т е ң   болса,  онда аньпстауыш нөлге тең; 5.  Егер  а н ы к т а у ы ш т ы ң

,1
4)  2
3
1 
5
^
з - з Л
- з Л
^
 
2
 
2
 
2
1
2
= -0,5
5)
х  I
8  x
0 => x 2  - 1 6  = 0 => x 2  = 16 => дг,  = -4 ,  х2
= 4 ,
s m x  
- C O S X  
. 2  
2 
л
6) 
= sm  x + cos  x = 1,
cos x 
sin x
3  x
7) 
= 2 = > 6  —x = 2
1  2
x = 4 ,
8) 
= 1H 2 1 n x - 5  = 1 =>2 -ln x  = 6 => lnx = 3 => x =  e 3.
•  1 
2  
1
Төменде  берілген  үшінші  ретті  аныктауышты  жоғарыда  көрсетілген  үш 
әдіс бойынша есептеп көрсетеміз. 
,  Я
2 
- 1   3' 
Ш Ш Ш
1)  0
1 
4  = 2 -1 -6  + 0 -5 -3  + (—1 )-4-(— 2 )— 3 -1 • (— 2 )— 5 ■
 4 ■
 2 — 0 ■
 (— 1)-6 =
- 2  
5 
61
= 12+ 0 + 8 + 6 - 4 0  + 0 = - 1 4 ,
4-
2
)
+
+
2 - 1 3  
0 
4
-  = 2 - 1 -6  + 0 -5 -3  + ( - 2 ) ( - і ) - 4 -
I 
— 3 -1 - 
2 )—4 - 5 - 2 — 6 • (— 1)-0 = —14.
3)  Берілген  аныктауышты  жіктеп  есептеу  үшін  екінші  жатык  жол 
элементгерін аламыз:
2 - 1 3
0
1
- 2  
5 
6
=  
0
 +
2
-2
*
- 1
з '
2
з:
[ 
2 
г А
= 0 —
+ 
1
+ 4
— 
j  4 ^ 
* 
!
V
5
- 2
6
1 
- 2  
5  )
3
2
4в.
_ 1
4-
= 1 8 - 4-8 = -1 4 .
6  ~
- 2
5
Енді бізге төртінші ретті аныктауыш берілсін
5 
1 
2 - 3  
2 
3 
0 
1 
4 - 2 0 3  
1 0  
1 4
,  бұл  аныктауышты  жіктеп  есептеу үшін  төртінші  тік  жолды
аламыз, сонда
ю

Cf
5 
1 2 - 3
2 
3 
0 
1
4 - 2 0 3
1 0  
1 4
2 
3 
1 5  
1 - 3
= 2 - 4   - 2   3 - 2  
3
1 
0 
4 
4 - 2 3
— 2(  16 + 0 + 9 +  2 — 0 — 4 8 )— (45 +12 + 4 + 36 +10 — 6 ) = —207  болады 
Бұл аныктауышты баскаша мына әдіспенде есептеуге болады:
5 
1 2 - 3
2 
3 
0 
1
4 - 2 0 3
1 0  
1 4
/
V
бірінші жатық жолды (- 3)- ке көбейтіп, екінші жатық 
жолға жэне 2 - ге көбейтіп, үшінші жатық жолға қосамыз
\
5
1
 
2
 
- 3
- 1 3   0  - 6  
10 
14 
0 
4 
- 3
13  - 6  
10
1
0 
1
4
4
1
3 =
4
=  - ( -  208 + 140 + 1 8 - 4 0 - 3 9  + 3 3 6 )= -2 0 7
1.2  М атрицалар жэне оларға  колданаты н ам алдар
2-анықтама.  Қандай  да  бір  жиын  элементгері 
-ден  (і = \,т, j  = l,n) 
кұрастырылған  т х п  өлшемді тік бұрышты кесте матрица деп аталады жэне
былай ж азы лады:
А =
а\\  а12 
•
а
\
1 
п
а 2\  а 2 2 — а 2п
\ ат\  ^m2 ***^
тп  J
Матрицанын  элементтері  a y  түрінде екі индекспен беріледі;  бірінші  і -  
жаттык  жол  ретін,  ал  y'- т ік   жол  ретін  білдіреді,  яғни  а^-  элементі  осы  екі
жолдын  киылысынла  жатады.  Матрицаны латын  әліппесінің бас  әріптерімен, 
ал  элементгерін  сэйкес  кіші 
әріптерімен  белгілейміз.  Егер  А  жэне  В 
матрицасынын  сәйкес  элементтері  а у  жэне  by  тең  болса,  яғни  ar  = b,
теңдігі орындалса, онда олар тең деп аталады.
Егер  берілген  А  матрицасында  / =  1  болса,  онда  жатық  жолдық 
матрица, егер  j  = 1  болса, онда тік жопдъщ матрица аламыз, яғни
/
А = (а 11 а
12
...  а Хп)  жэне  А =
аи Л
*21
\ ат\ )
болады.
п

3-аньщтама.  Жатык  жол  саны  мен  тік  жол  саны  тең,  яғни  т = п 
матрицалар  шаршы  (квадраттық)  матрицалар  деп  аталады  жэне  былай
жазылады:
/
А =
а\\  а\2—а\п 
а 2\  а 22— а 2 п
\
\ Р п \   ^ п 2
  * • * 
^ п п  J
Шаршы  матрицалардьщ сэйкес  аныктауыштары былай белгіленеді
det(^) = Д_
а\\  а\2 • * -Щп
а 2\  а 2 2 ' " а 2п
IШ   ап2 • * • &пЛ
4-анықтама.  Барлык элементтері нөлге тең матрица нөлдік матрица деп 
аталады. 
t 
’
5-анъщтама.  Бас  диоганал  элементтері  1-ге,  ал  калган  элементтері  0-ге 
тең шаршы матрица бірлік матрица деп аталады.
Үшінші ретті бірлік матрица былай жазылады:
'1  О  0N
Е =
\
О  1  о
О  О  1
жағындағы
деп аталады.
үіибұры
Үшінші ретті үшбұрышты матрица былай жазылады:
/
А =
а
и 
а \2
а
13
\
V
О
О
Я»  а
23
О
азз)
1
Матрицаларга қолданылатын негізгі амалдар.
Өлшемдері  бірдей  матрицаларды  косуға  жэне  алуға  болады.  А  жэне  В 
матрицаларының  косындысы  (айырмасы)  деп,  А + В  ( А - В ) ,   болып
белгіленепн,  элеЦенттері  с у  = а у ± by  болатын  С  матрицасы  аталады.
Сонымен  матрицаларды косканда (алғанда),  сэйкес элементтері косылады
(алынады).  Үшінші  ретті  матрицаларды  косу  (алу)  мына  түрде 
көрсетіледі:
щ
а ,2
Я
1
2
*13 
1
А = а 2\ ^22
Ш
т Л т
°2 3
жэне  В =
*
2
.
^22
Ш ш Ш т
f t
<а 31
а 32
а 33 J
A l
Ьу 
2
*33 
J
болса, онда
12

' а\ \ ± ь \\ а\2 
* ^ 2
аи ±Ь|з  }
'с \\
с 12
г  
1
с 13
С = Л ± Я =
* 2 1
а 22  ± Ь22
*23  — ^23
с 2\
* 2 2
с 23
болады
щ
ч*31  ^   ^31
*32  — ^32
*33  -  ^33  у
vC3l
с 32
с з з ;
М ы с а л ы ,
'5
6 '
'2  7
А = 3
1
жэне  В =
4   - з
,2
_
 
'у
[ 
** 
-j1  **  *
,1 
5 
J
болса, онда
А + В =
'1
13л
'  3  - Г
7 - 2
жэне  А -  В -
- 1   4
3 
,
1 » 
- 7 ,
т е ң д і п   о р ы н д а л а д ы .
Кез  келген  А  матрицасын 
н ө л д ік  
О 
м а т р и ц а ғ а  
косак  А -нын  өзі  шығады
A + 0  = A .
Мысалы,
3^
го 0"
'8 
У
= 2 1
жэне  О = 0 0
болса, онда  А + 0  = 2 
1
4 - 1 ;
,0 0,
,4   I I ,
болып  аныкталады.
3.
көбейту
АЛ
деп  белгіленетін,  элементтері 
by
  -  Ха 
у
  болатын 
В
  матрицасы
аталады.  Сонымен  матрицаны  санға  көбейткенде,  барлык  элементі  сол 
санға  көбейтіледі.  Үшінші  ретті  матрицаны  санға  көбейту  былай
жазылад ы:
<а\ \  
° 1 2
«13  '
ХО\ 2
^ 1 3
А =
° 2 1
 
а22
°23
жэне  Я 5* 0  болса, онда  ХА =
^ 2 1
Яа22 Яд 23
,« 3 1  
°32
°33>
^Яозі
Яа32
^ 3 3 ,
болады.
Мысалы,
'2   3"
Ч  
6  j
л -
1  4
жэне  Я = 2  болса, онда  АА = 2 
8
,5  - 1 ,
7
?
1
о
теңдігі орындалады.
4.  Матрицаларды 
көбейту. 
Екі 
матрицаны 
көбейту 
үшін, 
бірінші 
матрицаның  тік  жолдар  саны,  екінші  матрицаның  жатык  жолдар  санына 
тең болуы  керек.
р  экәне  Врхп
• 
•
матрицаларының  көоеитіндісі  деп,  элементтері
с У
  = 
( / = l,/w, 
j  
= \,n)  болатын 
Стхп
  матрицасы аталады.
ш  
-  
щ і
Үшінші ретті матрицаларды көбейту мына түрде көрсетіледі:
13

а\\
а \2
а 13  |
Г
J I
1
3
А   =
а1\
а 22
а 23
ж э н е  
В =
* 2 1
* 2 2
*23
уа 31
а 32
аз з )
И
*32
*33  У
болса, онда  С =  А  В =
а \\Ь \ \  +Ш \2Ъщ   + * 1 3 ^ 3 1  
а \ Ф \2   + а 12^22  + а  13^32
а2\Ь\ \  ^~а 22^2\  ~^а 23^3\  а2\Ь\2  ^ а 22^22 
а23^32
22и 2\  ^ ы23и3\ 
а З \Ь\\  +  а 32 Щж  + а 33^3\  а З\Ь\2  +  а  32^22
а \ \ Ь\3  + а \2^23  +  ^13^33  Л 
а
2
\Ь\з  +<*22^23  + а 23^33
+  а  33^32
(  С
а з Ф \3   +  а 32^23  + а ЗзЬ
33  У
11
12
13
С 21
Кс3\
22 
с 23 
32 
с 33
теңдігімен аныкталады.
Мысалы,
А =
4
2^
1 3
жэне  В =
(1 - 3   4 '
^21
,5 - l j
І2
5  3,
болса, онда
1  4 1  + 2 -2
АВ =
4 • (-3 ) + 2 -5  
4 - 4  + 2 -3
V
1*1+ 3 -2  
1 • (-3 ) + 3- 5 
1 • 4 + 3 • 3 
5 -! + ( - ! ) . 2   5 - ( - 3 ) +  ( - ! ) •  5  5 -4  + ( - l ) - 3 j
\
8
- 2
22  4
=
7
12
13
У
.3
- 2 0
болады.
1-анъщтама.  Аныктауышы  нөлге  тең  емес  матрицалар  ерекше  емес
матрицалар,  ал  аныктауышы  нөлге  тең  матрицалар  ерекше матрицалар деп 
аталады.
8-анықтама.  А 
матрицасы  А  матрицасына кері  матрица деп аталады 
А  А = АА 
= Е  болады, мұндағы  Е  бірлік матрица.
жэне  А
Тек  кана  аныктауышы  нөлге  тең  емес  шаршы  матрицалардың  кері
*
 
----------  — —
^ ^ 
ш и і  
цс иі а
матрицалары болады.  Kepi матрица мына формуламен аныкталады:
f   А 
А 
А 
\
А  1  = —
-  А*,  мұндағы  А*  =
det( Л)
4 ,
Аа
^21
^22
.
.
.
 
Anj 
• •• 
2
-  
,  
4. 
*  
.   Г -  
І - .
^2 п
А»»
tin
У
(
1
.
1
)
Бұл  матрица  қосалқы  матрица  деп  аталады  жэне 
матрицаның
элементтері 
А 
матрицасына 
транспозицияланган 
А Т 
матрицасы
элементгершің  алгебралык  толыктауьпитары  болады.  Транспозициялау
дегеніміз  -   берілген  матрицаның  жатык  жолдарын  сэйкес  тік  жолдармен 
алмастыру, яғни былай жазылады:
Аг   =
а
11
а21  а3\
а \ 2 
а 22 
а 32
Ка 13 
а 23
а
33  У
14

Матрица 
элементерінің 
алгебралык 
толыктауыштары 
төмендегі
тендеумен аныкталады:
Мұндағы  М и  матрицаның  а
элементтінің  миноры  болады,  яғни
V
матрица  аныктауышынан  /'-пн  жатык  жолды,  j  -ші  тік  жолды  сызғанда
шығатын аныктауыш болып табылады. 
I
9-анықтама.  А  матрицасынын  нөлге  тен  емес  ен  үлкен  минорынын 
ретіне  тең  сан,  осы  матрицанын  рангісі  деп  аталады  және  г(А)  болып
белгіленеді.
Мысалы,  А =
1
-
3
5
4
2
-
6
4
3
\
матрицасынын рангсін есептеңіз.
V
3  - 9   3  2,
Шешуі.  Берілген  матрицанын  екінші  ретгі  минорларының  ішінде  нөлге 
тең  емес  ен  кемінде  бір  минор  табылады.  Мысалы  нөлге  тең  емес
Л /,  =
- 3   5
- 6
  4
= -1 2  + 30 = 1 8 * 0   миноры  бар.  Ал  үшінші  ретгі  минорларды
карастырсак олардын барлығыда нөлге тен болады
1 
- 3   5
М \ -   2
- 6
  4 = 0 ,
3 - 9   3
1 
5  4
- 3   5  4 
М \
 = 
- 6
  4  3  = 0 ,
- 9   3  2
1 
- 3   4
М "  =   2
- 6
 
3
 
= 0
және
3 - 9   2
М І У  =  
2
4  3  = 0 .
3  3  2
Сондыктан берілген матрицанын рангісі  г ( А ) = 2   болады.
Матрицанын  рангісін  табудың  негізгі  эдістерінін  бірі  бір жэне  нөл  әдісі 
болып  табылады.  Бұл  әдістін  нэтижесінде  матрицаны  түрлендіру  аркылы 
онын  элементтерін  нөл  мен  бірге  айналдырамыз,  матрицада  канша  бір  калса, 
онын  рангісі  сонша  болады.  Жоғарыда  карастырған  матрицаны  кайта
карастырамыз:
А =
П 
- 3   5  4^ 
2
-
6
4
3
3
-
9
3
2
/
Шешуі.  Матрицанын бірінші  жатык  жолын  ( - 2 )   көбейтіп,  екінші  жатык 
жолға  косамыз,  сонан  соң  бірінші  жатык  жолды  ( - 3 )   көбейтіп,  үшінші
жатык жолға косамыз, сонда
/
1
 
- 3
5
4
А   =
0 
0 - 6 - 5
0
 
0
 
- 1 2
 
- 1 0
/

болады.
Бұл матрицаның бірінші тік жолын  (3),  ( - 5 )   жэне  ( - 4 )   көбейтіл,  сәйкес
екінші, үшшші жэне төртінші тік жолдарға косамыз,  сонда
^ 1 0  
0 
0
\
А =
V
0
 
0 - 6  
0
 
0
 
- 1 2
5
10J
матрицасы алынады.
Матрицаның екінші жатык жолын  ( -  б)  бөлеміз, сонда
А =
1 
0 
0  0
о 
0
0
1
0
5
6
\
теңдігі орындалады.
Алынған  матриці 
жолға косамыз, сонда
көбейтіп, үшіиші  жатык
А
( 1 0   0 
0  0  1
V
0
5
6
0  0  0  0 )
матрицасын аламыз.
Осы  матрицаның  үшінші  тік  жолын
\
5
6
көбейтіп,  төртінші  тік  жолға
косамыз,  сонда
А
( 1 0   0  0 
0
 
0
 
1 0
\
Vо о о о
болады. Демек берілген матрицаның рангісі  г ( л ) = 2   тең.
Мысалы,  А  жэне  В  матрицалары берілген.  Есептеңіз:
i-i
а)  2А + ЗВ;  б)  А В ;  в)  А
- 4
0
Р
Г 1 2  ■
-3^
А =
2 - 1
3
и
9
2
0
1
к  з
2
2 ,
Е ’2
1
3,
Шешуі:
- 8   0  г ''I 
• • 
т
т
 
4
(   Ъ  6  - 9 '
а)  2А =
4 - 2 6
;  3 5  =
6  0  3
,
 
6
 
4  4 ,
- 6   3  9,
онда
г
2А + ЗВ =
- 8 + 3  
0 + 6  
2 - 9 ^  
4 + 6   - 2 + 0  
6 + 3  
6 - 6  
4 + 3 
4 + 9 j
г
\
- 5  
6  - 9  
10  - 2   9 
0 
7  13
\
теңдігі орындалады
16

/
,6)  АВ =
- 4   0 
2
 
- 1
1  2 - 3
2  О  1
\
V
3  2  2  Д - 2   1  3
/
4 + 0 - 2
8 + 0 + 1  12 + 0 + ЗЛ  ( - 6   - 7   15'
2 - 2 - 6  
4 + 0 + 3   - 6 - 1 + 9  
3 + 4 - 4  
6 + 0 + 2   - 9 + 2 + 6
гі
У
V
- 6   7  2 
3  8 - 1
в)  А  матрицасын табу үшін (1.1) формуласын колданамыз
4  0  1
d e tM )=   2  - 1  
3  = 8  + 4 + 0 + 3 + 24 + 0 = 3 9 * 0 ,
3  2 
2
демек  кері  матрицасы  бар.  Ен  алдымен  алгебралык  толыктауыштарды
есептеиміз:
Ап  =
A
12
- 1
  3 
2
 
2 
_ 2
  3
3  
2  
2  -1
=  - 8 ,   А2
і
  = -
—
 
5
,
 
—
Л,3 =  
= 7 ,
із 
з   2
Сондыктан
^ 2 3  
~
1
39
(-8
 
2
 
1 
5  -1 1   14
V
7 
8  4
/
0  1
2  2  “
2 ,
^31  =
-4  1
3  г   ~
-1 1 ,
^32
- 4   0
3  г
= 8,
А33
f  
8
2
1  1
39
39
39
5
11
14
39
39
39
7
8
4
,  39
39
39  ,
0
 
1 
1
  3
= 1,
- 4   1
"  2 .3  
- 4   0
2
 
- 1
= 14
= 4.
болады
U  №1  өздік ж ұмы с тап сы р м ал ар ы  
А  жэне  В  матрицалары берілген.  Есептеңіз:
а)  2А + ЗВ;  б)  А В ,ъ )  А~'.
г  2
-1
4^
г 
1
~ 2
4 '
1.1  A =
3
0
5 9
в  = - 3
0
3  ;
- 2
6
К
V  %
, 5
2
'  
3
5 - Г
4
6
0'
1.2  А =
1
8
0
9в =
1
- 2
3
•* 
ь
- 2
2
1 ,
,5
0
7,
{,  І:  С .  ТVP-JИI %і*.ч. • *
«II  б и н Д аИ   ь
а к а д е м и к
а т ы и д а г ш   ♦ и і 
ыу
*
и
КІТАПХАНАСЫ
17

19
- 2
О4!
г5
3
2 '
1.3  А = 8
1
2
п
9  & — 6
- 1
3
0
1у
.4
0
1,
Г  О 
- 2   1
\
1.4  А =
3
9 
5
- 1 6   2
Г8  4 
6
2  О 
1
\
1.5  Л =
6 
1
2  0 - 2
ч
Г
1.6  А =
5 - 1 7  
7 
- 3
ч5  2 - 1
6
1
у 
2N 
1
2
1
у
3'
- 3  
5 
6
V
5 
4 
0
\ 0 - 1 4
В =
Г о  
- 1
у 
2'
2
 
-1
у 
3N
4
0 
6
1
3 
5
V
/
- 2  
6 
9
V
г
- 2  
2 
5
У
У
8 
1 
4
- 2   О  1
V 5 
2  7
V
1 
9  3
2 
5 
1 
- 2   4  0
\
г
,  5  =
у
5
6
О
у
Г
8 
3
V
- 2
 
- 1
 
1
У
■
  2
-1
4>
f 1
- 2
4Ч
1.9  Л =
3
0
5
9  ”
' - 3
0
3 
;
-2
6
1у
, 5
2
1.10  А -
0 
4 - 1
3 - 6  
5
N
1 
8
2
,  в  =
\
/
1.12  А =
- 3   6 
8 
4 
2 
5 
1 
0  - 1
6  1  - 2 ^  
0  5 
4

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: