Задача 1.12 (Иродов). "Три обезьяны"

с постоянной по модулю скоростью v. Первая точка всё время держит курс на вторую, 
вторая — на третью, третья — на первую. Через какое время точки встретятся?
Указание.
а) Первый способ. Расстояние между точками изменяется только за счёт компоненты 
их относительной скорости, которая направлена вдоль соединяющей их линии (тогда как 
поперечная к линии составляющая изменяет направление, но не длину относительного 
радиус-вектора). Найдите указанную компоненту относительной скорости какой-либо пары 
точек (например, первой и второй). Поделите начальное расстояние между рассмотренными 
точками на найденную "продольную" компоненту относительной скорости.
б) Второй способ. Рассмотрите движение точек в полярной системе координат с 
началом отсчёта в центре треугольника. Найдите радиальную скорость точки. Поделите 
начальное расстояние от точки до начала координат на найденную радиальную скорость.
в*) Попробуйте рассмотреть задачу для произвольного правильного n-угольника с 
радиусом a, описанной вокруг него окружности. Как зависит время до столкновения частиц 
от числа углов n.
4. Задача 1.13 (Иродов). "Лиса и заяц". Точка A ("лиса") движется равномерно со 
скоростью v так, что вектор v всё время "нацелен" на точку B ("зайца"), которая в свою 
очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью u < v. В начальный момент 
v ⟂ u, а расстояние между точками равно l. Через какое время точки встретятся?
Указание.
а) Рассмотрите относительное движение точек в проекции на прямую движения 
точки B ("зайца"). Запишите условие на момент встречи, содержащее интеграл по времени от 
соответствующей проекции скорости точки A (а следовательно, косинуса угла между 
мгновенными скоростями точек A и B).
б) Рассмотрите изменение расстояния между точками A и B как интеграл по времени 
от радиальной относительной скорости частиц (содержащей тот же косинус угла между 
мгновенными скоростями точек A и B).
в) Рассмотрите полученные условия в пунктах а) и б) как систему линейных 
уравнений на искомое время t и интеграл по времени от косинуса угла между скоростями 
точек A и B. Найдите искомое время t из указанной системы уравнений.
5. Рассмотрите предыдущую задачу "Лиса и заяц" в случае одинаковых скоростей 
точек A и B: найдите расстояние l
∞
, на котором "лиса" будет бежать за "зайцем" при t  ∞.

Указания те же, только итоговое расстояние l
∞
между точками A и B следует считать 
отличным от нуля.

жүктеу/скачать 111,41 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: