Процессы управления и устойчивость

но так как его значения одноточечные, то оно, а следовательно, и

соответствующее отображение ν

N

, непрерывны. А тогда, по анало-

гии с леммой 2, нетрудно показать, что селектор G

N

многозначного

отображения Φ такой, что

G

N

(t, x) = {f ∈ Φ(t, x) | ∃h ∈ R

m

:

(f, h) ∈ ΦH(t, x) и d(t, x, f ) + h = ν

N

(t, x)}, (t, x) ∈ D,

индуцирует решение игры Γ(D).

Литература

1. Чистяков С.В. О построении сильно динамически устойчивых

решений кооперативных дифференциальных игр // Вестник

СПбГУ, 1992. Сер. 1. Вып. 1. C. 50–54.

2. Адрианов А.А., Чистяков С.В. Об одном классе бескоалиционных

дифференциальных игр с неограниченной продолжительностью

// Вестник СПбГУ, 2005. Сер. 10. Вып. 1. C. 78–93.

3. Адрианов А.А., Чистяков С.В. Существование равновесных тра-

екторий в одной бескоалиционной дифференциальной игре //

Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной кон-

ференции аспирантов и студентов / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н.

Старкова. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. С. 539–543.

4. Чистяков С.В. О бескоалиционных дифференциальных играх //

Доклады АН СССР, 1981. Т. 259, № 5. C. 1052–1055.

5. Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game //

SIAM J. Appl. Math. 1969. Vol. 17. P. 1163–1170.

6. Обен Ж., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир,

1988. 510 с.

484

Андрианов П.В., Петрова В.А.

Санкт-Петербургский государственный университет

Оценка эффективности городской системы

пассажирского автомобильного транспорта

В настоящее время актуальной задачей является разработка ме-

тодов объективной оценки эффективности городской системы пас-

сажирского автомобильного транспорта в связи с тем, что с точки

зрения обычного пассажира работа этой системы является неудовле-

творительной. Такие методы должны включать в себя количествен-

ные характеристики, совокупность которых позволяла бы получать

численные оценки и тем самым проводимый анализ делать объек-

тивным. Главным показателем эффективности транспортной систе-

мы является быстрота и комфортность доставки пассажира к месту

его назначения. Временные затраты пассажира на перемещение к

месту назначения определяются формулой:

τ = τ

п

+ τ

ож

+ τ

дв

,

(1)

где τ

п

– интервал времени подхода к остановочному пункту, τ

ож

–

интервал времени ожидания транспортного средства, τ

дв

– интервал

времени в пути, измеряемые в минутах.

При наличии движения транспорта по расписанию величиной τ

ож

можно пренебречь. Таким образом, систему пассажирского автомо-

бильного транспорта можно считать эффективной, если для каждо-

го i-го пассажира отклонение средней величины τ

i

от минимального

значения будет минимально.

Рассмотрим τ

п

. В соответствии с материалами НИПИ террито-

риального развития и транспортной инфраструктуры величина τ

п

может быть оценена по следующей формуле:

τ

п

=

1

3δ

+

l

n

4

60

v

n

,

где l

n

– расстояние между остановочными пунктами, v

n

– скорость

пешехода, δ – плотность транспортной сети (1/км), которая харак-

теризуется функцией [1, 2]

δ =

L

0

F

,

485

где L

0

– общая протяжённость транспортных линий (км), F – пло-

щадь города (км

2

).

Для крупных городов δ = 1, 8 − 2, 5 (1/км), а для центральных

районов города δ = 5 − 7 (1/км).

Для сокращения времени на подход необходимо увеличивать δ

и уменьшать l

n

. Но нужно учесть, что увеличение δ позволяет рас-

средоточить пассажиропоток, а уменьшение l

n

– снизить скорость

движения автобуса и увеличить время доставки пассажиров к месту

назначения.

Рассмотрим величину τ

дв

, которая входит в формулу (1):

τ

дв

=

l

n

v

дв

,

где l

n

– расстояние между остановочными пунктами, v

дв

– скорость

движения. Рассмотрим факторы, влияющие на величину v

дв

.

Назовём провозной способностью через сечение в 1 час в одну

сторону маршрута величину

A = W

сеч

m,

(2)

где W

сеч

– число машин, проходящих в течение 1 часа через сечение

улицы на маршруте, m – вместимость единицы подвижного состава.

Ясно, что величина W

сеч

зависит от общего числа машин в дви-

жении на маршруте, вычисляемое по формуле

W

дв

=

2LW

сеч

v

дв

,

(3)

где W

дв

– число машин в движении на маршруте, L – длина маршру-

та в одном направлении, с учётом того, что длина маршрута в обоих

направлениях одинакова.

Выражаем величину W

сеч

из формулы (3) и подставляем её в

формулу (2), получаем:

A =

W

дв

v

дв

m

2L

.

Рассмотрим математическую модель структуры маршрутной се-

ти. Это ориентированный граф, на котором дугам соответствуют

транспортные магистрали, а вершинам – их перекрёстки. Те и дру-

гие назовём элементами графа. Было бы естественно сопоставить

486

элементам этого графа величину пропускной способности, которая

определяется по формуле

W

∗

=

nv

дв

l

,

где n – число полос движения, l – длина участка, соответствующая

элементу графа, v

дв

– скорость движения на участке.

Кроме того, на элементах графа определим понятие провозной

способности элемента для определённого уровня (m) пассажировме-

стимости транспортного средства:

A

∗

= W

∗

m.

Ясно,что для осуществления перевозки имеющегося пассажиро-

потока необходимо, чтобы на каждом элементе графа маршрутной

сети выполнялось:

A ≤ A

∗

,

где A характеризует потребность в перевозке пассажиропотока, а A

∗

– возможность транспортной сети в обеспечении перевозки пассажи-

ропотока транспортными средствами с пассажировместимостью m.

Литература

1. Меркулов Е.Л., Турчихан Э.Я., Дубровин Е.У. Проектирование

дорог и сетей пассажирского транспорта в городах. М.: Стройиз-

дат, 1980.

2. Варелопуло Г.Л. Организация движения и перевозок на город-

ском пассажирском транспорте. М.: Транспорт, 1990.

487

Белоносова И.Ю., Колбин В.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Исследование моделей страхования

Теория принятия решений в условиях риска и неопределенности

имеет широкое применение в различных областях деятельности че-

ловека, в том числе и в страховании [1–6]. Для изучения индивиду-

альных предпочтений людей на множестве вероятностных распре-

делений значительный интерес представляет собой изучение стоха-

стических порядков. В данной статье приведены некоторые важные

результаты, полученные при исследовании страховых портфелей с

помощью критериев стохастичекого доминирования.

Рассмотрим P – множество вероятностных распределений на из-

меримом пространстве. Пусть A, B ∈ P. Функцию распределения,

соответствующую A ∈ P , обозначим F

A

(x) = P ((−∞, x]). Приведем

необходимые определения из [7–9].

Определение 1. Имеет место стохастическое доминирование

первого порядка A ≥

1

B, если F

B

(x) ≥ F

A

(x), x ∈ R.

Определение 2. Имеет место стохастическое доминирование

n-го порядка A ≥

n

B, если F

(n)

B

x ≥ F

(n)

A

x, x ∈ R, где F

(n)

B

(x) =

x

−∞

F

(n−1)

B

(t)dt, n = 2, 3, . . . .

Пусть для любого i = 1, n , U

i

– класс функций полезности [2],

где

U

1

= {u | u > 0},

U

2

= {u | u > 0, u < 0},

U

3

= {u | u > 0, u < 0, u > 0},

. . .

U

n

= {u | u

(n)

(x) > 0, если n – нечетное,

и u

(n)

(x) < 0, если n – четное}.

Положительная первая производная функции полезности свиде-

тельствует о наличии у лица, принимающего решения, так называе-

мого свойства "больше – лучше, чем меньше", т.е. ненасыщаемости

488

потребностей. Индивидуум, характеризующийся функцией полезно-

сти с отрицательной производной, является строго нерасположен-

ным к риску. При положительной третьей производной говорят, что

имеет место функция полезности с убывающей абсолютной нераспо-

ложенностью к риску. Убывающая абсолютная нерасположенность

к риску имеет место, если

R

a

(x) =

dR

a

(x)

dx

< 0.

Интерпретация производных еще больших порядков является

неоднозначной или даже невозможной.

Критерии стохастического доминирования и соответствующий

класс предпочтений U

i

связаны следующим образом.

1. Критерий стохастического доминирования первого порядка и

класс предпочтений U

1

:

F

A

(x) ≤ F

B

(x) ⇔ E

F

A

U (X) ≥ E

F

B

U (X),∀ U ∈ U

1

,

при этом

x

x

(F

B

(t) − F

A

(t))U (t)dt ≥ 0.

2. Критерий стохастического доминирования второго порядка и

класс предпочтений U

2

:

x

∞

(F

B

(t) − F

A

(t))dt ≥ 0 ⇔ E

F

A

U (X) ≥ E

F

B

U (X), ∀ U ∈ U

2

,

при этом

U (x)

x

x

(F

B

(t) − F

A

(t))dt

x

x

U (

x

x

(F

B

(τ ) − F

A

(τ ))dτ )dt

≥ 1.

3. Критерий стохастического доминирования третьего порядка и

класс предпочтений U

3

:

x

−∞

t

−∞

(F

B

(t, τ ) − F

A

(t, τ ))dtdτ ≥ 0 ⇔

489

⇔ E

F

A

U (X) ≥ E

F

B

U (X), ∀ U ∈ U

3

и E

F

A

(T ) ≥ E

F

B

(T ),

при этом

A − B

C − D

≥ 1,

где

A = U (x)

x

x

(F

B

(t) − F

A

(t))dt,

B =

x

x

U (x)

x

x

(F

B

(t) − F

A

(t))dt,

C = U (x)

x

x

x

x

(F

B

(x, t) − F

A

(x, t))dtdx,

D =

x

x

U (x)

x

x

τ

x

(F

B

(τ, t) − F

A

(τ, t))dτ dt.

Во многих случаях данная структура не позволяет принять ре-

шение в пользу той или иной альтернативы, однако более выгодное

решение может быть получено при допущении исследования страхо-

вого портфеля в условиях малорисковости или рисковости меньших

порядков.

Введем понятие рисковости. Рассмотрим вероятностное простран-

ство {U, F, P }. Пусть на нем задан (ξ

1

, . . . , ξ

n

) – n-мерный случай-

ный вектор, и {ξ

i

} – независимые случайные величины. Пусть также

определены константы M

1

, . . . , M

n

(M

i

∈ R).

Определение 3. Если для любого i = 1, n, b

ii

≤ M

i

, то будем

говорить, что имеет место рисковость порядка нуль.

Определение 4. Если для любого i = 1, p − 1, b

ii

> M

i

и любого

i = p, n, b

ii

≤ M

i

, где 2 ≤ p ≤ n (p ∈ N ), то будем говорить, что имеет

место рисковость порядка (p − 1).

Определение 5.

Если для любого i = 1, n, b

ii

> M

i

,

то будем говорить, что имеет место рисковость порядка n, где

b

ij

=

. . . (x

i

− M ξ

i

)(x

j

− M ξ

j

)dF (x

1

, . . . , x

n

) для всех i = j,

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n.

490

Отметим некоторые важные результаты.

Нетрудно видеть, что существует определенное соотношение меж-

ду доминированием разных порядков.

Теорема 1. Если существует стохастическое доминирование

порядка (k − 1) A ≥

(k−1)

B, то существует и стохастическое до-

минирование порядка k A ≥

k

B.

Более того, несложно также убедиться, что существует соотноше-

ние между доминированием в условиях рисковости разных степеней.

Теорема 2. Если существует стохастическое доминирование в

условиях рисковости порядка (n − 1) A ≥

r(n−1)

B, то существует

и стохастическое доминирование в условиях рисковости порядка n

A ≥

r(n)

B.

Важным результатом является наличие соотношения между до-

минированием разных порядков в условиях рисковости различных

степеней. Схематически данное соотношение можно представить в

следующем виде:

(1)SDR(n)

⇒

(2)SDR(n)

⇒ . . . ⇒

(k)SDR(n)

↓

↓

↓

(1)SDR(n − 1) ⇒ (2)SDR(n − 1) ⇒ . . . ⇒ (k)SDR(n − 1)

↓

↓

↓

..

.

..

.

..

.

↓

↓

↓

(1)SDR(0)

⇒

(2)SDR(0)

⇒ . . . ⇒

(k)SDR(0)

Теорема 3. Пусть заданы α, β такие, что 1 ≤ α ≤ k−1, 0 ≤ β ≤

n − 1, где n, k ∈ N . Если найдутся i = α и j = β такие, что суще-

ствует стохастическое доминирование порядка i в условиях риско-

вости порядка j A ≥

i,j

B (или иначе (i)SDR(j)), то существует

и стохастичесое доминирование порядка (j + 1) A ≥

i+1,j+1

B (или

иначе (i + 1)SDR(j + 1)) для любых i = α − 1, . . . , k и j = β − 1, . . . , n.

491

Литература

1. Новоселов А.А. Математическое моделирование финансовых рис-

ков: теория измерения. Новосибирск: Наука, 2001. 102 с.

2. Фишберн П. Теория полезности для принятия решения. М.: Нау-

ка, 1978. 324 с.

3. Салин В.Н., Абламская Л.В., Ковалев О.Н. Математико - эконо-

мическая методология анализа рисковых видов страхования. М.:

Анкил, 2000. C. 48–59.

4. Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности. Барнаул: АГУ,

2001. C. 19–50.

5. Белоносова И.Ю., Буре В.М. Оптимальное и компромиссное ре-

шения в перестраховании // Процессы управления и устойчи-

вость: Труды 35-й научной конференции / Под ред. Н.В. Смирно-

ва, В.Н. Старкова. – СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2004. С. 548–550.

6. Белоносова И.Ю., Буре В.М. Оптимизация перестраховочного по-

крытия // Актуальные проблемы экономики и новые технологии

преподавания (Смирновские чтения): Материалы 3-й междуна-

родной научно-практической конференции. СПб.: МБИ, 2004. С.

243–246.

7. Колбин В.В., Шагов А.В. Модели принятия решений. СПб.: НИИ

Химии СПбГУ, 2002. C. 39–48.

8. Колбин В.В., Колбин У.В. Анализ и оценка риска. СПб.: НИИ

Химии СПбГУ, 2005. C. 8–49.

9. Колбин В.В., Шагов А.В. Оптимизация выбора инвестиционного

проекта // Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й на-

учной конференции / Под ред. Н.В. Смирнова, В.Н. Старкова. –

СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2004. С. 629–633.

492

Богданова А.В.

Санкт-Петербургский государственный университет

Одна теорема в теории нечеткой относительной

важности критериев

Рекомендовано к публикации профессором Ногиным В.Д.

Важнейшие понятия, связанные с нечеткими множества-

ми и отношениями. Пусть A — некоторое непустое (так называе-

мое универсальное) множество. Нечеткое множество X в A задает-

ся функцией принадлежности λ

X

: A → [0, 1]. При этом для каждого

x ∈ A число λ

X

(x) ∈ [0, 1] интерпретируется как степень принадлеж-

ности элемента x множеству X. Все элементы x множества A, для

которых λ

X

(x) > 0, образуют суппорт множества X, обозначаемый

supp X.

Для нечеткого множества η(·), заданного на линейном простран-

стве L, используют следующие термины [1–4]:

• нечеткий конус, если η(x) = η(αx), ∀α > 0, ∀x ∈ L ;

• нечеткий острый конус, если суппорт этого конуса является

острым, т.е. ни один ненулевой элемент суппорта не содержится

в нем вместе с противоположным ему элементом;

• нечеткое выпуклое множество, если выполняется

η(θx+(1 −θ)y) min{η(x),η(y)}, ∀x, y ∈ L, ∀θ ∈ [0, 1].

Нечеткое (бинарное) отношение задается на множестве A с по-

мощью функции принадлежности µ : A × A → [0, 1], при этом число

µ(x, y) ∈ [0, 1] интерпретируется как степень уверенности в том, что

элемент x находится в данном отношении с элементом y.

Нечеткое отношение с функцией принадлежности µ(·, ·) называ-

ют

• иррефлексивным, если µ(x, x) = 0, ∀x ∈ A;

• транзитивным, если µ(x, z) min{µ(x, y), µ(y, z)}, ∀x, y, z ∈ A;

• нечетким конусным отношением на линейном пространстве L ,

если найдется такой нечеткий конус η : L → [0, 1], что µ(x, y) =

η(x − y), ∀x, y ∈ L;

493

• инвариантным относительно линейного положительного пре-

образования, если оно задано на линейном пространстве L и

выполняются равенства µ(αx, αy) = µ(x, y), µ(x + c, y + c) =

µ(x, y), ∀x, y, c ∈ L, ∀α > 0.

Задача нечеткого многокритериального выбора. Пусть за-

дано X — произвольное множество возможных решений, содержа-

щее, по крайней мере, два элемента.

Обозначим множество выбираемых решений через SelX. Вы-

бираемыми обычно оказываются такие решения, которые наиболее

полно удовлетворяют целям лица, принимающего решение (ЛПР).

Желание ЛПР достичь определенной цели в математических тер-

минах выражается в виде максимизации (или минимизации) опре-

деленных числовых функций f

1

, . . . , f

m

, заданных на множестве X

и называемых в зависимости от содержания задачи выбора крите-

риями оптимальности, целевыми функциями и т.п.

Данные функции образуют векторный критерий f = (f

1

, . . . , f

m

),

принимающий значения в m-мерном арифметическом пространстве

R

m

(критериальном пространстве, пространстве оценок). Значе-

ние f (x) = (f

1

(x), . . . , f

m

(x)) ∈ R

m

векторного критерия f при опре-

деленном решении x ∈ X именуют возможной векторной оценкой

решения x.

Все векторные оценки образуют множество возможных векто-

ров (оценок) Y = f (X) = {y ∈ R

m

| ∃x ∈ X : y = f (x)}.

Будем также считать, что на множестве возможных решений X

задано нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежно-

сти µ

X

(·, ·), заданное на декартовом произведении X × X и прини-

жүктеу/скачать 30,48 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: