізу үшін оң жағында тұрған қос интегралға орташа мән туралы теореманы қолдануға болар еді, бірақ интеграл астындағы функцияға және басқа оларға тәуелді, тұрақты емес координатасы да еніп тұрғандықтан олай істеуге болмайды. Сондықтан басқадай тәсілді қолданамыз. Айиалық, үзіліссіз функциясы тікбұрышты параллелопипедте өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне ие болсын. Сонда біздің қос интеграл мынадай интегралдардың яғни және сандарының арасында жататын болады. Басқаша айтқанда немесе және сандары параллелопипедте үзіліссіз функцияның сәйкес ең кіші және ең үлкен мәндері болып табылатындықтан, осы параллелопипедте функцияның дәл мәні аралық мәнге тең болатындай нүктесі табылады, яғни Осыған ұқсас түрде басқандай қарама-қарсы қос жақтар арқылы өтетін ағындарды есептеуге болады: Мұндағы параллелопипедтің ішінде жатқан кез келген нүктелер. Сонымен, параллелопипедті қоршап тұрған тұйық бет арқылы өтетін ағын былайша есептелінеді: Осы ағынның параллелопипедтің көлеміне қатынасын алып, нөлге ұмтылғанда шекке көшсек, векторлық өрнектің нүктелеріндегі дивергенциясын шығарып аламыз: Сөйтіп, Мұндағы барлық дербес туындылар мен Ламе коэффициенттері нүктесінде есептелінеді. Осы теңдік кез келген координаталар жүйесінде дивергенцияны есептеу формуласы болып табылады. Дербес жағдайлар. Векторлық өрістің декарт координаталар жүйесіндегі дивергенциясы Бұл жүйеде Ламе коэффициенттері Сонда (5) – формула бойынша: Цилиндрлік координаталар жүйесінде: Демек, (5) – формула бойынша: Сфералық координаталар жүйесіндегі дивергенция: Сонда (5) – формула бойынша: жүктеу/скачать 86,65 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|