Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

7.40 Дене  көлемін есептеу
Көлбеу кимасынын  ауданын білу аркылы дене  көлемін есептеу.  Егер 
Ох 
өсіне  перпендикуляр  жазыктыкпен  киылган  дене  ауданынын 
х
 -тан  тәуелді 
функция,  ягни 
S = S(x)  ( а < х <  Ь \
 
түрінде  берілсе,  онда 
Ох
 
өсіне
перпендикуляр 
х
 = 
а
  жэне 
х
 = 
Ь
  жазыктыктарынын  арасында  жататын  дене 
бөлігінің колемі  мына формула бойынша табылады
.• 
. 
Ш  Ш
  ШШшт.
  - 
ь
V = \ s ( x ) d x .
(7.52)
Айналу  денесінін  көлемін  есептеу.  Егер 
у
 = / (
х)
  кисыгымен  жэне 
у  = 0 , х  = а,  х = Ь
  түзулерімен  шектелген  кисык  сызыкты  трапеция 
Ох
  өсін 
айналатын болса, онда айналу денесінің келемі
ь
V x = n  
j y 2dx
(7.53)
a
форму.
Егер 
у,  = f y
 (дг)  I  жэне 
y 2  -  f 2 (x)
  [0 < / ,  (*) < 
f 2
 (jc)]  кисыктамен жэне
x = a, x = b
  түзулерімен  шектелген  фигура 
Ox
  өсін  a 
айналу денесінін келемі  мына формуламен аныкталады
V
У
 i
(7.54)
a
Мысалы,
1 )3  кисыгымен  жэне 
х - 2
  түзуімен  жектелген
фигуран
г
Шешуі:  Берілген  кисыктьщ 
Ох
  өсімен  жэне 
х = 2
  түзуімен  киылысу
нүктелерін
1
2 
2 
I 
2
V - п  
j y 2dx 
= к
 
J(x
- \ ^ d x  = -  
к ( х -
1 У* 
- - к
 
(куб бірлік)
1 
1 
Ш
  '  *  
1 
*
болады.
225

Аныкталган  интегралды үтірден кейінгі екі таңбалы дәлдікпен есептеңіз
1.1  J х3  1 
+ x 2dx
о
я
1.4  Jsin 
jc
 
cos2 
xdx
о
f  .   2V   12
Xsdx
1*2  J -T——
о 
X   +   1
я
1.5  Г р Щ и а *
q
 1 + COS X
1.3  M
 
0 X
  +1
1
3 
X
  + 1
- 3
1.7  I
dx
о
2 5  +  3 *
1  x 3
1.10
  J - f - A
оx° + l
1
1.13  Jx3  4 + 5x4dv
0
1
1.16  i
x d x
0 1 — X
0 x  + 4
я
1.11
я
4
dx
1
 — cos 2x
я
1.14  J sin2 
— dx
—
я
2
1
.1 7   } з (  
0  v
2 _дг
1.9
0
1.12
  J
2fe*
1.15 
y —
^dx 
l *
1.18
я2 
x
1.19  J
l
x
2
c
£
c
1 + x
8
1.22  J  x-hlfi£c
1.25 
J
dx
о 4 - 3 x
о
dx
1 2 8  
S 
i
_,4x2 1 9
\
t 
fS inliBI X  ,
1.20
 J--------
dx
l
X
1.23  Jsin XCOS3 Xй£с
1.26
xdx
4 - x
Я
1.29  Jcosxsin 
xdx
я
1.21
dx
1  x  1 —In2 X
я
1.24  Jl2c/g3xd£c
я
18
1.27  J—
 1
1
Я
1.30 
I У § £
0
  COS  lx“
2 2 6

№ 
2
Аныкталган  интегралды үтірден кейінгі екі таңбалы дәлдікпен есептеңіз
2.1  J
jc
 ln(jc — l)dtc
/t
2.4  J
jc
2 sin jctic
о
0 
_
2
x
 
2.7  Jxe 
dx
_i
2
2.10  t e *
1 
*
•  Ж
2.13  J(jc + 2)cos z dx 
о 
2
2.16  j M k l l )  *
0
к
2.2  Jjc2e  2fi6c
-2
1
2.5  Jarccos2xabr
ЛГ
2.8  Jxsinxcosxdfr
-я
2.11  J  x In xdx
n
8
2.14  J x 2 sin4x£fcc
о
2.17  Jarctg(2x—3)dx
ъ
2.3  Jjc cos xdx
о
2.6 
\(y  — \)\nydx
J2Ф
2.9  J  ~ —dx
x
3x
1
2.12  Jarctg  xdx
о
2.15 
j y 2 \nydy
l
n
2.18  J(x + 3)sinxa£c
о
с
2.19  Jxln1 xdx
i
l
2.22  Jarcsin(l-x)c£c
l
о
2.20  J ( * - 2 >   *dx
- 3
1
2.23  J arctg  dx
n
2.21
0
  cos“ 3x
0
2.24  Jjcln(l—x)dx
-1
. 
JC
i arcsin —
2.25  J  ^ J - d x
oJ  2 - x  
0
2.28  f(x + \ y 2xdx
-I
2.26  Jln(3jt
+
2)dx
1
2.29  j x t g 2 xdx
о
2.27  Jx3  x 2 + 9dx
о
2.30  jx  arctg xdx
о
№#3
Мына  функциялардын  графигімен  шектелген  фигуранын  ауданын
есептеңіз.
3.1  у  = ( х - 2 ) 3, 
у  = 4х — 8.
3.2  у  = х  9 - х 2, 
-  0,
( 0 £ х £ 3 ) .
227

3.3  у = 
•»
У = 
3.5 
V =
Ш
г
3 .7  
у  -
3.9 
у  =
У = 
3.11 
у
У
3.13 
у  
у
3.15 
у  
у
W
3.17  л: 
3.19 
у
У
3.21  л:
х
3.23 
у
У
3.25  х
3.27 
у  
3.29 
у
у
Ш
- - 4 - х 2,
— 2х.
=  : 4 - х 2,  у  = О, 
jc
  =   0   ,  
jc
  =   1 .
=cosxsin2 
JC, 
у  =
 О,
( 0 <
jc
< * 2 )
1
X
  1 -н In JC
= 0,  х = 1, 
х =
Я
I
2 = х  + 1.
Л
= х  3 6 - х   ,
=  0,  ( 0 <
х
< 6 ) .
= 
xarctgx,
= О,  х = 
І 
3 .
=  е у - \ ,
  х = 0,
У =  1п2.
1 +
х
= 0,  х = 1.
= 0 ' - 2 ) 3, 
И Я
д
І ’
=  0,  х  = 1.
1
у   \ + \п у
,
  * = 0,
у  =
 
I  
у  = е ъ.
= х 2  1 6 - х 2,4  у  = 0,
( 0 < х < 4 ) .
=  ( * - l ) 2 ,
2 = х - 1 .
3.4  _y = sin xcos2 x,  у  = О,
[О < х < 
71
2
3.6 
у  = х 2  4 - х 2, у  = 0,
( 0 < х < 2 ) .
3.8 
у =   ех -
1, 
у  = 0,
х = 1п2.
3.10  у = arccosx,
у  =
 0,  х = 0. 
3.12 
у  = 2 х - х 2
 +3, 
,у = х 2 - 4 х + 3 .  
3.14  х = arccos v,
«Г  ^
* = 0,  у  = 0.
3.16  у
х 2  8 —
jc
2 ,  у
(о<х<2л/г).
о
3.18  у = х  4 -   - 3
J r .   ^  = 0
( 0 < х < 2 ) .
3.20 
у  =
1
1 + COSX
, 
у = 0,
х
к  
Х =  - Л  
2 '  х
2
3.22  >> = cos5xsin2x,  у = О
( 0 < х < ^ 2 ).
3.24 
х
 = 4 —у 2,
Х = У
  ~ 2 у
1/ 
:,ш
  *  ■
 
3 .2 6 ^  = ^ ,   в
х 1 2 ,  х 1 1.
3.28  х
Ш § - у   ,
  х = 0,
У = 0,  у  = 1.
3.30 
у - х 2
 cosx,  у = О,
2

№ 4
Берілген теңдеулермен шектелген фигуранын ауданын есеіггеңіз.
4.1
4.4
4.7
= 4 2  cos3 /, 
= 2  2 sin3/,
х = 2 ( х £ 2 ) .  
x = 16cos3/,
>» =  2 s i n 3 /,
дс = 2 ( х > 2 ) .
х = 16cos3/,
4.2
4.5
v =
. 
з
sm  /,
4.8
4.10
4.13
4.16
4.19
4.22
4.25
6  3  (x > 6
x = 8  2 cos3/,
у
 =  2 sin3/, 
x -
 4 
(x 
>
 4 )
x = 32 cos3 /,
[.y = sin3/, 
x = 4 ( x > 4 ) .
|j  8 cos3 /,
= 4sin3/, 
x = 3  3  (x > 3
x = 2  2 cos3/,
r •
y  = -
  2 sin3/,
x = l (x >  l)  
x
 
= 8 cos3 /,
>’ = 8sin3/, 
x =  l ( * > l ) .
x
 = 
24 cos3 
/
7
 = 2 sin3/
x = 9  3  (x > 9   З)
4.11
4.14
4.17
4.20
4.23
4.26
x -
  2 cos/, 
у  = 2
  2 sin/,
У = 2 { у * 2 ) .  
x = 2
 cos /,
>» = 6 sin/,
y  = 3 ( y > 3 ) .
X ‘=  6  
cos/,
7
 =-2 sin/,
=  3 ( y >
x = 2
  2 cos/,
y  = 3
  2 sin/,
^  = 3 (y > 3 ).
x = 3cos/, 
j  = 8 sin/
y  =  4 ( y > 4 ) .
x = 
6cos
/, 
у = 4 sin/,
^  = 2  3  ( y > 2   З)
x =  2 cos/,
)> =  4  2 sin/,
>> = 4 ( y > 4 ) .
x = 9cos /,
>> = 4sin/,
^  = 2 ( ^ > 2 ) . 
x = 3cos5
v = 8sin/
y  = 4  3  (y > 4   з )
4.3  ^  = 4(, - s i n 4
.y = 4 (l-c o s /),
^  = 4 (0 < x < 
8л,  y >
 4).
4.6
x = 2(/ - s i n /),
У -
 2 (l-c o s/),
у
 = 3 (0 < x < 
4л,  у  >
 З)
4.9 
\ X = ' Ч
Sin$
I
jv
= 3(l—cos/),
у  = 3
 (О < x < 6л-, 
у  >
 З)
4.12
x = 6 (/-s in /),
>> = 
6 ( 1
 -  cos/),
у  = 9 ( 0 < х < 1 2 л ,
 
7
>.9)
4.15
X = б(/ -  sin 
t \
у
 = 6(l -  
COS 
/ I
у  = 6 (О < х 
<12л,  у  >6).
x = 10(/-sin /),
>' = 10(l -c o s/), 
j> = 15  (О< х < 2 0 я ,у > 1 5 ).
4.18
4.21
X = / -  sin /,
у
 = 1 - c o s /,
у
 = 1 (0 < х < 
2л,   у  >
 1).
4.24
x = 8 (/-s in /) 
у  = 8(1- c o s /)
у = 12 (0<  х < 16лг, _у>12),
х = 2(/ — sin/)
>’ = 2 (l-c o s /) 
у
 = 2 (0 < х < 
4л,  у  > 2)
4.27
229

4.28
х = 4  2 cos3/
4.29
у
 =  2 sin  /, 
x = 2 ( x > 2 \
x - 2
  2 cos/, 
>» = 5  2 sin /,
Щ
 5 
( y * 5 \
4.30
x = 4 ( /- s in /) , 
y  = 
4(1
 
- C O S / ) ,
у
 = 6  (О < x < 8;r, 
> 6)
№ 5
Тік  бұрышты  координаттар  жүйесінде  төмендегі  теңдеулермен  бершген 
кисыктар доғасының ұзындығын есептеңіздер.
5.1  v = ln x , 
3  < х <   .15.
5.3 
у =
  1 - х   + arcsinх,  0 < х <
7
9
5.5  _v = - l n c o s x ,  0 <  х <
п
6
5.7  V = 2 + arcsin  х + . х - х 2,  - <
4
5.9  v
1 - х 2  + arccos х ,  0 <
8
9
5.11 
у  = 2 + сһх,
 
0 < х < 1 .
5.13 
у  — —
 arccos  х +   х - х 2 , 0 < х <
4
5.15  >> = a rc s in x -  , 1 - х 2 
0 < х <
15
16
5.17  j  = 1 -  lnsinx,
л
3
к
2
1
5.2 
у  =
4
lnx
2
5.4 
= 1п
5
2х
3 < х й
  8
5.6 
у  = е х +
 6 ,  In  8 < х < In  15 
5.8 
у
 = ln(x2  - l ) , 
2 < x < 3 .
5.10  >> = l n ( l - x 2 l  0 < x <
5.12  y  = l - l n c o s x ,  0 < x <
I
4
j t
6
5.14y = ex + 13,  In  15 < x < l n   24
5 . 1 6 7  = 2 - 6 ' ,  
In  3 < x < l n   8
5.18  у  = 1 — ln(x2
5.19  >>=  , x - x   -arcco s  x + 5 , - < x < l .  
5.20  у  = lnsinx,
9
j t
3
л
2
5.21  V
arccosx+  l - x 2 +l ,  0 < x <
9
16
5.23  v = l + arcsinx
1 - x 2  ,  0 < x < -
4
5.25 
y  =
 lncosx + 2 ,  0 <  jt<
jt
6
5.27 
y  =
 arccos  x -   x - x   + 4 , 0 < x <
1
2
5.29  v =
e 2x
 + 
e~2x
 + 3
4
5.22 
у
 = In7 - l n x ,  
3 < x <   8.
5.24 
у  = chx
 + 3,  0 < x < 1.
5.26 
у
 = 
e x +
 26,  In  8 < x < In  24
5.28 
y  =
ex + e   x
2
+ 3,  0 < x < 2
5.30 
y  = ex +e,
  In  3 < x < l n   15
230

№ 6
жүиесінде
кисыктар доғасының ұзындығын есептеңіздер.
з?
6.1  р  = 
Ъе
 4  ,
п *  ^ п 
—  
<Ф<
 
— 
2
 
2
п
6.3  р  = 
Ш ,
 
- - < < » <
Цу
6.5 
р  = 6е
  5  ,
4^
6.7 
р - 4 е
  3  ,
5р
6.9  р  = 5е12,
2
7Г
2
п
2
к
2
0 
<<р<~.
3
0 
< ф < ~ .
3
6.13  p  = 3(l + sin р),  —
6
6.15  p  = 5(l-cos
<0.
6.17  p  = 7(l-sin^>), 
< ( р < П
6 
6
6.19  р  = 
2q>,
 
0
< ф < ~ .
4
6.21 
р  = 2<р,
0 
й<р£
6.23 
р  = 4<р,
 
0 £ ю <
6.25 
р  = 5<р, 
0<ср<
5_
12
3
4 
12
5
6.27  р  = 8cosp,
0 < ^  <
/г
4
6.29 
р
 = 2 sin о, 
0 < ю <  -
6
4
(р
2е>,
—  < ф <  — . 
2 
2
5<р
5 е 12,
я  
я
- ~ < Ф < —, 
2 
2
Зр
З е 4 ,
0
 < ф й ~ .  
I 
з
2
е” ,
0 < ф < ~ .
3
12<р
=  12
^ ,
0
 < ф < —.
3
6.12  р  = 2(l-cos^>), 
-  л  < т < - Л
2
6.14  р  = 4(l-sin^o), 
0 <
й
><
Л’
6
6.16  p  = 6(l + sin ю \ 
-  — < ю < О
2
6.18  р  = 8(l Scos <р). 
-  —  < ф < о
6.20 
р  = 2ф,
 
0 < р £ - .
6.22 
р  = 2ф,
 
0 
<<р<
12 
5
6.24  р  = 3©, 
0 < 
ф
 < - .
3
Л’
6.26  р  = 2 cos
<р, 
0 < ф < —.
6
6.28  р  = 6cos^>, 
0 < 
а> <
6.30  р  = 8sin 
<р,
 
0 < 
ср <
к
3
п
4
231

ӘДЕБИЕТТЕР
1.  Аяпбергенов 
С. 
Аналитикалык геометрия. -  Алматы:  Мектеп,  1971.
2.  Бұлабаев  Т.Б.,  Матакаева 
Ғ.С.  Сызыктык  алгебра  жэне 
аналитикалык 
геометрия элементтері.  - Ат маты:  Білім,  1995.
3.  Әубәкір С.
Б. Ж 
отары 
математика. 
-  Ахматы: ҚазҰТУ, 
2000.
4.  Беклемишев  Д.В.  Курс  аналитической 
геометрии  и  линейной 
алгебры.  -  
Москва:  Наука,  1980.
5.  Бугров  Я.С., 
Никольский  С  М. 
Элементы  линейной  алгебры 
и 
аналитической геометрии.  -  Москва:  Наука,  1980.
6.  Бугров  Я.С.,  Никольский  С.М.  Дифференциальное  и  интегральное 
исчисление. -  Москва:  Наука,  1980.
7. 
Бугров Я.С.,  Никольский 
С.
М.  Высшая  математика.  -   Москва: Дрова, 
Ч.  1,
2 , 3 -  2004.
8.  Пискунов 
Н 
С. 
Дифференциальное  и  интегральное  исчисление. 
-  
Москва: 
Наука, 4 .1 ,2  -   1985.  & ^
9. 
Кудрявцев 
В.А., 
Демидович  Б  П.  Краткий  курс  высшей  математики. 
-  
Москва:  Наука.  1986. 
f   f.'  *  J  ^ 
.  >
w
ІӨ.Данко  П.Е.,  Попов  А.Г.,  Кожевникова  Т . Я »  Высшая  математика  в 
упражнениях и задачах. 
-  
Высшая  школа.  Ч.І, 
2 -   1986.
П.Рябушко 
А П ., 
Бархатов 
ВВ. ,  
Державец 
ВВ. ,  
Юруть 
И.Е. 
Индивидуальные 
задания 
по 
высшей  математике.  -  Минск:  Вышэйшая 
школа Ч.  1. 2, 3 -  2002.
12. Байарысі а нов  А.О.  Жоғары 
математика  теориясы  мен  жаттығуляр 
жинағы.  -  Атматы: 
Hyp-
Принт,2013. 
'  ,  *
I З.Байарыстанов  А.О.  Аныкталмаган  жэне  аныкталган  интегралдарды 
есептеу әдістері  -  Атматы:  Нур-Принт, 2007.
14.Байарыс ганов 
А О ., 
Әлдібаева  Л.Т.  Екінші 
рстті  кисыктар  мен  беттер.  - 
Алматы: 
Нур-принт, 
2011. 
£щ і
 
■
 І
232

Байарыстанов Аскар Ойнарұлы
Ж О Ғ А Р Ы   М А Т Е М А Т И К А
І-бөлім
Басылуға 25.02.2015  қол қойылды. 
Пішімі 60x84  1/16 .  Көлемі  14,5 б.т. 
Таралымы  1000 дана. 
Тапсырыс 
№  19
«Нур-Принт» баспасы.
Тел:  8(727) 308-25-46, 8(727) 298-64-02 
e-mail: nur-print@mail.ru www.nur-print.kz

Алматы,  201 5
Байарыстанов А.О.
Ж О Ғ А Р Ы   М А Т Е М А Т И К А

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: