Орнықтылықты бірінші жуықтау арқылы зерттеу

1. 
   Теңдеулер жүйесінің.
   

Тыныштық нүктесін орнықтылыққа зерттеуді, осы нүктенің төңірегінде функцияларының сызықтық құрамдарын, мысалы Тейлор формуласымен бөліп

сызықтық теңдеулер жүйесінің

тыныштық нүктесін орнықтылыққа зерттеумен алмастырады.

.

2.2 Ляпунов теоремасы. функциялары (4) шартты орындайтын теңдеулер жүйесі (2) қарастырылады.

Егер матрицасының барлық меншікті мәндерінің нақты бөліктері теріс таңбалы болса, онда (2) жүйенің нөлдік шешімі асимптотикалық орнықты; ал егер кемінде бір меншікті мәнінің нақты бөлігі оң таңбалы болса, онда жүйенің (2) нөлдік шешімі орнықсыз.

Шешуі. Жүйенің сызықты емес мүшелері теореманың шарттарын орындайтындықтан, сызықты жүйенің

тыныштық нүктесін орнықтылыққа зерттейміз.

Сипаттамалық теңдеуінің

түбірлері болғандықтан, жүйелердің тыныштық нүктесі орнықсыз.

Шешуші: функциясының Тейлор формуласы бойынша,

функциясының Тейлор формуласы бойынша,

сипаттамалық теңдеуінің

түбірлері .

Нақты бөліктері теріс таңбалы, демек, жүйелердің нөлдік шешімдері орнықты.

3-мысал. Жүйенің тыныштық нүктесін x=0, y=0 орнықтылыққа зерттеу

Шешуі:

Сипаттамалық теңдеуінің

түбірлері жорамал сандар , болғандықтан, бұл әдіспен орнықтылыққа зерттелінбейді.

Бұл мысалдағы бірінші жуықтау жүйесінің координаталар бас нүктесі центірі еді. Бастапқы жүйедегі сызықтық емес мүшелері, центірлері орнықты фокуске айналдырады.

Жалпы жағдайда осы сияқты күрделірек геометриялық суреттер орын алады.

Сызықты емес мүшелер бас нүктенің төңірегінде аз шамалар болғанымен, бағыттар өрісін азда болса өзгертеді. Нүктеден шығатын траектория бас нүктеден айналғанда сызықтық жүйедегіден ығысады. Осындай айналу нәтижесінде барлық траекториялар бас нүктеге жуықтаса, онда бұл нүкте орнықты фокуске айналады; егер траекториялар бас нүктеден қашықтаса, онда орнықсыз фокус шығады.

Төңірегінде барлық траекториялары спиралдар болатын тұйық траекториялар шектік циклдер деп аталады.

Егер ұмтылғанда спирал траекториялар шектік циклге ұмтылса, онда шектік цикл орнықты; егер шектік циклге жақын спиралдар ұмтылғанда, одан қашықтаса, онда шектік цикл орнықсыз; егер шектік циклдің бір жағындағы траекториялар оған жуықтап, екінші жағындағылар одан қашықтаса онда шектік цикл жартылай орнықты. 11-сурет орнықты циклді, 12-сурет жартылай орнықты циклді көрсетеді.