|
Мысалы 24.
z
z 1
e
d z
z
есептеу керек.
34
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
Шешуі.
z
e
f (z)
z
функциясының
z
0
бір о.е.н. (1-ші ретті полюс) бар, және ол
z
1
облысына тиісті. Сондықтан,
z
z
z
0
0
z 1
e
e
z
d z
2 i Res f (z) 2 i lim
2 i
z
z
.
Мысалы 25.
5
3
C
d z
z
z
есептеу керек, мұндағы
C
:
z
3
шеңбер.
Шешуі.
5
3
3
1
1
z
z
z z 1 z 1
.
z
0
– 3-ші ретті полюс,
z
1
– 1-ші ретті полюстер, олар интегралдау контурының ішінде
орналасқан, сонда
5
3
5
3
5
3
5
3
0
1
1
C
d z
1
1
1
2 i Res
Res
Re s
z
z
z
z
z
z
z
z
;
2
2
3
5
3
2
5
3
2
2
z
0
0
z
0
1
1
d
1
1
d
1
Res
lim
z
lim
z
z
2 !
d z
z
z
2
d z z
1
2
3
z
0
2
1
6z
2
lim
1
2
z
1
;
5
3
5
3
4
3
z
1
z
1
1
1
1
1
1
Res
lim
z 1
lim
z
z
z
z
z
z
2
;
5
3
5
3
4
3
z
1
z
1
1
1
1
1
1
Res
lim
z 1
lim
z
z
z
z
z
z
2
.
5
3
C
d z
1
1
2 i
1
0
z
z
2
2
.
Мысалы 26.
z r
1
sin
d z
z
есептейік.
Шешуі.
z
0
– маңызды ерекше нүкте, себебі ақырлы да, ақырсыз да
z
0
1
lim sin
z
шегі жоқ.
3
5
z
z
sin z
z
...,
0
z
3 !
5 !
;
3
5
1
1
1
1
sin
... ,
0
z
z
z
z 3 !
z 5 !
;
35
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
0
1
Res sin
1
z
;
.
f (z)
функциясының ақырсыз алыстатылған оқшауланған ерекше нүктеге қатысты
қалындысы,
)
z
(
f
s
Re
деп белгіленетін,
C
1
Res f (z)
f (z) d z
2 i
тең санды айтады,
мұндағы
C
– центрі
O
нүктесінде болатын, ішінде
f (z)
функциясының
z
нүктесінен басқа
ерекше нүктелері болатын кез-келген шеңбер және
C
контурын айналу сағат тілімен бағыттас
жүргізіледі.
1
Res f (z)
A
, мұндағы
1
A
–
f (z)
функциясының
z
маңайындағы Лоран
қатарындағы
1
z
-тің жанындағы коэффициент.
Егер
f (z)
функциясы ұлғайтылған комплекс жазықтықта, саны ақырлы ерекше
нүктелерден басқа барлық нүктелерде аналитикалық болса,
f (z)
функциясының барлық ерекше
нүктелерге қатысты қалындыларының қосындысы нөлге тең.
f (z)
функциясы, жоғары жартыжазықтыққа тиісті саны ақырлы ерекше
1
2
n
,
, ...,
a
a
a
нүктелерден басқа жоғары жарты жазықтықтың барлық нүктелерінде, нақты
өсті қоса алғанда, аналитикалық болсын. Сонымен бірге ақырсыз алыстатылған нүкте
f (z)
функциясының реті екіден кем емес нөлі болсын, яғни
f
0,
f
0
. Сонда
k
n
a
k 1
f (x) d x
2 i
Res f (z)
.
Мысалы 27.
2
2
d x
x
25 9x
1
интегралын есептеу керек.
Шешуі.
2
2
1
f (z)
x
25 9x
1
функциясы жоғарыда берілген теореманың барлық
шарттарын қанағаттандырады.
1
z
5 i,
z
i
3
– жоғары жарты жазықтыққа тиісті жәй полюстер.
Сонда
2
2
2
2
5 i
d x
1
2 i Res
x
25 9x
1
z
25 9z
1
0
z r
1
1
sin
d z
2 i Res sin
2 i
z
z
36
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
2
2
1
i
3
1
1
3
Res
2 i
1
10 i 224
80
z
25 9z
1
25
9 2 i
9
.
Егер
i t z
f (z)
e
F(z)
t
0
, және
F(z)
жоғары жартыжазықтыққа тиісті саны
ақырлы ерекше
1
2
n
,
, ...,
a
a
a
нүктелерден басқа жоғары жарты жазықтықтың барлық
нүктелерінде, нақты өсті қоса алғанда, аналитикалық болсын. Сонымен бірге ақырсыз
алыстатылған нүкте
F(z)
функциясының нөлі болса, яғни
F
0
онда
k
n
k 1
f (x) d x
2 i
Re s f z
a
.
Мысалы 28.
2
0
x sin x
d x
x
1
интегралын есептеу керек.
Шешуі: Интеграл астындағы функция жұп болғандықтан,
2
2
0
x sin x
1
x sin x
d x
d x
x
1
2
x
1
.
i x
2
2
x sin x
x e
d x
Im
d x
x
1
x
1
.
i z
2
z e
z
1
функциясы жоғарыдағы теореманың шарттарын қанағаттандырады.
z
i
нүктесі 1-ші
ретті полюс, ол жоғары жарты жазықтыққа тиісті. Сонда
i x
i z
2
2
i
x e
z e
d x
2 i Re s
i
x
1
z
1
e
;
2
x sin x
d x
Im i
;
x
1
e
2
2
0
x sin x
d x
x
1
2e
.
11 есеп
w
f (z)
функциясының ерекше нүктелерін тауып, оларды сипаттап бер:
37
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1.
3
2
1
;
z
1
2.
7
5
3
z 1
;
z
8z
16z
3.
cos z
;
z
2
4.
2
2
1
;
z
9
5.
sin z
;
z
6.
1
;
sin z
7.
2
z
1
;
z 1
8.
z 1
;
cos z
9.
cos z
;
z i
10.
tg z;
11.
2
1
;
cos z
12.
2
z 1
;
z
1
13.
z
;
tg z
14.
3
z 1
;
z
4z
15.
3
4
z
,
sin z
шеңдер ішінде
z
1;
16.
2
2
2
z
1
;
z
i
z
4
17.
3
1
;
z
z
18.
2
2
1
;
z z
4
19.
z
2
e
;
1 z
20.
2
2
1
;
z
4
21.
4
4
z
;
1 z
22.
3
1
;
sin z
23.
2
z
z
1
;
e
24.
2
2
2
z
5
;
z
3z
2
z
1
25.
5
2
z
;
1 z
26.
2
1
;
ctg z
27.
2
3
z
sin z cos z
,
1
z
дөңгелегінде
28.
2
3
4
z
4
;
2z
z
z
29.
2
3
z
2
;
z
z
2z
30.
3
2
z
2
.
2z
z
z
12 есеп
Ерекше нүктелердің қалындыларын тап (*-берілген облыс ішінде; **-берілген облыс үшін):
1. (*)
2
2
1
w
z
9
,
z 3i
1;
2. (*)
2
2
1
w
z
9
,
z
3i
1;
3. (*)
3
4
z
w
sin z
,
z
1;
4. (**)
3
5
1
w
z
z
,
1
z
;
2
5. (**)
2
2
2
z
w
z
1
,
z i
1;
6. (*)
3
5
1
w
z
z
,
0,5
z
1,5;
7. (**)
2
2
2
z
w
z
1
,
z i
1;
8. (**)
z
2
2
e
w
z
z
9
,
z
1;
38
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
9. (**)
z
2
2
e
w
z
z
9
,
z 3i
1;
10. (**)
z
2
2
e
w
z
z
9
,
z
3i
1;
11.
cos z
w
;
z
2
12.
2
z
1
w
;
z 1
13.
2
2
cos z
w
;
z
2z 1
14.
3
sin 2z
w
;
z 1
15.
w
tg z;
16.
3
z 1
w
;
z
4z
17.
1
w
sin z sin ;
z
18.
1
w
cos
;
z
2
19.
2
z 1
w
;
z
1
20.
2
z
1
w
;
z 18
21.
2
1
w
;
z 1 z
22.
2
2
z
z 1
w
;
z
z 1
23.
1
w
;
sin z
24.
3
2
1
w
;
z
1
25.
z
w
sin
;
z 1
26.
2
z
4z 1
w
;
z 3
27.
2 z
2
e
z
w
;
z
28.
4
z
sin z
w
;
z
29.
2
2
1 cos z
w
;
z
30.
z
e
1
w
.
z z 1
ӘДЕБИЕТ
1. Арамович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного. Операцион-
ное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1968. 41 с.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного. М.: Наука, 19685. 464 с.
3. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и
их приложение. М.: Высш. школа, 1980. 279 с.
4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Опера-
ционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 302 с.
5. Лаврентьев М. А., Шабаш Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Нау-
ка, 1973. 736 с.
6. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979.
320 с.
Достарыңызбен бөлісу: |
|
|