§11.  Дөңгелек тесіктен,  дөңгелек экраннан,  жартылай шексіз  экран

Егер 

ВС

  -га 

k

  зоналары  сиятын  болса,  оның 

м

  нүктесіндегі 

амплитудада 

Ак

  сол зоналардың санының тақ, не ж уп  болуына байла-

ІІЫ СТЫ .

Біз  10-шы параграфта 

Ак

 -ны  былай анықтағанбыз 

Ак

  =   %  — а

2

  + 

…

1)

ん

1

 

ак 

Демек 

Ак

 -ны  мына түрде жазамыз

А,.

а х 

а.

а' 

а.

11.1

11.2

Қарастырылып отырған 

ак

  мен 

а{

  -дің мәндері бір-біріне ж ақы н 

болса,  онда  максимум  мен  минимумдардың  бір-бірінен  айырмашы- 

лығы болады. Ж арық кө зін ің  жағдайы ѳзгермегенде, 

k

  зоналарының 

саны тесіктің диаметріне  және  /  қаш ы қты ғы на  байланысты.  Демек, 

тесіктің диаметрін өзгертсе,  немесе экранда не алыстатып,  не ж а қы н - 

датса, 

М

  нүктесіндегі интерференциялық суретте өзгереді.  Еге.р диа­

метр  өте  үлкен  болса 

ак  «  а

х,  онда экранда ешқандай интерферен- 

циялық  сурет  байқалм айды .11.1-суретінде  (1-1

，

2-2,  3-3)  бірінш і,

77

екінш і және үш інш і зоналар жэне олардан алынатын интерференция- 

л ы қ сурет бейнеленген.

Дөңгелек экраннан пайда болатын дифракция. Экран жазықтығына 

перпендикуляр өс бойындағы бақыланатын 

м

  нүктесі үш ін,  Френель 

зоналары  экранның  геометриялық  ортасы  (центрі)  арқылы  өтетін 

ко н ц е н тр л ік  шеңбер  б о л а д ы .11.2-суретінде  1-1;  2-2;  3-3,...  деп 

белгіленгендер бірінш і,  екінш і,  үш інш і және т.б сақиналық зоналарға 

жатады. Сонымен бүл жағдайда, зоналар жүйесіоо болғандықтан шектел­

меген толкындар  үш ін  әр зонаның сәуле  шығаруын  қосу әдісі  пайда­

лану арқылы, яғни  д /  нүктесіндегі амплитуда 

Ак

 -ны  бірінш і зонадан 

бастап барлық ашық зоналарды қосу арқылы анықтайды

А 

сіх 

а,

Aj.  —  Сіү  — й'2  +   Й

3

  -  

+ . . .   +  

— ------ Һ  ( ------- Cl-,  Н------- )  +

+ (І

 

一

 Й

4

+

土

)

十

…+ 

+ 

と

) + 

土

.

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2

Демек, 

М

  нүктесінде интерференциялық максимум (жарық нүкте) 

пайда болады,  ол  бірінш і  аш ық  Френель  зонасының әсеріне  тең.  Бұл 

ашық дөңгелек тесіктен болатын дифракция секілді орталық максиму­

мы жарық және қараңғы сақиналары бірінен соң бірі орын ауыстырып 

келеді  (

11

.

2

-сурет).

Егер  дөңгелектің  радиусын  үлкейтсек,  онда  орталық  максимум 

нашарлайды.  Егер дөңгелектің радиусы орталық зона радиусынан өте 

үлкен  болса,  онда  дөңгелектің  артында  көлеңке  пайда  болады  да,  M  

нүктесінде өте әлсіз интерференциялық сурет алынады.  Бұл жағдайда 

дифракцияны,  ескермей жары қ түзу сызықпен таралады деген  занды 

пайдалану қажет.

Жартылай  жазықтықтың  (экранның)  шетіндегі  дифракция.  Ж азық 

жарық толқынның жолына таралу бағытына перпендикуляр етіп  шеті 

т ік  болатын  мөлдір  емес жартылай ж азы қты қ қояй ы қ.  Жартылай жа- 

зықтықтан  оған 

わ

  қа ш ы қты ққа   параллель  экран  қойы п  бақылау 

жүргізгенде,  экранда  дифракцияланған  сәулелерден  пайда  болатын 

сурет төменде  келтірілген  (

1

1.3-сурет).

78

11.3

11.4-суретівдегі жарықтың интенсивтілігі геометриялық көлеңкенің 

•ііімағына өткенде,  секірмелі түрде өзгермей,  біртіндеп нөлге үмтыла- 

ды.  Геометриялық көлеңкенің оң жағында жарықтың интенсивтілігінің 

максимумдары мен минимумдары бірінен соң бірі өзгеріп отырады.

11.4

Жартылай  жазы қ  экран  шетіне  перпендикуляр  х   өсін  аламыз. 

Оның бас нүктесі геометриялық көлеңкенің шекарасына сәйкес келсін. 

Интенсивтіліьсгің 

х

  координатынан тәуелдігі  11.4-суретінде келтірілген. 

Экранда  жартылай  ж азы қты қ  ж о қ  кездегі 

/ 0

  интенсивтілігінің  1/4 

бөлігі  геометриялық  көлеңке  шекарасындағы  интенсивтілікті  береді. 

Егер біз 

わ

= 1

 м жэне  Я  =  0,5 

мкм

 деп алсақ,  онда есептеулер мынадай 

максимумдардың координаталарын береді:

x,  =  0,61 

мм,  х2

  =1,17 

мм,  х3

 

ニ

 1,54 

мм

  жэне  т.б.

Жартылай жазықтық пен экран арасының қашықтығы 

Ь

 -ны ѳзгерт- 

сек,  координаталардың  максимум  мэні 

^[ь

  секілді  ѳзгереді.  Демек, 

жоғарғыда келтірілгендерге қарасақ，максимумдар ж и і орналасқан бо­

лып  шығады.  Б ірінш і  максимум  үш ін  1,37 

/ 0

  жэне  бірінш і  минимум 

үш ін  0,78 

/ 0

  алынады.

79

§12.  Саңылаудан  болатын  Фраунгофер дифракциясы

Ж азы қ  ж ары қ  толқындарының,  былайша  айтқанда,  параллель 

сәулелердің  дифракциясын  алғашқы  рет  1821-1822  жж.  Фраунгофер 

зерттеген болатын. Тәжірибеде параллель сэулелер линзаньщ кѳмегімен 

алынады.

Егер саңылау экраннан алыска орналастырылса,  онда оған бағыт- 

талған параллель сәулелерді сол экранға шоғырлавдыру (фокусқа келтіру) 

үш ін линза қолданылады.  Бұл жағдайда  сәулелердің дифракциялану- 

ьш  Фраунгофер  дифракциясы  дейді.  Ал  егер  экран  саңылауға  жақын 

орналасып, сәулелерді шоғырлавдыруға линза қажет болмаса, онда алын- 

ған дифракцияны Френель дифракциясы деп атайды.

Параллель  монохроматтық  сәуле  шоғы 

ВС

 саңылауы  бар  мѳлдір 

емес 

3

j  экранға  нормаль  бағытта  түсіп  түрсын  дейік  (

12

.

1

-сурет). 

Экранның  үзындығы  / »  

Ь

  және  саңылаудың  ені 

Ь

 = 

ВС

  тұрақты 

болсын.

Түскен толқынның беті, саңьшау жазықтығы жэне экран бір-біріне 

параллель орналасқан.  Г юйгенс-Френель принци пі бойынша, толқын 

бетінің ашық бөлігінің элементар бөлімшелері е кінш і ретті толқын көзі 

болып  табылады.  Толқы н  бетінің  ашық  бөлігін  саңылаудың  шетіне 

параллель, 

е н іЬ / N

 болатын 

N

  элементар зоналарға бөлеміз.  Эр зона 

нүктесінде,  амплитудасы  зона  саны 

■'N

 -ге  кері  пропорционал 

тербеліс тудырады

M  = A J N

 

(

12

.

1

)

(

А0 —

 нөлінш і ретті дифракциялық максимумдағы тербеліс ампли­

тудасы). 

ь

Егер  саңылау  арқылы  өткен  жары қ  түзу  бойымен  таралса,  онда 

жинағыш линзаньщ фокаль жазықтығында орналасқан 

Э2

  экранында

жарық  кө зін ің  ке скін і  алынады.  Алайда,  саңылаудан  жарықтың диф- 

ракциялану  нәтижесінде,  бүл  жағдай  түбегейлі  өзгереді.  Демек,  бұл 

жерде  біз  экранда  интерференциялық  максимумдар  жүйесі  жары қ 

козінің  жуылған  ке скінін,  интерференциялық  минимумдардың  қара 

аралықтармен бөлінгенін байқаймыз.

Саңылаудың шеттерінен  келетін 

в м

  және 

CN

  сәулелерінің жол 

айырымы 

A  = b sm  (р

 (12.1-суретті қараңыз).  Сондықтан екі көршілес

чоналар  үш ін  жол  айырымы 

— sin(p,

  Соған  сәйкесті 

нүктесінде

скі көршілес зоналардан қозатын тербелістердің фаза айырымы

с 

2п  b  .

S

 = —

•— sm 

(p

 . 

(12.2)

(М үндағы 

^

  -  

~т~

 • A   екенін жоғарыда 3-ш і параграфта келтіргенбіз). 

Я

Сонымен 

Fv

  нүктесінде,  б ір-б ірім ен  салыстырғанда,  (12.2) 

өрнегімен  анықталатын 

S

 

фазаға  ығысқан,  амплитудалары  бірдей 

A

q

I N

  болатын, 

N

  толқындар жүйесі интерференцияланады. Демек, 

біз  бүл  жерде  кө п   сәулелі  интерференция  жағдайына  келіп  тірелдік. 

Сондықтан 

нүктесіндегі 

амплитудасын  анықтау  үш ін  (5.14) 

орнегін  пайдаланамыз.  Бұл өрнектегі 

А0

 —дің орнына  (12.1)  теңдеуін, 

ал 

S

  -ны ң орынына  (

12

.

2

) тендеуін  қоямыз.  Сонда мынаны аламыз

^  

Ä

0

 

sin  [(

7

Г 

Ы  X )

  sin 

ср\ 

v 

N

 

sin  [(л

：

 

b

 /  

N À )

 sin 

cp

] '

Бұл  шама  жуықтап  алынған.  Неғүрлым  зонаның  саны 

N

  кѳ п  

болса,  соғүрлым  оның  шамасы  да  дәл  болады. 

N

 -н ің   саны  ѳте  кѳп 

болған жағдайда,  бөлшектің бѳліміндегі синусты бүрышпен ауыстыра 

аламыз. Сондықтан 

нүктесівдегі 

амплитудасының шамасы мына 

түрде жазылады

^  

^   sin 

[(л

：

/?/Я)

sin 

(p]

6 -2 7

81

(М ұндағы 

(р

  индексі  саңылауға  түрғызылған  нормаль  бағытымен 

(р 

бүрыш  жасайтын  параллель  сәулелердің 

нүктесіндегі  амплитуда­

сы).

Математикадан 

a

  нөлге үмтылғанда біз  Hm  (sin 

а / а )  = 1

 (екенін

а

->0

білеміз мүнда 

a

  өте аз шама болғанда,  sin  a   ~ 

(2

  деп алынады).  Сон­

ды ктан 

(p

 =0 болған жағдайда,  (12.3)  өрнегіндегі бөлшектің мәні бірге 

тең болады.  Осыдан 

А0

  дифракциялық суреттің орта түсындағы амп­

литуда екені  (линзаның центріне қарсы)  шығады.

Ж ары қты ң  интенсивтілігі  амплитуда  квадратына  пропорционал 

екенін ескерсек

_  

sin 

2[(n b  /

 Я ) sin 

cp\

_ 

ѵ

 

° 

[(

7

r è / Я )  sin  p

] 2

，

 

G 2.4)

мұндағы 

I 0 —

 интерференциялық  суреттің  ортасындағы 

(cp = 0

  бол- 

ғандағы) интенсивтілік, 

ал I

屮

 

一

(р

  бүрышының мәнімен анықталатын 

Ғ(р -

  нүктесіндегі интенсивтілік.

(12.4)  өрнегінен 

(р

 -дің  мәні 

(7lb/À)sm  (р  = ± кп

 щартын  қана- 

гаттандырган жағдайда, яғни

Я

わ

sin 

ニ

 ± 2

た

у   (

た

= 1 Д З

，

...）

 

(

12

.

5

)

болғанда,  интенсивтілік  нөлге  айналады.  Олай  болса,  (12.5)  өрнегі 

интенсивтіліктің минимум жағдайын анықтайды (дифракциялық минимум- 

толық  қараңғылық).  Өрнектегі 

bsin ç   Fç

  нүктесіндегі  саңьшаудың 

шеттерінен келетін сәулелердің  △   жол айырымы (

12

.

1

-суретін қараңыз).

(12.5)  шартынан мынадай қортынды  алуға болады.  Егер саңылау-

Я

дьщ  екі  шетінен  келген  сәулелердің жол  айырымы 

八

= ±

2

んフ

  болса,

онда толқы н бетінің аш ық бөлігін саны 

2к

  болатын,  ені бірдей зона- 

ларға  бөлуге  болады.  Әрбір  зонаның  шеттерінен  келетін  сәулелердің 

жол  айырымы  Я /  

2

 -  ге тең болады  (

12

.

2

-суретті қараңыз,  онда 

к = 2 

болған жағдай келтірілген). Көршілес қос зоналардан келетін тербелістер 

өзара  бірін-бірі  өшіреді,  сондықтан  олардың  қо ртқы   амплитудалары 

нөлге  тең.  Егер 

нүктесі  үш ін   шеткі  сәулелердің  жол  айырымы

èsin  cp  = ± ( 2 k  + 1 )

全

(k  =

1 ,2 ,3 ,...)

，

(12.6)

82

(к)лса, онда зоналардың саны тақ болады да, бір зонаның әсері жойыл- 

майды,  соның нәтижесінде,  интенсивтілік максимумға жетеді.  М үны  

дифракциялық  максимум  шарты дейді.  (

12

.

6

)  өрнегі 

k

  дифракциялық 

максимумның орналасу ретін көрсетеді.

і  2 

4

12.2

(12.4) 

функциясының графигі  12.3-суретінде келтірілген. Абцисса 

осіне  sin 

炉

-дің,  ал  ординатаға 

интенсивтіліктің  мәндері  орналас- 

гырылған.  (12.5) шартынан 

sm (р = ±1ÛJ b

  теңдігін аламыз.  Синустың 

модулі бірден аспайды,  сондықтан  ^  <  і   болады.  Осыдан

к

<

Ы

  X -  

( 1 2 . 7 ) .

Саңылаудың ені толқы н  үзындығынан  аз  болған жағдайда м ини­

мумдар байқалмайды.

Орталық максимумның шеттеріне 

bsïn  (р  =

 

土又

  шартынан алына- 

тьш 

(р

  б ұ р ы ш ы н ы ң   м ә н д е р і  с ә й ке с   ке л е д і.  Ол  мәндер 

(р

  =  

土

 arcsin( 

Я/ 

b ) .

 Демек,  орталық максимумның бұрыштық ені мы- 

иадай болады

ôcp  =

 

2

arcsin( Я/Z?). 

(

12

.

8

)

Егер 

Ь

  » Я   болса,  онда  sin(Я/Z?) - н ің   мәнін  Я 

lb

  деп  алуға 

болады.  Ендеше  (12.8) өрнегін былай жазамыз

ô(p  = 2 À /b .

 

(12.9)

Э

2

  экранда  болатын дифракциялық  сурет  ж ары қ  толқы ны ныңЯ  

үзывдығының саңылаудың 

Ь

  енінің қатынасына тәуелді.  Ш ы н мәнінде, 

егер 

Ь = к?і

  болса,  мүндағы 

た

-бүтін сан,  онда осы 

た

-ға тиісті м ини­

мум  үш ін 

(р

  бұрышы 

л / 2

 -тең  болады.  Демек,  қаншалықты  линза 

мен экранный, өлшемдері үлкен болғанмен экранда реттік номері (

た

-

1

) 

ден көп болатын дифракциялық максимумды байқауға болмайды.  Э к- 

рандағы дифракциялық максимумның ені деп,  оған  іргелес  екі дифрак- 

циялық минимумға дейінгі  қаш ы қты қты   айтады.  Мысалы,  0-ш і  мак- 

симумның ені  екі  бірінш і реттегі минимумға дейінгі  қа ш ы қты қ.  Егер

83

b l À,

  аз болса, яғни саңылау өте ж іңіш ке болса, онда байқалатын мак­

симумдар өте енді болып, дифракциялық сурет өңсіз болады. Керісінше, 

егер 

Ь IX

  үлкен болса, яғни саңылау кең болса,  онда орталық макси­

мум ж іңіш ке және  өте  айқы н болады.

Дөңгелек тесіктен  байқалатын дифракция.  Дифракцияның мұндай 

түрлерін көптеген оптикалық қүралдарда кездестіруге болады.  Мұндай 

қүралдарда  тесіктің  рөлін  объектив  оправасы  атқарады.  Егер  тесік 

жазықтығына нормаль бағытга монохроматгық сэулелер түссе, есептеулер 

көрсеткендей, линзаның фокаль жазықтығындағы дифракциялық су­

ретте  орталық  жарық дақ  пайда  болады.  Ол  линзаньщ  бас  фокусына 

орналасқан алмасып отыратын қараңғы жарық сақиналармен қоршала- 

ды.  Ж арық  сақиналарының  интенсивтілігі  орталық  максимумның 

интенсивтілігінен  аз  (мысалы,  /,   = 0 ,018/ 0 )  және  ол  максимумның 

реттік саны  үлкейген  сайын  тез  азаяды.  12.4-  суретіндегі  дифракция- 

лану  бүрышы 

(р{

  өте  кіш кене  болғанда,  ол 

1

-ш і  қараңғы  сақинаға 

сәйкес, сондықтан ол бұрыш мына шарт бойынша анықталады

1 22 

由 叭

=

」石一又，

 

(12.10)

мұндағы 

D

 -тесіктің  диаметрі.  игер  жарық 

тесікке 

a

  бүрышымен  түссе,  дифракциялық 

суреттің қалпы ѳзгермейді, тек оның орталығы 

линзаның бүйірлік фокусына 

((р =сс)

 ығыса- 

ды.  Жалпы  түрде  (12.10)  ѳрнегі  бьшай  жазы­

лады

sin 

(рк  = k(l,2 2 /D )À ,

 

(

12

.

11

)

мұндағы 

(рк

 -мѳлдір емес 

экрандағы радиу­

сы 

гх

  дөңгелек  тесіктің  ортасынан  қараған- 

дағы 

k

  қараңғы сақинаның көріну бүрышы.

§13.  Дифракциялық тор

Қарапайым дифракциялық тор ені бірдей параллель кѳптеген саңы- 

лаулардан түрады.  13.1-суретінде ВС және 

DE

 саңылаулары көрсетілген. 

Әр  саңылаудың ені 

Ь

，ал олардың арасындағы  мѳлдір емес  аралық 

a 

болсын.

12.4

84

Сонда 

а

  мен 

Ь

 -н ің   қосындысы,  яғни 

d -  а + Ь

  дифракциялық 

гордың  периоды деп  аталады.  Торды  монохроматтық сэулелермен жа- 

рықтандырғанда Э  экранда болатын дифракциялық қүбылыс саңылау- 

дан  болатын дифракцияланудан  күрделі,  себебі эр саңылаудан  келген 

соулелер интерференцияланады. Барлық саңылаудан пайда болатын тер- 

белістер  бір  фазада,  себебі  олар  бір  ғана  толқын  бетіне  орналасқан. 

Сондықтан  экранның 

нүктесіндегі  барлық,  тербелістерден  бола­

тын 

қоры тқы   амплитуданы табамыз. 

нүктесі тордан линзаның 

оптикалық өсіне 

(р

  бұрыш жасай ш ы ққан параллель сәулелердің ж и- 

палған  нүктесі.  Осы мақсатта  амплитуданы  қосудың векторлық диаг- 

раммасын пайдаланамыз (5.5-суретті қараңыз)

мұндағы  А ;  — / -  ш і  саңылаудан  пайда  болған  тербеліс  амплитудасы. 

N

  -тордағы  саңылау  саны.  Бір  бағыгга  тордың  барлық  саңылаулары 

бірдей  жарық  шығарады.  Сондыктан  д   векторы  модуль  бойынша

13.1-суреттен 

ß

 нүктесінен 

DN

  бағытына  түсірілген  перпенди- 

кулярдың  негізі 

к

  екені  кө р ін іп  тұр,  Я — жары қ толқы ны ны ң үзын- 

дығы,  ал  ауаның  сыну  кѳрсеткіш і  бірге  тең.  (5.14)  өрнегінен,  мұнда 

Д)  = Др  және  (13.2)  өрнегінен 

8

  үш ін

(13.1)

Ai

  |= 

Aç  •

  М ү н д а ғы  

Аі

  ж әне

А(р0

  фаза  ығысуы, 

нүктесіне

бір-біріне ұқсас, екі көршілес саңы- 

лаулардың  нүктелерінен  келетін

сәулелердің  Д  оптикалық жол айы­

рымымен  анықталады.  ВС  және

DE

 саңьшаулары үш ін 

В

  және 

D

 , 

С

  жэне Е нүктелері ұқсас, сондық- 

тан

векторларының  арасындағы

13.1

Д =  

D K   = d sin (р

 

ж э н е

ж э н е

j   _  

27

г

А

  — 

2nd

 sin 

(p

(13.2)

_   sin  [(

7

zA ^/A )sin 

cp] 

v

 

sin 

[(7id/À)sm  (p]

A

が

- дің мәні бір саңылаудан болатын дифракция үш ін  анықтал- 

ған  [(12.3)  өрнегін  қараңыз].  Сондықтан  экранный;  кез  келген 

нүктесіндегі тербелістердің А  амплитудасы жэне  /   интенсивтілігі үшін 

төмендегі теңдеулер дұрыс болады

.

si n 

[(яЬ/

又

)sin 

(p]

  sin 

[{nNd

/A )s in  

(p\

0

  [ (

油

/ A )sin 

] 

sinl(^

(p]

 

(13.3)

sin 

2[(nb/À)sm  (p]

  sin 

2[(nNd/À)sm  (p] 

°

 

[(

油

/ / l)s in   p

]2

 

sin 

2

[ ( ^ / A ) s in  

(p]

 

(13.3)

мұндағы 

A

q

  және 

I 0

  бұрыш 

(p = 0

 болғанда 

F0

  н ү к т е с ін д е гі 

тербелістердің тиісті амплитудасы мен интенсивтілігі.

Жоғарғыда көп сәулелі интерференция құбылысын қарастырғанда 

пайдаланған  <5  =  ± 2 я т , 

(m = 0

，

1

，

2,3,...)  ө р н е гін е н   ж әне  (13.2) 

тендеуінен бас максимумдар шарты келіп шығады

ゴ

sin 

妒

= ± .т Я

，

 

( т  =.()Д

，

2

，

3，

...) 

(13.4)

мүндағы 

т

 -бас максимумдардың реті деп аталады.

Бас  минимум 

(р

  бұрышының 

\   = 0

 -ге  тең  болатын  мәндеріне 

сәйкес келеді, яғни саңылаудың эр бөлігінен келген сэулелер интерфе­

ренциялану нәтижесінде бірін-бірі ѳшіреді. Бас минимумдар шарты (12.5) 

ѳрнегімен анықталады

bsin 

(p  =

 ±

た又

，(к  =

1,2,3，

...) . 

(13.5)

(13.4) 

ѳрнегіндегі 

т

  саны жары қ интенсивтілігінің бас максимѵм- 

дарының ретін кѳрсетеді деген болатынбыз. Демек,  нѳлінш і ретті мак­

симум біреу де, 

1

-ш і жэне 

2

-ш і т.с.с. ретті максимумдар екеуден бола­

ды.

Бас максимумдардан басқа бесінші параграфта қарастырылган кѳп 

сэулелі интерференция тақырыбында келтірілген қосымша минимум- 

дармен  тілімделген  ѳте  көп  бүйірлік  максимумдар  болады.  Онда  ин- 

терференциялық минимумдар мынадай шарттардан анықталады

N 8 j2  = ±2л\±Ъп\...

86