Plasma gasification of coal Kuusakoski

 

●

 Технические науки 

 

112                                                                                            

№2 2016 Вестник КазНИТУ

 

 

1.Постановка задача и методы решения. 

Рассматривается бесконечная по длине деформируемая (упругая или вязкоупругая) цилиндри-

ческая оболочка радиуса R с постоянными толщиной 

0

h

 , плотностью 

0



, модулем Юнга Е, 

x

z



 ,

 - 

коэффициенты демпфирования в осевом и радиальном направлениях; коэффициентом Пуассона 

0



, 

заполненная  в  вязкую  жидкость  с  плотностью  в  равновесном  состоянии.    Подлежат  исследованию 

совместные  колебания оболочки и жидкости, гармонические по  осевой координате z и экспоненци-

ально затухающие по времени, либо гармонические по времени и затухающие по z. Амплитуды коле-

баний считаются малыми, что позволяет записать основные соотношения в рамках линейной теории. 

Полную  систему  линеаризованных  уравнений  движения  вязкой  баротропной  можно  представить  в 

виде [12]  

                                                        

0

3

1

;

0













































div

grad

P

grad

t

q

u

L

 

.

,

,

)

(

,

,

,

.

,

;

0

1

0

2

0

0























r

r

r

rz

z

r

r

z

z

p

q

p

q

p

q

а

u

u

u

const

a

a

P

div

t

















































 

                      (1а) 

                    

.

1

;

2

;































































































r

r

r

p

r

r

z

r

p

p

z

r

p

z

r

r

r

z

r

rr

r

z

rz



































                               (1) 

  

Здесь L- матрица дифференциальных операторов теории типа Крихгофа – Лява (или  С.П. Ти-

мошенко) [12];  





z

r

u

u

u

u

u

,

,









-вектор перемещений точек срединой поверхности  оболочки,  причем 

для оболочек Кирхгора - Лява он имеет размерность равную трем 





w

u

v

u

u

u

z

r







;

;



, а для 

оболочек  типа  Тимошенко  размерность  вектора 

u



  равно  пяти.  Здесь  кроме  осевого,  окружного  и 

нормального перемещений добавляются  еще  углы поворота нормали к срединой поверхности в осе-

вом и окружном направлениях;  



q



вектор усилия  внешней  нагрузки, приведенный к срединной по-

верхности оболочки. В уравнениях (1) 





= 

)

,

,

(

z

r













-вектор скорости частиц  жидкости ; 



 и р- 

возмущения  плотности  и  давления в  жидкости; 



0



  и а

0

  –плотность  и  скорость  звука    в  жидкости    в 

состоянии  покоя;   









,

  -  кинематический  и  динамический  коэффициенты  вязкости;    для  второго  

коэффициента  вязкости 





  принято  соотношение   





=







3

2

;   



r

rr

rz

р

р

р

,

,

-cоставляющие    тензора  

напряжений  в  жидкости.    Уравнений  (1а)    соответственно  кинематические  и  динамические  гранич-

ные условия , которые, в силу тонкостенности оболочки, будем удовлетворять на срединной поверх-

ности  (r=R).  Соотношения  (1)  представляет  замкнутую  систему  соотношений    гидровязкоупругости 

для цилиндрической оболочки , содержащей вязкую сжимаемую жидкость. Так для оболочек, подчи-

няющихся гипотезе Кирхгофа-Лява, L- матрица дифференциальных операторов  может записать:  

 

                                  





;

2

1

2

1

2

1

2

2

0

0

0

0

0

2

2

0

0

2

2

11

t

G

v

t

h

G

v

R

v

z

L

z





































 

 

●

 Техникалық ғылымдар 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016                                          

113 

 





4

4

2

0

2

2

4

2

0

4

4

2

2

2

0

32

23

0

0

0

0

0

0

2

0

2

2

2

0

33

2

2

0

0

0

2

2

2

0

2

2

0

22

2

2

0

0

13

13

2

0

0

21

1

1

2

;

1

;

2

1

2

1

1

12

;

2

1

1

2

1

;

;

2

1





















































































































a

z

a

x

R

L

L

t

G

v

t

h

G

v

R

h

L

t

G

v

R

t

v

L

t

R

v

L

L

z

R

v

L

L

x

R

                     (2) 

 

Компоненты вектора нагрузок для оболочек Кирхгора-Лява имеют вид  

 

































z

z

r

r

q

p

q

p

q

p

h

G

v

q

q

q

q

q

q









;

;

2

1

,

,

0

0

0

3

2

1





,                        (3) 

 

где знак мине отвечает внутренней оболочке, а знак плюс-наружной 

r

z

q

q

q

,

,



 - компоненты реакции 

со  стороны  жидкости  (заполнителя); 

r

z

p

p

p

,

,



  -интенсивность  заданной  нагрузки  в  соответствую-

щем  направлении.      В  осесимметричном  случае  на  оси  г=0  должны  выполняться  условия 

0





rz

r

р

р



, 

r



=0.        Если  внешняя  поверхность  г=R  предполагается  неподвижной,  тогда  

u

r

=u

z

=u

φ

=0. Раскрывая уравнения (1) в координатной фоpме из соотношения (1)-(3) получим две неза-

висимые  краевые  задачи,  крутильные  и  продольно-поперечные    колебания.  Мы  расмотрим  только 

первые из них 

-крутильные колебания: 

 

                                  

.

0

:

0

.

)

1

(

2

,

0

)

(

:

,

,

,

2

0

0

2

2

0











































































































r

r

z

r

z

r

r

p

r

v

E

G

u

h

z

u

Gh

R

r

r

p

r

r

p

z

p

r

p

r

p









                        (5) 

 

Пусть волновой процесс периодичен по z и затухает по времени, тогда задаётся действительное 

волновое число  k, а комплексная частота является  искомым собственным значением. Решения крае-

вых задач (1)-(3) для основных неизвестных, удовлетворяющие наложенным выше ограничениям на 

зависимость по времени и координате z, следует искать в виде[14]   

 

)]

(

exp[

)

,

,

,

,

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

t

kz

i

v

u

w

u

р

р

р

Т

z

r

z

r

Т

r

rz

rr































                         (7) 

 

  где  вектор  в  правой  части  есть  искомая  комплекснозначная  функция  аргумента  r,  k, 



  суть 

известного действительного и спектрального комплексного параметра от типа задачи.   Суперпозиция 

решений  (7)  образует  экспоненциально  затухающую  по  времени  стоячую  волну,  которая  описывает 

собственные колебания жидкости и цилиндрической оболочки конечной длины с краевыми условия-

ми. При бесконечной длине оболочки по аналогии указанный тип движения (7) будем называть соб-

ственными  или  свободными  колебаниями.    В  случае  стационарного  по  времени  и  затухающего  по 

координате  процесса,  наоборот,  известной    является  действительная  частота 



,  а  искомым  –

 

●

 Технические науки 

 

114                                                                                            

№2 2016 Вестник КазНИТУ

 

 

комплексное    волновое    число  k.  В  отличии  от  собственных  ,  эти  колебания  условимся  называть 

установившимися. Действительные части величин 



  в первом случае,  и k , во втором имеют фи-

зический смысл частот процесса по времени и координате соответственно.   Мнимые части - скорость 

затухания волновых процессов по времени и Z соответственно [13] . Величину 1/Imk иногда опреде-

ляют как интервал распространения затухающей волны. В предельном упругом случае интервал рас-

пространения  бесконечен.  Степень  затухания волнового  процесса  на  временном  периоде  характери-

зуется логарифмическим декрементом  









Re

/

Im

2



c

 

 

аналогично пространственный декремент равен 

 

k

k

y

Re

/

Im

2



 

. 

 

Можно  ввести  также  понятия  фазовых  скоростей  распространения  собственных  и  установив-

шихся движений 

                                                

k

c

R

c

y

c

Re

,

Re









                                                           (8) 

 

Величины С

с

 и С

у

 имеют физический смысл скоростей движения нулевого состояния при соб-

ственных и установившихся колебаниях соответственно и, в отличие  от  упругого (действительного) 

случая, не совпадают между собой на одинаковых частотах.   Двум типам колебаний (собственным и 

установившимся) можно поставить две различные постановки задачи. А в нестационарном случае, а 

именно задачу Коши  для бесконечной оболочки и   краевая задача для полу бесконечного интервала 

изменения Z. В том и другом случае решения находится с помощью интегральных преобразований из 

решений соответствующих  стационарных задач. Так, в случае задачи Коши , вектор основных неиз-

вестных 

c

Y

 может быть в виде суперпозиции волн 

                                     

 













n

n

c

n

c

dk

t

k

kz

t

k

r

Y

t

z

r

Y

)]

)

(

(

exp[

)

,

(

)

,

,

(



  ,                                  (9) 

где  векторы 

c

n

Y

  суть  собственные  формы  задачи  о  собственных  колебаниях,  нормированные 

так,  чтобы  пространственный  спектр  Фурье  начального  возмущения 

)

0

,

,

(

)

,

(

z

r

Y

z

r

f

c



  образовы-

вал их линейную комбинацию 

                                   















n

c

n

ikz

k

r

Y

k

r

f

dk

e

k

r

F

z

r

f

)

,

(

)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

 .                             (10) 

Аналогичным образом, вектор основных неизвестных 

y

Y

краевой задачи вычисляется согласно 

выражению 

                                    

 







n

y

k

y

d

t

z

ik

r

Y

t

z

r

Y













]

)

(

exp[

)

,

(

)

,

,

(

                                (11) 

где 

y

k

Y

- формы установившихся колебаний, линейная комбинация которых должна образовы-

вать спектр Фурье заданного краевого возмущения 



 





















n

y

n

t

i

y

r

Y

r

q

d

e

r

q

t

r

q

t

r

Y

t

r

q

)

,

(

)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

),

,

0

,

(

)

,

(











       

Очевидно,  что  решения  (8),  (9)  имеют  смысл  лишь  тогда  когда  существуют  (10)  и  (11).  Итак 

имеются  четыре  варианта  возможных  стационарных  движений,  которые  рассмотрены  ниже:  соб-

ственные и установившиеся колебания систем оболочка - жидкость внутри и оболочка-жидкость сна-

ружи[15]  . 

жүктеу/скачать 51,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: