Егер
f (z)
функциясының оқшауланған ерекше
a
нүктесінің маңайындағы Лоран қатарында
n
n
f (z)
A (z
)
a
1)
z a
-ның теріс дәрежелері болмаса, онда
a
нүктесі қалпына келтірілетін ерекше нүкте
деп аталады;
2)
z a
-ның теріс дәрежелері бар мүшелерінің саны ақырлы болса, онда
a
нүктесі
f (z)
функциясының полюсі деп аталады ;
3)
z a
-ның теріс дәрежелері бар мүшелерінің саны шшексіз болса, онда
a
нүктесі
f (z)
функциясының маңызды ерекше нүктесі деп аталады.
f (z)
функциясының оқшауланған ерекше
a
нүктесі жоғарыда айтылған нүктелер болу үшін,
a
z
,
f (z)
функциясының шегі сәйкес ақырлы -1-ші жағдай үшін, ақырсыз -2-ші жағдай үшін,
немесе шегі болмауы (ақырлы да ақырсыз да) қажетті және жеткілікті.
Егер
a
–
f (z)
функциясының қалпына келтірілетін ерекше нүктесі болса, онда
f (z)
функциясын осы нүктеде үзіліссіздік бойынша толықтырып анықтағаннан кейін
z
f ( )
lim f (z)
a
a
,
функция
a
нүктесінде аналитикалық болады.
Егер
a
–
f (z)
-тің полюсі болса, онда
a
нүктесінің маңайында
n
m
1
n
m
n 0
A
A
f (z)
...
A (z
)
(z
)
z
a
a
a
,
мұндағы
m
A
0
.
m
саны а полюсінің реті д.а.. 1-ші ретті полюс жәй полюс д.а.
a
нүктесі
f (z)
функциясының
m
-ші ретті полюсі болуы үшін, осы нүктенің маңайында
келесі теңдіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:
m
(z)
f (z)
(z
)
a
,
мұндағы
(z)
-
a
нүктесінде аналитикалық,
0
)
(
z
функция.
Егер
f (z)
z
r
ақырсыз алыстатылған нүкте маңайында аналитикалық болса, онда
a
нүктесі
f (z)
функциясының оқшауланған ерекше нүктесі . Бұл жерде
a
нүктесі
f (z)
функциясының қалпына келтірілетін, полюс немесе маңызды ерекше нүктесі бола алады, егер
f (z)
функциясының
a
нүктесінің маңайында төмендегі Лоран қатарында
n
n
f (z)
A z
30
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
сәйкесінше,
z
-тің оң дәрежелері болмаса, оң дәрежелерінің саны ақырлы болса немесе саны шексіз көп
болса.
1
z
ауыстырымы функцияны
a
нүктесінің маңайында зерттеуді
0
a
нүктесінің
маңайында зерттеуге әкеледі.
Мысалы 19.
sin z
f (z)
z
функциясы үшін
0
z
0
нүктесін сипаттау керек.
Шешуі.
0
z
0
нүктесі
sin z
z
функциясының ерекше нүктесі, осы функцияны Лоран қатарына
0
z
облысында жіктейік:
3
5
z
z
sin z
z
... ,
0
z
;
3 !
5 !
2
4
sin z
z
z
1
... ,
0
z
.
z
3 !
5 !
Қатарда
z
-тің теріс дәрежелі мүшелері болмағандықтан,
0
z a
–қалпына келтірілетін ерекше
нүкте.
Мысалы 20.
z
1 z
f (z)
e
функциясының ерекше нүктелерін тауып, сипаттау керек.
Шешуі.
0
z
1
нүктесі ерекше. Оны сипаттау үшін
z
1 z
e
функциясын Лоран қатарына
0
z
1
облысында жіктейік .
2
3
z
z
z
e
1 z
... ,
0
z
2 !
3 !
;
1
z 1
2
3
1
1
1
e
1
... ,
0
z 1
z 1
2 ! (z 1)
3 ! (z 1)
;
z
z 1 1
1
1 z
1 z
z 1
1
e
e
e
e
1
1
1
1
2
3
e
e
e
e
... ,
0
z 1
1
z 1
2 ! (z 1)
3 ! (z 1)
.
0
z
1
– маңызды ерекше нүкте.
z
еркше нүктесін сипаттау үшін
1
z
деп аламыз,
1
1
1
1 1
1
f
e
e
, мұндағы
0
бұл функция үшін дұрыс нүкте.
Енді
1
1
1
f
e
функциясын
1
облысында Тейлор қатарына жіктесек:
1
1
1
1
2
0
1
(0)
e ,
(0)
e
e ;
1
31
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1
1
1
1
1
4
3
0
1
2
(0)
e
e
e ; ... .
1
1
Осыдан
1
1
2
1
e
e
e
... ,
1 !
2 !
яғни
z
1 z
1
1
1
2
e
e
f (z)
e
e
...,
z
1.
z
2 ! z
Сондықтан,
z
нүктесі қалпына келтірілетін ерекше нүкте.
Егер
a
нүктесі
f (z)
функциясының қалпына келтірілетін ерекше нүктесі болса, онда бұл
функция үшін
0
z
f
lim f (z)
A
.
Егер
f (z)
функциясы ақырсыз алыстатылған нүктеде аналитикалық болса және осы нүктеде
f
0
, онда
z
нүктесі
f (z)
функциясының
m
-ші ретті нөлі д.а., егер
0
1
(m 1)
m
A
A
...
A
0,
A
0
.
Мысалы 21.
2
3
2
1
f (z)
z z
4
ерекше нүктелерін тауып, сипаттау керек және функцияны
шексіздікте зерттеу керек.
Шешуі.
2
2
2
3
3
2
1
1
z z
2i
z
2i
z z
4
.
z
0
– 3-ші ретті полюс;
z
2i
– 2-ші ретті полюстер;
z
– 7-ші ретті нөл.
10 есеп
Функцияны Лоран қатарына берілген сақинада жікте:
1.
1
,
2
z
3;
(z
2) (z
3)
2.
1
,
3
z
;
(z
2) (z
3)
3.
2
1
,
0
z
1;
z
z
4.
2
1
, 1
z
;
z
z
5.
1
,
2
z
;
(z
2) (1 z)
6.
2
2z
3
, 1
z
2;
z
3z
2
7.
2
3
z
z
3
, 1
z
2;
z
3z
2
8.
2
3
z
z
3
,
z
1;
z
3z
2
9.
2
3
z
z
3
,
2
z
;
z
3z
2
10.
2
2
, 1
z
2
3;
z
1
11.
2
z
, 1
z
2;
z
3z
2
12.
1
z
z
e
,
0
z
;
13.
2
z 1
, 1
z
2;
z
z
2
14.
2
z 1
,
z
2;
z
z
2
32
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
15.
2
z
, 1
z
3;
(z
1) (z
3)
16.
3
2
z
, 1
z
2;
z
2z
z
2
17.
3
1
z cos ,
0
z
;
z
18.
1
z
5
z e ,
0
z
;
19.
3
1
,
0
z
1;
z
z
20.
1
z
3
2
z
e
,
0
z
;
z
1
21.
2
1
, 1
z
2
4;
z
2z 8
22.
2
z
2
,
2
z 1
;
z
4z
3
23.
5
2
2
z
,
2
z
;
z
4
24.
2
2
z
, 1
z
2;
(z
4) (z
1)
25.
4
1 cos z
,
0
z
;
z
26.
4
1
z cos ,
0
z
;
z
27.
z
2
1
,
0
z
;
z (z 1) (2z 1)
2
28.
1
,
2
z
3;
(z
2) (z
3)
29.
2
1
,
0
z 1
3;
(z 1) (z
2)
30.
1
, 1
z
3.
(z 1) (z
3)
Қалындылар мен олардың қолданыстары
f (z)
функциясының
a
ақырлы ерекше нүктесіне қатысты қалындысы
Res f (z)
a
деп
белгіленетін және
C
1
Res f (z)
f (z) d z
2 i
a
теңдігімен анықталатын, мұндағы
C
–центрі
a
, ішкі
облысында
a
– жалғыз ерекше нүкте болатын кез-келген шеңбер;
1
Res f (z)
A
a
. Мұнда
1
A
–
f (z)
функциясының
a
нүктесінің маңайындағы Лоран қатарының
1
z a
жанындағы коэффициенті.
Егер
a
–
f (z)
үшін қ.к.е.н. болса , онда
Res f (z)
0
a
.
Егер
a
– полюс болса, онда
z
Res f (z)
lim f (z)(z
)
a
a
a
.
Егер
1
2
f (z)
f (z)
f (z)
, мұндағы
1
f (z)
және
2
f (z)
функциялары
a
нүктесінде аналитикалық,
0
)
(
1
a
f
,
2
2
f ( )
0,
f ( )
0
a
a
(яғни
a
–
f (z)
үшін
жәй
полюс),
онда
1
1
2
2
f (z)
f ( )
Res f (z)
Res
f (z)
f ( )
a
a
a
a
.
Егер
a
–
f (z)
үшін
m
-ші ретті полюс болса, онда
m 1
m
m 1
z
1
d
Res f (z)
lim
f (z)(z
)
(m 1) !
d z
a
a
a
.
33
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
Мысалы 22.
3
2
z
1
f (z)
(z
2) (z
3)
функциясының
1
2
z
2, z
3
нүктелеріне қатысты
қалындыларын анықтау керек.
Шешуі.
2
2
3
2
2
z
2
2
z
1 z
2
z
1
Res
lim
(z
2) (z 3)
z
2
z 3
2
3
2
z
2
3z
z
3
z
1
53
lim
25
z
3
.
3
3
3
2
2
2
z
3
z
3
3
z
3 z
1
z
1
z
1
28
Res
lim
lim
(z
2) (z
3)
25
z
2
z
3
z
2
немесе
3
3
2
2
3
z 3
z
1
z
1
Res
(z
2) (z 3)
z
2
z 3
3
2
z 3
z
1
28
25
2 z
2 z 3
z
2
.
Мысалы 23.
z
1 z
f (z)
e
үшін
0
z
1
еркше нүктеге қатысты қалындыны тап.
Шешуі.
0
z
1
– маңызды еркше нүкте (20 мысал).
z
1 z
f (z)
e
функциясының
0
z 1
сақинасындағы Лоран қатары
z
1 z
1
1
1
1
2
3
e
e
e
e
e
...
1
z 1
2 ! z 1
3 ! z 1
;
z
1 z
1
1
1
1
Res e
A
e
e
.
Қалындылар туралы негізгі теорема. Егер
f (z)
функциясы жәй тұйық
C
контуры мен оның
ішінде аналитикалық болса, осы контурдың ішіндегі
1
2
n
,
, ...,
a
a
a
ерекше нүктелерді
есептемегенде, онда
k
n
k 1
f (z) d z
2 i
Res f (z)
a
.
Достарыңызбен бөлісу: |