ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
33
6.  Павилайнен  В.Я.  Расчет  многоволновых  покрытий //Расчет  пространственных     
конструкций. М. 1970, вып.13,  с. 3-67. 
7. Хайдуков Г.К.. Тонкостенные железобетонные пространственные    конструкции. М., Лит-
ра, по строит.,1970, 423 с. 
8. Власов  В.З. Общая теория оболочек. М., Гостехиздат, 1949, 362 с. 
9.  Милейковский  Е.И.,  Трушин  С.И.  Расчет  тонкостенных  конструкций.  М.,  Стройиздат,   
1989, 200 с. 
10. Никиреев В.М., Шадурский В.Л. Практические  методы расчета оболочек. М., Лит-ра. по  
строит., 1966, 272 с. 
11.  Айталиев  Ш.М.,  Достанова  С.Х.  Уравнения      устойчивости  для  гибкой  ребристой 
оболочки              покрытия  с  учетом  изменения  кривизны    поверхности //Известия  НАН  РК,       
Алматы, 2003,  № 3, с.113-116. 
 
 
УДК 539.3:534.1 
 
Махметова Нарзанкул Мусаевна – д.т.н., профессор (Алматы, КазАТК) 
Гирнис Светлана Римонтасовна – старший преподаватель (Павлодар, ПГУ) 
 
ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ БЕГУЩЕЙ В ДВУХСЛОЙНОЙ ОБОЛОЧКЕ 
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ 
СОСТОЯНИЕ ОКРУЖАЮЩЕГО МАССИВА 
 
Задачи  о  действии  подвижной  осесимметричной  нормальной  нагрузки  на 
тонкостенную  и  толстостенную  круговую  цилиндрическую  оболочку  в  упругой  среде 
рассматривались  соответственно  в  статьях /1,2/. В  настоящей  работе  решена  задача  о 
действии  бегущей  периодической  нагрузки  на  двухслойную  оболочку  в  упругом 
пространстве  и  на  основе  этого  решения  исследуется  напряженно-деформированное 
состояние  окружающего  ее  массива  при  различных  дозвуковых  скоростях  движения 
нагрузки.  Данная  задача  является  модельной,  например,  при  исследовании  динамики 
тоннелей  глубокого  заложения,  подкрепленных  двухслойной  цилиндрической 
оболочкой (обделкой) /3/. 
1. Рассмотрим  цилиндрическую  полость  радиусом 
1
R
  в  бесконечной,  линейно-
упругой, однородной и изотропной среде. Полость подкреплена двухслойной оболочкой, 
внутренним  слоем  которой  является  тонкостенная  оболочка  толщиной 
0
h   и  радиусом 
срединной  поверхности 
2
R
,  а  внешним – толстостенная  оболочка.  В  силу  малости 
толщины внутреннего слоя можно принять, что он контактирует с внешним слоем вдоль 
своей  срединной  поверхности.  Контакт  между  слоями  оболочки  и  окружающей  её 
упругой  средой  (массивом)  будем  полагать  жестким.  По  внутренней  поверхности 
оболочки  в  направлении  ее  оси  z   с  постоянной  скоростью 
c
  (меньшей,  чем  скорости 
распространения  волн  сдвига  во  внешнем  слое  оболочки  и  окружающей  ее  среде) 
движется нагрузка  P . 
Так  как  рассматривается  установившийся  процесс,  то  картина  деформаций 
стационарна  по  отношению  к  движущейся  нагрузке.  Поэтому  удобно  перейти  к 
подвижной  цилиндрической  системе  координат 
)
,
,
(
ct
z
r
−
=
η
θ
.  Тогда,  в  случае 
синусоидальной с произвольной зависимостью от угловой координаты нагрузки, имеем  
 
( ) ( )
( )
,
,
,
∑
∞
−∞
=
θ
ξη
=
θ
θ
=
η
θ
n
in
n
i
e
P
p
e
p
P
 
 
(1) 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
34
( )
( )
( )
,
,
,
,
,
,
η
θ
=
=
θ
θ
=
η
θ
∑
∞
−∞
=
θ
ξη
r
j
e
P
p
e
p
P
n
in
nj
j
i
j
j
 
 
где  константа 
ξ  определяет  период  T = 2π/ξ  действующей  нагрузки, 
( )
η
θ,
j
P
 – 
составляющие интенсивности нагрузки 
( )
η
θ,
P
. 
Для описания движения внутреннего слоя оболочки воспользуемся классическими 
уравнениями теории тонких оболочек  
(
)
(
)
η
η
θ
η
η
−
μ
ν
−
=
η
∂
∂
ν
+
θ
∂
η
∂
∂
ν
+
+
θ
∂
∂
ν
−
+
η
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
μ
ρ
ν
−
−
q
P
h
u
R
u
R
u
R
u
c
r
0
0
0
0
2
0
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
, 
    
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
η
−
μ
ν
−
=
θ
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
η
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
μ
ρ
−
ν
−
+
θ
∂
η
∂
∂
ν
+
q
P
h
u
R
u
R
u
c
u
R
r
0
0
0
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
0
0
0
2
2
0
2
1
1
1
1
2
1
2
1
,        (2) 
(
)
(
)
r
r
r
r
r
q
P
h
R
u
u
c
u
h
u
R
u
R
−
μ
ν
−
−
=
+
η
∂
∂
μ
ρ
ν
−
+
∇
∇
+
θ
∂
∂
+
η
∂
∂
ν
θ
η
0
0
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
0
2
0
2
1
2
1
12
1
, 
 
где   
η
0
u , 
θ
0
u , 
r
u
0
 – перемещения  точек  срединной  поверхности  внутреннего  слоя  в 
направлении  осей  цилиндрической  системы  координат  η, 
θ
,  r ; 
η
P , 
θ
P , 
r
P
 – 
составляющие 
интенсивности 
подвижной 
нагрузки 
P
; 
2
2
2
2
2
2
,
,
R
r
rr
r
R
r
r
R
r
r
q
q
q
=
=
θ
θ
=
η
η
σ
=
σ
=
σ
=
 – составляющие реакции внешнего слоя; 
2
rj
σ  – 
компоненты тензора напряжений во внешнем слое (
r
j
,
,
θ
η
=
); 
0
0
0
,
,
ρ
μ
ν
 
– соответственно 
коэффициент  Пуассона,  модуль  сдвига  и  плотность  материала  внутреннего  слоя; 
2
∇  – 
оператор Лапласа. 
В  установившемся  состоянии  зависимость  всех  величин  от 
η  имеет  вид (1), 
поэтому 
( )
( )
( )
∑
∞
−∞
=
θ
η
η
θ
=
=
θ
θ
=
η
θ
n
in
nj
j
i
ξ
j
j
r
j
e
u
U
e
U
u
,
,
,
,
,
0
0
0
0
. (3) 
 
Подставляя (1) и (3) в (2), для n-го члена разложения получим 
 
(
)
,
2
0
0
0
0
0
0
02
0
2
1
η
η
θ
η
−
=
ξ
ν
−
ξ
ν
+
ε
n
n
nr
n
n
q
P
G
u
i
u
n
u
 
(
)
,
2
0
0
0
2
2
0
0
02
θ
θ
θ
η
−
=
−
ε
+
ξ
ν
n
n
nr
n
n
q
P
G
inu
u
u
n
 (4) 
(
)
nr
nr
nr
n
n
q
P
G
u
inu
u
i
−
=
ε
+
+
ξ
ν
θ
η
0
0
2
3
0
0
0
0
2
2
, 
 
где 
(
)
,
,
2
,
2
,
2
2
0
2
0
01
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
01
2
0
2
01
2
0
2
0
s
M
n
n
n
ξ
ν
=
ε
+
+
ξ
χ
=
γ
+
ξ
ν
=
β
ν
+
ξ
=
α
 
0
0
2
2
01
0
2
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
02
0
01
,
6
,
,
/
,
1
,
1
h
R
G
R
h
c
c
c
M
s
s
s
μ
ν
−
=
=
χ
ρ
μ
=
=
ν
+
=
ν
ν
−
=
ν
; 
r
j
q
n
rj
nj
,
,
,
)
(
2
θ
η
=
σ
=
 при r = R2. 
Разрешая (4) относительно u0n
η, u0nθ, u0nr, находим 
 
(
)
∑
=
η
η
−
δ
δ
=
3
1
0
0
,
j
j
n
j
n
j
n
n
q
P
G
u
 
(
)
∑
=
θ
θ
−
δ
δ
=
3
1
0
0
,
j
nj
nj
j
n
n
q
P
G
u
 (5) 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
35
(
)
∑
=
−
δ
δ
=
3
1
0
0
j
nj
nj
rj
n
nr
q
P
G
u
. 
 
Здесь  
(
) ( ) (
) (
)
,
2
3
2
1
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
3
2
1
ξ
ξ
ξ
+
ξ
ε
−
ξ
ε
−
ξ
ε
−
ε
ε
ε
=
δ
=
δ
n
n
 
(
)
(
)
,
,
,
3
1
2
2
2
3
2
3
3
2
1
2
2
1
2
3
2
1
ξ
ξ
−
ξ
ε
=
δ
ε
ξ
−
ξ
ξ
=
δ
ξ
−
ε
ε
=
δ
η
η
η
i
 
( )
(
)
,
,
,
3
2
1
2
1
3
2
2
2
3
1
2
2
1
ξ
ξ
−
ξ
ε
=
δ
ξ
−
ε
ε
=
δ
δ
=
δ
θ
θ
η
θ
i
 
( )
,
,
,
2
3
2
2
1
3
3
2
3
1
ξ
−
ε
ε
=
δ
δ
−
=
δ
δ
−
=
δ
θ
η
r
r
r
 
n
n
0
02
3
0
0
2
1
,
2
,
2
ξ
ν
=
ξ
ξ
ν
=
ξ
=
ξ
, 
для 
Pnj и qnj индекс j = 1 соответствует индексу 
η,  j = 2 –  θ,  j = 3 – r.  
Для описания движения внешнего слоя оболочки и окружающей среды используем 
динамические уравнения теории упругости 
2
,
1
,
1
div
grad
1
1
2
2
2
2
2
2
=
η
∂
∂
=
∇
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
k
M
M
M
k
k
sk
k
sk
pk
u
u
u
. (6) 
 
Здесь и в дальнейшем индекс k=1 относится к среде, а k=2 – к внешнему слою оболочки; 
sk
sk
pk
pk
c
c
M
c
c
M
/
,
/
=
=
 – числа  Маха; 
(
)
k
k
k
pk
c
ρ
μ
+
λ
=
2
, 
k
k
sk
c
ρ
μ
=
 – скорости 
распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде и внешнем слое оболочки; 
)
2
1
/(
2
k
k
k
k
ν
−
ν
μ
=
λ
, 
k
μ  – модули сдвига, 
k
ν  – коэффициенты Пуассона, 
k
ρ  – плотности, 
k
u  – векторы смещений точек пространства и внешнего слоя. 
Выражая векторы смещений через потенциалы Ламе 
 
(
)
(
)
2
,
1
,
rot
rot
rot
grad
3
2
1
=
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
=
η
η
k
k
k
k
k
e
e
u
,  
(7) 
преобразуем уравнения (6) к виду 
2
,
1
,
3
,
2
,
1
,
2
2
2
2
=
=
η
∂
ϕ
∂
=
ϕ
∇
k
j
M
jk
jk
jk
, (8) 
где 
sk
k
k
pk
k
M
M
M
M
M
=
=
=
3
2
1
,
. 
Выразим  компоненты  напряжённо-деформированного  состояния  (НДС) 
оболочки и массива через потенциалы 
ϕjk. 
Компоненты вектора uk (7): 
r
r
r
u
k
k
k
rk
∂
η
∂
ϕ
∂
+
θ
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
=
3
2
2
1
1
, 
θ
∂
η
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
−
θ
∂
ϕ
∂
=
θ
k
k
k
k
r
r
r
u
3
2
2
1
1
1
, (9) 
2
3
2
2
1
η
∂
ϕ
∂
+
η
∂
ϕ
∂
=
η
k
sk
k
k
m
u
, 
где 
2
2
1
sk
sk
M
m
−
=
. 
Используя  закон  Гука  и  соотношения (9), получаем  выражения  для  компонент 
тензора напряжений 
3
3
3
2
2
1
2
2
2
)
2
(
η
∂
ϕ
∂
μ
+
η
∂
ϕ
∂
λ
+
μ
=
σ
ηη
k
sk
k
k
pk
k
k
k
m
M
, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
η
∂
∂
ϕ
∂
+
η
∂
θ
∂
ϕ
∂
+
θ
∂
∂
ϕ
∂
−
θ
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
+
θ
∂
ϕ
∂
μ
+
η
∂
ϕ
∂
λ
=
σ
θθ
r
r
r
r
r
r
r
M
k
k
k
k
k
k
k
k
pk
k
k
3
2
2
3
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
, 

ҚККА Хабаршысы № 4 (53), 2008 
 
 
36
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
η
∂
∂
ϕ
∂
+
θ
∂
ϕ
∂
−
∂
θ
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
μ
+
η
∂
ϕ
∂
λ
=
σ
2
3
3
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
r
r
r
r
r
M
k
k
k
k
k
k
pk
k
rrk
, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
η
∂
ϕ
∂
+
+
η
∂
θ
∂
ϕ
∂
+
∂
η
∂
ϕ
∂
μ
=
σ
η
r
m
r
r
k
sk
k
k
k
k
r
2
3
3
2
2
2
1
2
)
1
(
1
2
,                            (10) 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
η
∂
θ
∂
ϕ
∂
+
+
η
∂
∂
ϕ
∂
−
η
∂
θ
∂
ϕ
∂
μ
=
σ
ηθ
2
3
3
2
2
2
1
2
)
1
(
2
k
sk
k
k
k
k
r
m
r
r
,  
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
η
∂
ϕ
∂
−
θ
∂
η
∂
∂
ϕ
∂
+
η
∂
ϕ
∂
−
∂
ϕ
∂
−
θ
∂
ϕ
∂
−
∂
θ
∂
ϕ
∂
μ
=
σ
θ
k
k
k
sk
k
k
k
k
k
r
r
r
r
m
r
r
r
r
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
. 
 
Потенциалы 
ϕjk также будем искать в виде периодических функций по η 
 
(
)
( )
ξη
θ
Φ
=
η
θ
ϕ
i
jk
jk
e
r
r
,
,
,
.                                          (11) 
Подставляя (11) в (8), получим  
,
2
,
1
,
3
,
2
,
1
,
0
2
2
2
2
=
=
=
Φ
ξ
−
Φ
∇
k
j
m
jk
jk
jk
 (12) 
 
где 
2
2
∇  – двумерный оператор Лапласа, 
sk
k
k
pk
k
jk
jk
m
m
m
m
m
M
m
≡
=
≡
−
=
3
2
1
2
2
,
,
1
. 
В  дозвуковом  случае  Msk < 1  (m2k = m3k = msk > 0,  k = 1, 2),  и  мы  приходим  к 
известным решениям уравнений (12): 
- для массива 
( )
∑
∞
−∞
=
θ
=
Φ
n
in
j
n
nj
j
e
r
k
K
a
1
1
,                                                  (13,а) 
- для оболочки 
(
)
∑
∞
−∞
=
θ
+
+
+
=
Φ
n
in
j
n
nj
j
n
nj
j
e
r
k
I
a
r
k
K
a
)
(
)
(
2
6
2
3
2
,                               (13,б) 
 
Здесь 
)
(
),
(
kr
K
kr
I
n
n
 – функции  Бесселя  первого  и  второго  рода  от  мнимого  аргумента, 
ξ
=
1
1
j
j
m
k
, 
ξ
=
2
2
j
j
m
k
, 
j = 1,2,3; 
9
1
,...,
n
n
a
a
 – неизвестные  коэффициенты,  подлежащие 
определению. 
Подставляя (1.13,а)  с  учётом (11) в (9), (10), получаем  формулы  для  вычислений 
компонент напряженно-деформированного состояния массива  
 
(
)
,
)
(
3
1
)
(
1
1
1
∑ ∑
∞
−∞
=
=
θ
+
ξη
=
n
j
nj
n
i
j
n
lj
l
a
e
r
k
K
T
u
 
 
(14) 
(
)
∑ ∑
∞
−∞
=
=
θ
+
ξη
=
μ
σ
n
j
nj
n
i
j
n
lmj
lm
a
e
r
k
K
S
3
1
)
(
1
1
1
1
)
(
, 
где 
η
θ
=
η
θ
=
,
,
,
,
,
r
m
r
l
; 
( )
( )
( )
r
k
K
k
T
r
k
K
r
n
T
r
k
K
k
T
n
r
n
r
n
r
31
31
31
21
21
11
11
11
,
,
′
ξ
−
=
−
=
′
=
, 
( )
( )
( )
i
r
k
K
r
n
T
i
r
k
K
k
T
i
r
k
K
r
n
T
n
n
n
31
31
21
21
21
11
11
,
,
ξ
−
=
′
−
=
=
θ
θ
θ
, 
( )
( )
i
r
k
K
k
T
T
i
r
k
K
T
n
n
31
2
31
31
21
11
11
,
0
,
−
=
=
ξ
=
η
η
η
, 

жүктеу/скачать 5,31 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: