Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

п
қосындысы  деп  аталады  жэне  ах + а 2 + -.. + я„ 
болып  белгіленеді.
Ы
Векторларды  мұндай  косу әдісі қисықтарды түйықтау ережесі деп  аталады 
(6а-сурет).  Егер  екі  вектор  бір  нүктеден  шыгатын  болса,  онда  оларды 
параллелограмм ережесі деп аталатын әдіс бойынша косамыз (бэ-сурет).
ба-сурет
бэ-сурет
Бағытымен бершген  /  түзуі он деп кабылданады жэне  /  өсі деп аталады.
10
-анықтама.
  Шамасы 
d
 cos 
g>
  тен  сан, 
а
  векторының  /  өсіндегі
проекциясы  деп  аталады 
жэне 
пр /а 
болып  белгіленеді, 
мұндағы 
(р (0<ф<тг)  -  /  өсінің  оң  багытымен 
а
  векторының  бағыты  арасындағы 
бұрыш,  яғни  аньпстама  бойынша  пр{а  =  a  cosф  болып  белгіленеді.
тарғыдан
бойындагы  MN  кесіндісінің ұзындығы деп сипаттауга болады (7-сурет).  Егер 
0 < (р<  ~  болса,  онда  бұл  ұзындык  «+»  таңбасымен,  ал  егер  ^ < ( р < п
болса,онда  бұл  ұзындык  «-»  таңбасымен  алынады.  Егер  (р = —  болса,  онда
MN
7-сурет
11 
-анықтама.  а 
векторының  декарттык  координаттар  O x,O y,O z 
өстеріндегі  ортогональдык  проекциясы,  а 
вектордыц  координатасы  деп
түрінде
жазылады.
Векторлар тен болу үшін олардың сэйкес координаталарының тең болуы 
кажетті  және  жеткілікті  болып  табылады.  Мәселен,  егер 
а - Ь
  болса,  онда 
ах = ЬХУ  ау -  bv  жэне  az  = bz  болады жэне керсінше.
Егер 
нүктелер 
координаталарымен 
берілсе 
М х{х \ , y \ , z x) 
жэне
М
2
 
(*2
 9 у 29 z
2
), онда
44

болады,  яғни  екі  нүктені  косатын  вектордың  координатасы  сонғы  нүктенің 
координатасынан, бас нүктенің сәйкес координаттарын алғанға тең.
М \М 2 = {х
2
- х х;у2 - y {;z2 - z ,}  
(3.1)
п
2   аі 
формуласымен  аныкталатын  вектор  я
Ж
векторларының  сызықтық  комбинациясы  деп  аталады,  мұндағы  А,-  (/ = \,п)
накты
Егер  аі  векторлары  х}, у .,  z, 
координаталарымен  аныкталған  болса,
онда  а 
векторының  координатасы  a = 
j  
A,
jc
# 
; 
]Г 
; 
£  Az-z;-1
/=і 
і=і 
і=і
түрінде
аныкталады.
Егер  аі  векторларньщ  п  жүйесі үшін
п
I
І = 1
(3.2)
#  # 
Я 
a
  * *  *
теңдіп  тек  кана  Я,  = 0  болғанда  орындалса,  онда  бұл  тевдеулер  жүйесі
сызықтың тәуелсіз
  деп  аталады.  Егер  (3.2)  теңдеуі  ең  кемінде  біреуі  нөлге 
тен 
ем ес 
А,  үшін  орындалса,  онда  теңдеулер  жүйесі 
сызықтық тәуелді
 деп
аталады.  Мысалы,  кез  келген  екі  коллинеар  векторлар,  үш  компланар
векторлар,  төрт  жэне  одан  да  көп  үш  өлшемді  кеңістіктін  векторлары 
сызыктык тәуелді болады.
___ Ц
-анықтама.
  Кеністіктегі  сызыктык  тэуелсіз  ретгелтен  үш  вектор
еи е2,еъ  базис деп аталады.
Компланар  емес  векторлардың  реттелген  үштігі  эр  уакытта  базис 
кұрайды.  Үш  компланар  емес  ех  ={xI, y 1,z 1}, 
е2  = {x 2, y 2, z 2}  жэне
ез  = 
}  векторлары  базис кұрайды, егер олардын координаталарынан
кұралган
*1 
У\ 
2.
Д=дс2  у 2  z2> 0  
(3.3)
Уз 
г  у
оолады.
Кеністіктегі  кез  келген  векторды  в| 
базисі  бойынша  жіктеп
жазуга  болады,  ягни 
а  
векторын  базистік  векторлардың  сызыктык 
комбинациясы  түрінде  жазуга  болады 
а  = 
х е х 
+ 
у е 2  +  
z e 3
,  мұндағы 
jc, 
у л 
z
шамалары 
а  
векторынын сэйкес 
е х, е 2 , е$ 
базисіндегі координаторы.
Егер базистін векторлары өз ара перпендикуляр жэне ұзындыктары бірге
тен  болса,  онда  олар 
о р т о н о р м а л ь д ы  
деп  аталады  жэне 
i9j j t  
болып 
белгіленеді.
45

Мысалы,  тікбұрышты  Oxyz  координаталар  жүйесінде  берілген  a 
векторын  мына  түрде  жазамыз  a = axi + ay j  + az k  мұндағы  ах,ау ,а 7
шамалары  а  векторынын  сәйкес  Ox, Оу, Oz  өстеріндегі  координаттары,  яғни
а = \рх,а у,а2\ 
болады. 
Осы 
вектордьщ  ұзындығы 
a -   a 2
x + a * + a l
формуласымен есептелінеді.
Векторларға  жүргізілетін 
сызықтық 
амалдар,  сандарға  колданылатын 
косу және көбейту амалдары касиеттерін канағаттандырады.
Мысалы, 
а  + 6 = 6 + а , 
(a + р )а  = а а  + p a , 
a (a  + b) = a a  + a b , 
(a + b) + c = a + (b + c),  а + (-а ) = 0 ,  дг + 0 = я ,  1 а = а ,  Оя = б  т.с.с.
Егер  а = \ах, ау, а2 }  және  Ъ = ү>х, by, bz }  болса,  онда  бұл  екі  вектордьщ 
косындысы 
a + b = \рх  + bx, ау + by, az + bz } 
түрінде 
болады, 
ал
а = \рх, ау, а2}  векторын  кандайда бір  Я  санына көбейту  Ха = (ла х, Хау, Ля z } 
түрінде жазылады. 
г
3.2 Скалярлык көбейту.
14-анықтаиа.  а  жэне  b  векторларының  ұзындыктары  мен  олардың
арасындағы  бұрыштың  косинусының  көбейтіндісіне  тең  сан,  а  және  Ь 
векторларының скалярлық көбейтіидісі деп аталады жэне былай жазылады:
a-b = abcosxp. 
(3.4)
Скалярлық көбейтінді қасиеттері.
\  ~  ~ 
2 
~2 
2
a)  а -а  = а  немесе  а  = а   .
b)  а - Ь -  0 ,  егер  я = 0,  не  b = 0,  не  a L b   (нөлге  тең  емес  векторлардың 
ортогональдык белгісі).
c)  a  b - b   a  (ауыстырымдылыкзаңы).
d)  a • (b + с) = а • 6 + а • с  (үлестірімділік заңы).
e)  (/wa)  b = a-(mb) = т (а• 6 )(скалярлык  көбейтіндіге  катысты  терімділік 
заңы).
Координата өстерінің орттарын скалярлык көбейту мына түрдегі
і 2 
= 
j 2  - k 2 
= 1, 
/
• 
j   =  
i ‘k 
=  j
-k = 
0  
формуламен аныкталады.
Сондыктан,  егер  а  жэне  b  векторлары  өздерінің  координаталарымен 
берілсе,  яғни  а = x{i + y xj  + z xk  жэне  b = x2i + y 2j  + z 2k  болса,  онда
а • b = ххх2  + у§у2  + Z\Z2  болады.
46

3.3 Векторлық көбейту
\5-анықтама.  а  векторының  Ь  векторына  векторлық  көбейтіндісі деп
іесі түрде аныкталатын үшінші
1)  с 
векторының 
модулы 
а 
және 
b 
векторларына  тұрғызылған 
иараллелограммның  ауданына  тең  ( с   =  absm cp,  мұндағы  хр  а  жэне  b
векторларының  арасындағы  бұрыш,  бұл  бұрыш  сағат  тіліне  карама  қарсы 
бағытта алынады).
2)  с  векторы  а  жэне  Ъ  векторларына перпендикуляр;
3)  а,Ь,с  векгорлары  бір  бастауға  келтірілген  кезде,  егер  а  векторының  Ъ 
векторына векторлык көбейтіндісі сағат тіліне  карама  карсы бағытга алынса, 
онда олар  бір  біріне  катысты  сэйкес  i ,j ,k   ортгарындай  орналасады жэне  он
үпггік кұрайды (8-сурет), ал егер векторлык көбейтінді сағат тілімен бағытгас 
алынса сол үштік кұрайды (9-сурет).
8-сурет (он үиггік) 
9-сурет (сол үпггік)
белгіленеді.
түршде
Векторлық  көбейтінді қасиеттері.
a) 
b x a  
a x b
  яғни  векторлык  көбейтуде  орын  ауыс-тырымдылык  заны 
орындалмайды.
в)  о х
6
 = 
0
,  егер  а = 
0
,  не 
Jb =
 
0
,  не 
a \ \ b
  (нөлдік  емес  векторлардың 
коллинеарлык шарты).
с) 
ф а)*Ь = ах[тЪ)=т{ахЪ)
  (скалярлык  көбейткішке  катысты  терімділік
зацы орындалады).
д)  a x \b  + c)=  а*Ь  + а х с   (үлестірімділік 
заңы).
Координаттың  орттары 
i , j
  жэне 
к
  векторлык  көбейтуде  мына 
қасиетгер 
орындалады:
i x i *  у х  j  = k x k  = О 
і х ) т  - j X i  =  I ;  7 X *  at 
X  J  =  /; к  х /  =  - / x к  =  / .
Векторлар 
а = дс,/ + 
y t j  
+ 
zxk 
жэне 
A = x2i + y ~ j + 
z 2k 
векторлык 
көбейтуді мына формуламен жазу ыңғайлы болады:
і  
І  
к
а * Ь =   х , 
у ,  
z ,
. 
(
3
.
5
)
Уг  И
47

3.4 Аралас көбейту
16-анықтама. 
a x b  
векторының  с  векторына  скаляр  көбейтіндісі  a, b 
жэне  с  векторларының  аралас  көбейтіндісі  деп  аталады  жэне
аркылы белгіленеді.
Ал  а ,Ь ,с   үш  векторларының  аралас  көбейтіндісінің  модулы  осы  үш
векторға түрғызылған параллелепипедтің көлеміне тең.
Аралас көбейтудің қасиеттері.
1) Егер үш вектор үшін мына шарттар орындалса:
a) ең кемінде көбейткіш векторлардың біреуі нөлге тең болса;
b
) көбейткіш векторлардың екеуі коллинеарлы болса;
c) нөлдік емес үш вектор бір жазыктыкка параллель болса (компланарлы);
онда үш вектордың аралас көбейтіндісі нөлге тең.
2)Егер  аралас  көбейтуде  векторлык  (х)  жэне  скаляр іык  (•)  көбейткіштердін 
орындарын 
ауыстырсак, 
одан 
көбейтінді 
өзгермейді, 
яғни 
(яхб)-с = 
Сондыктан  осы  касиеттерді  пайдаланып  а, b  жэне  с
векторларының аралас көбейтіндісін мына түрде жазуға келісеміз  a b c .
3)Егер  аралас  кобейтуде  көбейткіш  векторлардың  орындарын  айналдыра 
ауыстырсак о дан көбейтінді өзгермейді:
abc = bca = c a b .
4) Аралас  көбейтуде  кез  келген  екі  вектордың  орынын  ауыстырсак,  онда 
көбейту таңбасы ауысады:
bac = - abc:; cba = - abc:;  acb = - a b c .
Егер  векторлар  орттарға  жіктелу  аркылы  берілсе:
a = xl i + y l j  + z l k ;b  = х2і + y 2j  + z 2k ;c  = x3i + уЩ + z3k ,
онда олардың аралас көбейтіндісі
х\ 
У\ 
Щ
 
5  'J D
abc = \х2 
у 
2
 
2
 
2
 
(3.6)
Уг
 
У
аныктауышы аркылы есептелінеді.
Үш  вектордың  аралас  көбейтіндісі  касиеттерінен  мына  тұжырымдар
шығады: 
ч
•  үш  вектор  компланар  болу  үшін  a b c -  0  шартының  орындалуы  кажетті 
жэне жеткілікті болып табылады;
•
  а , 
b  жэне  с  векторларына тұрғызылған параллелепипедтің  Vx  көлемі жэне 
солармен  жасалынған  үш  бұрышты  пирамиданың  V2  көлемі  келесі 
формулалар аркылы табылады:
1
И 
1
V\  -   abc,  V2  ~~V\  -  -   abc . 
(3.7)
=
 
6
 
6
48

Мысалы, 
пирамиданын 
төбелері 
>4(1;—1;2), 
В (
2;1;2), С(1;1;4) 
D(6;-3;8)  берілген.  Есептеңіз: а) 
А В
  ;  э) 
ВС ■
 
B D ;
  б) 
S
MBC;  в) 
VABCD
жэне
Шешуі: а) 
\АВ
I  табу үшін, ең алдымен 
АВ
  табамыз
»  А В - ( 2   1)/ + (1 + 1)у +  (2 -  2)к = / + 2 j , онда  АВ  = -  1 + 4 =   5  болады.
э)  ВС ■ 
BD
  скалярлык  көбейтуін  аныктау  ушін, 
ВС 
жэне  5D
векторл арыны н координаталарын табамыз:
В С  =  (1 -  2 ) /+ (1 - 1 
у
+ (4  -  2)к I
- І
 + 2к  жэне
BD = (6 -  2)/ +  (-3  -  1)7 + 
(8
 -  2)£ = 4/’ -  4у + 6 к , онда
В С • BD =  -1  • 4 + 0• (-4 ) + 2 -6  = - 4  + 12 = 8  тендігіменаныкталады.
^
аавс
 
ауданы 
Л
2
? 
жэне 
/4 С 
векторларынын 
векторлык
көбейтіндісінін  модулінің  жартысына  тең.  Сондыкган  АВ  жэне  АС 
векторларынын координаталарын аныктаймыз:
АВ =  (2 — 1)/+ (1 + 1)у +  (2 — 2)к = i + 2  j   жэне
АС -  (1 - 1 )/ + (1 +1)7 + (4 -  2)к = 2 
j  
+ 2к ,  енді  осы  екі  вектордьщ  векторлык 
көбейтіндісін табамыз:
_   _  
i  j   к
А В х А С  =  I  2  0   = 
/ -  
7 + 
к = 4 / - 2 j  + 2 к , сонда
0  2  2 
О  Z
>45х
A C
 —  4   + (—2)  +
2
“  =   Гб+ 4 + 4 = -  24 = 2 
6
, демек 
Здляс  = “ 2 6 =   6  тен.
в) 
л
bcd
  көлемі  пирамиданын  кабыргаларына  сэйкес  келетін  А В , АС 
жэне  AD  векторларынын аралас көбейгіндісінің модулінің 
-не тең.
АВ
 = 
(2
 -
1)/+(1
 +
1)}+(2
 -  
2
 
)к = і
 + 
2 j ,
АС ~ 0  ~ 1)* + (1 +1)7 + (4 -  2)к = 2 j  + 2k  жэне 
AD = (6 -1 )/ + 
(-3 
+ 1)у + (8 -  2)к =  5/ -  2 j  + 6 к .
Сондыктан,  осы уш вектордын аралас көбейтіндісін табамыз:
1 
2 
О
АВ ■ АС ■ AD
 = 
0 
2 
2  = 1 2 - 0  + 2 0 - 0  + 4 - 0  
= 36,
5 - 2  
6
^
a b c d  
~  ,
  ’  36  =  -  • 36 = 
6
  болады.
о 
6
онда
49

3.5 №3  өздік жумыс тап сы р м ал ар ы
Пирамиданың  төбелері 
А(х{; y t ; z x),  B{x2; у
2
 \ 2г ),  C(jc3 ; >>3; 
2
3) 
жэне 
D(x4 ; у 4; z4)  берілген.  Есептеңіз: a)  AB  ;  ә)  ВС ■ BD\  6)  SMBC\  в)  VABCD.
1.1 
A(2;4;5),
  i?(l;3;7),  C ( - 2 ; - 3 ; 6 ) ,  Z )(9 ;-6 ;8 ).
1.2 
A(-7,5-,6),  B ( -
2;8;-3),  C (3;-9;4),  £>(l;-8 ;2 ).
1.3  Л(1;3;7),  5(9;4;6),  C (-2 ;-3 ;5 ),  £ > (-5 ;8 ;-4 ).
1.4  Л(2;5;1),  5 ( - 3 ; - 2 ; 9 ) ,  C (3;-5;6),  D ( 4 ; - 9 ; 7 ) .
1.5  >4(—5;—3;—4),  5(1;9;7),  C(3;2;6),  £>(8;-2;4).
1.6  Л(3;4;2),  j g r 2 ; 7 ; - 5 ) ,  C (9 ;-3 ;6 ),  Z)(8;5;0).
1.7  /4(8;-2;3),  5 (0 ;-5 ;7 ),  C (2 ;4 ;-4 ),  Z>(6;-8;5).
1.8  Л(7;5;8),  Д (-4 ;- 5 ;3 ) ,  C (2 ;-3 ;9 ),  £>(6;1;4). 
j
1.9  /4(9;2;6),  2?(-6;-2;3),  C (-3 ;l;-4 ),  Z )(4;5;-7). 
f  
'  ''* 
:
1.10 
A(-5;-4;-3), B (
7;3;-1),  C(6;-2;0),  Z )(-6;2;-7).  '
1.11 
^ (3 ;-5 ;-2 ),  5 (-4 ;2 ;-3 ),  C(l;5;7),  Z>(-8;4;9). 
^
  "
1.12 
A(7;4;9),  B (l;-2;-3),
  C (-5;3;0),  /5(8;—7;—4 ).
1.13  Л (-4 ;-7 ;-3 ),  5 (0 ;-5 ;7 ),  C(2;3;8),  £>(9;-2;l).
1.14  Д - 4 ; - 5 ; - 3 ) ,  Я(3;1;2),  C (5;7;-6),  Z>(6;-1;5).
1.15  Л (5;2;4),  | ( | 3 ; 8 ; - 7 ) ,   C (l;-5 ;7 ),  £>(9;3;6).
1.16  Л(-6;4;5),  5 (9 ;-7 ;3 ),  C (7;2;-8),  £ )(-2 ;8 ;-3 ).
1.17  Л(5;3;6),  5 ( - 3 ; - 4 ; - 5 ) ,  C (7;-6;8),  £>(4;0;-9).
1.18  i4(5;-4;4),  Д (-8;-6;7),  C(3;2;-7),  £>(6;-2;-9).
1.19  Л (-7 ;-6 ;-5 ),  Я(5;1;-3),  C (8;-4;0),  D (3;4;7).
1.20  -<4(7;—1;—2),  £ (l;-7 ;8 ),  C(3;-8;9),  Z )(-2;-5;2).
1.21 
Л(5;2;7),  5 ( - 7 ; - 6 ; - 9 ) ,  C(-8;6;3),  D ( l; - 5 ; - 2 ) .
1.22  Л (-2 ;-5 ;-1 ),  i? (-6 ;-7 ;9 ),  C(4;5;l),  Z)(3;8;7).
1.23  Л (-6 ;-3 ;-5 ),  5(5;1;7),  C (3 ;2 ;-l),  £>(4 ;-2 ;9 ).
1.24  Л (7;4;2),  5 ( - 5 ; 3 ; - 9 ) ,  C (l;5;8), 
D (
6 ; 9 ; - l) .
1.25  ^ (-8;2;7),  5(3;-5 ;9),  C (-9 ;4 ;-6 ),  £>(-4;6;5).
1.26 
у
4(4;3;1),  Я(2;7;5),  C (-4 ;-2 ;8 ),  Z ) ( - l; - 3 ; - 5 ) .
1.27  Л (-9 ;-7 ;4 ),  Я (-4;3 ;-1),  C(5;l;2),  D (-3 ;8 ;9 ).
1.28  /1(3;5;8),  5 (- 3 ; * ,7 ) ,  C (9 ;-2 ;6 ),  Z )(l;-8 ;-9 ).
1.29  Л(4;2;3),  5 ( - 5 ; - 4 ; - 2 ) ,  C (5;7;-8),  £>(6;9;-7).
1.30  -<4(4;—2;—3),  5(2;5;7),  C (6 ;3 ;-l),  £> (9;-4;l).
50

IV.  Жаэыктықтағы және кецістіктегі  аналитикалық геометрия
4.1  Жазыктықтағы аналитикалық геометрия
Егер  жазыктыкта  тік  бұрышты  хОу  декарттык  координаталар  жүйесі 
берілсе,  онда  осы  жазыктыктың  координаталары  х  жэне  у   болатын  М 
нүктесі  М( х\ у )   деп белгіленеді.
Жазыктыктың  А /,(хх;у х)  және  Л
/ 2(*2
 > У
2
)  нүктелерінің  арасындағы
аракаш ыктык 
I *
Ш
 
1 в 
'  ' ■ 
..... . 
■
 ■■  ■
 ■
 ■
  1
d  =  і х 2 -  х\ 
Ү 
+ 
{у2 -  У\ 
Ү 
(4.1)
формуласымен аныкталады.
Жазыктыктағы 
А(хх\у \)
  жэне 
В(х2;у2)
  нүктелерінің арасын берілген  Я 
катынасында бөлетін 
С(х',у)
  нүктесінің координаттары
в 
*і  + 
А
х
2 
у , +
 Яу2
X -   ------— ; 
у  = —---- —  
(4
 
2
)
1 + Я 
* 
1 + Я 
{ 
}
формуласымен аныкталады.
Егер 
С(х;у)
  нүктесі 
A(xt -,yt )
  жэне 
В(х2;у
2)  нүктелерінін  ортасы 
болса, онда
дс,+дг
2
 
У
1
+У
2
х =
У
 = П- ~  
(4.3)
формуласымен есептелінеді. 
*
Төбелері 
A(xi ',y
l ) , 
B{x2\y
2)  жэне 
С(х3;у 3)
  болатын  үшбұрыштың 
ауданы
s  = 
2
 х і(У
2
 ~Уз) + хі(Уз ~ У і)+ хз (У і-У
2
У
 =
j  
ЖЯЯН  ■
 
•  * * '! 
і  Т* 
' 
- 
•••
1
2  
(jc2
 
- х \ АУз - У \ ) - ( х г - х х)(у2 - у ху
 
(4.4)
формуласымен есептелінеді.
(4.4) формуласын аныктауышты пайдаланып, былай жазуға болады.
5 = 2 Д ’ 
(4.5)
мұндагы
1 
1
 
1
Д =   дг, 
х2  Щ .
 
(4.6)
У\  Уі   Уз
Жазыктыктағы түзулердің түрлі теңдеулерін карастырайык:
1)  Түзудін жалпы тендеуі.
Жазыктыктағы 
х
  жэне 
у
 -ке катысты бірінші дәрежелі мына теңдеу
Ах + Ву + С = Ъ
 
(
4
.
7
)
51

түзудің  ж аты  теңдеуі  деп  аталады.  Мұндағы  А ,  В  жэне  С  теракты
коэффициенттер жэне  А  + В~ 
Ф

жүктеу/скачать 12,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: