3. Задача 1.12 (Иродов). "Три обезьяны". Три точки ("обезьяны") находятся в
вершинах равностороннего треугольника со стороной a и одновременно начинают двигаться
с постоянной по модулю скоростью v. Первая точка всё время держит курс на вторую,
вторая — на третью, третья — на первую. Через какое время точки встретятся?
Указание. а) Первый способ. Расстояние между точками изменяется только за счёт компоненты
их относительной скорости, которая направлена вдоль соединяющей их линии (тогда как
поперечная к линии составляющая изменяет направление, но не длину относительного
радиус-вектора). Найдите указанную компоненту относительной скорости какой-либо пары
точек (например, первой и второй). Поделите начальное расстояние между рассмотренными
точками на найденную "продольную" компоненту относительной скорости.
б) Второй способ. Рассмотрите движение точек в полярной системе координат с
началом отсчёта в центре треугольника. Найдите радиальную скорость точки. Поделите
начальное расстояние от точки до начала координат на найденную радиальную скорость.
в*) Попробуйте рассмотреть задачу для произвольного правильного n-угольника с
радиусом a, описанной вокруг него окружности. Как зависит время до столкновения частиц
от числа углов n.
4. Задача 1.13 (Иродов). "Лиса и заяц". Точка A ("лиса") движется равномерно со
скоростью v так, что вектор v всё время "нацелен" на точку B ("зайца"), которая в свою
очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью u < v. В начальный момент
v ⟂ u, а расстояние между точками равно l. Через какое время точки встретятся?
Указание. а) Рассмотрите относительное движение точек в проекции на прямую движения
точки B ("зайца"). Запишите условие на момент встречи, содержащее интеграл по времени от
соответствующей проекции скорости точки A (а следовательно, косинуса угла между
мгновенными скоростями точек A и B).
б) Рассмотрите изменение расстояния между точками A и B как интеграл по времени
от радиальной относительной скорости частиц (содержащей тот же косинус угла между
мгновенными скоростями точек A и B).
в) Рассмотрите полученные условия в пунктах а) и б) как систему линейных
уравнений на искомое время t и интеграл по времени от косинуса угла между скоростями
точек A и B. Найдите искомое время t из указанной системы уравнений.
5. Рассмотрите предыдущую задачу "Лиса и заяц" в случае одинаковых скоростей
точек A и B: найдите расстояние l ∞
, на котором "лиса" будет бежать за "зайцем" при t ∞.
Указания те же, только итоговое расстояние l ∞
между точками A и B следует считать
отличным от нуля.