Қр білім және ғылым министрлігі


Егер  f (z) функциясының оқшауланған ерекше



Pdf көрінісі
бет6/7
Дата31.03.2017
өлшемі0,63 Mb.
#10769
1   2   3   4   5   6   7

Егер 

f (z)


функциясының оқшауланған ерекше 

a

 нүктесінің маңайындағы Лоран қатарында 

n

n



f (z)

A (z


)







a

 

 



1) 

z  a

 -ның теріс  дәрежелері болмаса, онда 

a

 нүктесі қалпына келтірілетін ерекше нүкте 

деп аталады; 

2)   


z  a

-ның  теріс  дәрежелері  бар  мүшелерінің  саны  ақырлы  болса,  онда 



a

    нүктесі 

f (z)

 

функциясының полюсі деп аталады ; 



3) 

z  a

-ның  теріс  дәрежелері  бар  мүшелерінің  саны  шшексіз  болса,  онда 

a

    нүктесі 

f (z)

 

функциясының маңызды ерекше нүктесі деп аталады. 



f (z)

функциясының  оқшауланған  ерекше   



a

    нүктесі  жоғарыда  айтылған  нүктелер  болу  үшін, 



a

    , 


f (z)

  функциясының  шегі  сәйкес  ақырлы  -1-ші  жағдай  үшін,  ақырсыз  -2-ші  жағдай  үшін, 

немесе шегі болмауы (ақырлы да ақырсыз да) қажетті және жеткілікті. 

Егер 


a

  –


f (z)

функциясының  қалпына  келтірілетін  ерекше  нүктесі  болса,  онда 

f (z)

функциясын  осы  нүктеде  үзіліссіздік  бойынша  толықтырып анықтағаннан  кейін   



z



f ( )

lim f (z)



a



a

функция 



a

 нүктесінде аналитикалық болады. 

Егер 

a

 – 


f (z)

 -тің полюсі болса, онда 



a

нүктесінің маңайында 

n

m

1



n

m

n 0



A

A

f (z)



...

A (z


)

(z

)



z











a

a

a

мұндағы  



m

A

0





m

саны а полюсінің реті д.а.. 1-ші ретті полюс жәй полюс д.а. 

 

a

    нүктесі 

f (z)

  функциясының 



m

-ші  ретті  полюсі  болуы  үшін,  осы  нүктенің  маңайында 

келесі теңдіктің орындалуы қажетті және жеткілікті: 

m

(z)



f (z)

(z

)



 a



мұндағы  

(z)



 - 



a

 нүктесінде аналитикалық, 

0

)

(





z

 функция. 

Егер   

f (z)


   



z

r



  ақырсыз  алыстатылған  нүкте  маңайында  аналитикалық  болса,  онда 

 


a

нүктесі   

f (z)

функциясының  оқшауланған  ерекше  нүктесі  .  Бұл  жерде 



 

a

    нүктесі 

f (z)

функциясының  қалпына  келтірілетін,    полюс  немесе  маңызды  ерекше  нүктесі  бола  алады,  егер 



f (z)

  

функциясының 



 

a

 нүктесінің маңайында төмендегі Лоран қатарында  

n

n

f (z)



A z





 



30 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

сәйкесінше, 



z

-тің оң дәрежелері болмаса, оң дәрежелерінің саны ақырлы болса немесе саны шексіз көп 

болса. 

 

1



z 

  ауыстырымы  функцияны 



 

a

  нүктесінің  маңайында  зерттеуді 

0



a



  нүктесінің 

маңайында зерттеуге әкеледі. 

 

Мысалы 19. 

sin z


f (z)

z



 функциясы үшін 

0

z



0

 нүктесін сипаттау керек. 



Шешуі. 

0

z



0

 нүктесі  



sin z

z

 функциясының ерекше нүктесі, осы функцияны Лоран қатарына  



0

z



 

облысында жіктейік: 

3

5

z



z

sin z


z

... ,


0

z

;



3 !

5 !


 



 


 

 

2



4

sin z


z

z

1



... ,

0

z



.

z

3 !



5 !

 




 

 

Қатарда 



z

-тің  теріс  дәрежелі  мүшелері  болмағандықтан,

0

z  a



  –қалпына  келтірілетін  ерекше 

нүкте. 


Мысалы 20. 

z

1 z



f (z)

e



 функциясының ерекше нүктелерін тауып, сипаттау керек. 



Шешуі. 

0

z



1

  нүктесі  ерекше.  Оны  сипаттау  үшін 



z

1 z


e

функциясын  Лоран  қатарына 



0

z

1



  


облысында жіктейік  . 

 

2



3

z

z



z

e

1 z



... ,

0

z



2 !

3 !


  



 


               

1

z 1


2

3

1



1

1

e



1

... ,


0

z 1


z 1

2 ! (z 1)

3 ! (z 1)



 



  





z

z 1 1



1

1 z


1 z

z 1


1

e

e



e

e

 







1



1

1

1



2

3

e



e

e

e



... ,

0

z 1



1

z 1


2 ! (z 1)

3 ! (z 1)









  



0



z

1



 – маңызды ерекше нүкте. 

z  


  еркше  нүктесін  сипаттау  үшін 

1

z 



  деп  аламыз, 

1

1

1



1 1

1

f



e

e





 


 



 

 



,  мұндағы  

0



  бұл функция үшін дұрыс нүкте. 

Енді 

 


1

1

1



f

e





 

  


 


 


  функциясын 

1

 



 облысында Тейлор қатарына жіктесек: 



1

1

1



1

2

0



1

(0)


e ,

(0)


e

e ;


1













 


 





 

 



31 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1



1

1

1



1

4

3



0

1

2



(0)

e

e



e ; ... .

1

1

















 


 



 



 



 

Осыдан                     

 

1

1



2

1

e



e

e

... ,



1 !

2 !






  




  

яғни                    

z

1 z


1

1

1



2

e

e



f (z)

e

e



...,

z

1.



z

2 ! z








 

Сондықтан, 



z  

 нүктесі қалпына келтірілетін ерекше нүкте. 

Егер  

 


a

 нүктесі 

f (z)

функциясының қалпына келтірілетін ерекше нүктесі болса, онда бұл 



функция үшін 

 


0

z

f



lim f (z)

A





 



Егер 

f (z)


функциясы ақырсыз алыстатылған нүктеде аналитикалық болса және осы нүктеде  

 


f

0

 



, онда  

z  


  нүктесі 

f (z)


функциясының 

m

-ші ретті нөлі д.а., егер 



0

1

(m 1)



m

A

A



...

A

0,



A

0









 

Мысалы  21. 



2

3

2



1

f (z)


z z

4



  ерекше  нүктелерін  тауып,  сипаттау  керек  және  функцияны 

шексіздікте зерттеу керек. 

Шешуі. 



 


2

2



2

3

3



2

1

1



z z

2i

z



2i

z z


4





z

0



 – 3-ші ретті полюс;  

z

2i



 

 – 2-ші ретті полюстер;  

z  

 – 7-ші ретті нөл. 



 

10 есеп 

 

Функцияны Лоран қатарына берілген сақинада жікте: 



1.  

1

,



2

z

3;



(z

2) (z


3)





 



2.  

1

,



3

z

;



(z

2) (z


3)

 





 



3.  

2

1



,

0

z



1;

z

z





 

4.  

2

1



, 1

z

;



z

z



 



 



5.  

1

,



2

z

;



(z

2) (1 z)


 




 



6.  

2

2z



3

, 1


z

2;

z



3z

2







 

7.   

2

3



z

z

3



, 1

z

2;



z

3z

2



 





 



8.   

2

3



z

z

3



,

z

1;



z

3z

2



 





 

9.   

2

3



z

z

3



,

2

z



;

z

3z



2

 


 




 



10. 

2

2



, 1

z

2



3;

z

1







 

11. 

2

z



, 1

z

2;



z

3z

2







 

12. 

1

z



z

e

,



0

z

;



 



 

13. 

2

z 1



, 1

z

2;



z

z

2





 

 

14. 

2

z 1



,

z

2;



z

z

2



 



 

32 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

15. 

2

z



, 1

z

3;



(z

1) (z


3)





 



16. 

3

2



z

, 1


z

2;

z



2z

z

2





 

 

17. 

3

1



z cos ,

0

z



;

z



 

 

18. 

1

z



5

z e ,


0

z

;



 


 

19. 

3

1



,

0

z



1;

z

z





 

20. 

1

z



3

2

z



e

,

0



z

;

z



1



 



 



21. 

2

1



, 1

z

2



4;

z

2z 8







 



22. 

2

z



2

,

2



z 1

;

z



4z

3



 





 



23. 



5

2

2



z

,

2



z

;

z



4

 





 

24. 

2

2



z

, 1


z

2;

(z



4) (z

1)





 

25. 

4

1 cos z



,

0

z



;

z



 


 

26. 

4

1



z cos ,

0

z



;

z



 

 

27. 

z

2



1

,

0



z

;

z (z 1) (2z 1)



2





 

28. 

1

,



2

z

3;



(z

2) (z


3)





 



29. 

2

1



,

0

z 1



3;

(z 1) (z


2)





 

30. 

1

, 1



z

3.

(z 1) (z



3)





 

 

 

Қалындылар мен олардың қолданыстары 

f (z)


  функциясының   

a

  ақырлы  ерекше  нүктесіне  қатысты  қалындысы   

Res f (z)

a

    деп 


белгіленетін және 

C

1



Res f (z)

f (z) d z

2 i







a

 теңдігімен анықталатын, мұндағы  

C

 –центрі  



a

, ішкі 


облысында 

a

  –  жалғыз  ерекше  нүкте  болатын  кез-келген  шеңбер; 

1

Res f (z)



A



a

.  Мұнда 

1

A



  – 

f (z)


функциясының 

a

 нүктесінің маңайындағы Лоран қатарының  

1

z  a



  жанындағы коэффициенті. 

Егер 

a

 –

f (z)



 үшін қ.к.е.н. болса , онда  

Res f (z)

0



a





Егер 

a

 – полюс болса, онда   

z

Res f (z)



lim f (z)(z

)





a



a

a



Егер  

1

2

f (z)



f (z)

f (z)


, мұндағы  

1

f (z)


  және  

2

f (z)



  функциялары  

a

 нүктесінде аналитикалық, 

0

)

(



1



a



f

2



2

f ( )


0,

f ( )


0





a

a

 

(яғни 



 

a

 

– 



f (z)

үшін 


жәй 

полюс), 


онда

1

1



2

2

f (z)



f ( )

Res f (z)

Res

f (z)


f ( )





a

a

a

a



Егер  



a

 – 


f (z)

үшін 


m

-ші ретті полюс болса, онда   

m 1

m

m 1



z

1

d



Res f (z)

lim


f (z)(z

)

(m 1) !



d z









a



a

a

 



33 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Мысалы  22. 

3

2



z

1

f (z)



(z

2) (z


3)



    функциясының 



1

2

z



2, z

3

 



  нүктелеріне  қатысты 

қалындыларын анықтау керек. 

Шешуі.                 





 

2



2

3

2



2

z

2



2

z

1 z



2

z

1



Res

lim


(z

2) (z 3)


z

2

z 3

















 



                                             





2

3



2

z

2



3z

z

3



z

1

53



lim

25

z



3







 



 





 



3

3



3

2

2



2

z

3



z

3

3



z

3 z


1

z

1



z

1

28



Res

lim


lim

(z

2) (z



3)

25

z



2

z

3



z

2











  

 



немесе 

                                 

 


3

3



2

2

3



z 3

z

1



z

1

Res



(z

2) (z 3)


z

2

z 3











 





 



3

2



z 3

z

1



28

25

2 z



2 z 3

z

2









Мысалы 23.  

z

1 z



f (z)

e



 үшін 


0

z

1



 еркше нүктеге қатысты қалындыны тап. 



Шешуі.  

0

z



1

 – маңызды еркше нүкте (20 мысал). 



 

z

1 z



f (z)

e



функциясының  

0

z 1


  


 сақинасындағы Лоран қатары 

 





z

1 z


1

1

1



1

2

3



e

e

e



e

e

...



1

z 1


2 ! z 1

3 ! z 1










 



z

1 z


1

1

1



1

Res e


A

e

e





 


 



 



Қалындылар туралы негізгі теорема. Егер  

f (z)


  функциясы жәй тұйық 

C

контуры мен оның 



ішінде  аналитикалық  болса,  осы  контурдың  ішіндегі 

1

2



n

,

, ...,



a

a

a

  ерекше  нүктелерді 

есептемегенде, онда   

k

n



k 1

f (z) d z

2 i

Res f (z)



 




a




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет