|
29.
2
C
z d z;
AB
:
2
A
B
y
x ,
z
0,
z
1 i
.
30.
C
z z d z;
L
:
z
4,
Re z
0
,
0;
2
және
0; 2
нүктелерінің арасы.
9 есеп
Коши теоремасын немесе тұйық контурға арналған Коши формуласын қолданып интегралды
есепте:
1.
2
3
C
z
d z,
C : z
4
z
2
;
2.
3
2
C
z
d z,
C : z
3
z
2
;
3.
2
C
sin z
d z,
C : z
4
z
7z 10
;
4.
2
C
cos z
d z,
C : z
2
z i
;
5.
z
5
C
e
d z,
z
i
2
C : z 3i
2
;
6.
z i
2
C
e
d z,
z
i
2
C : z 1
2
;
7.
2
C
d z
, C : z
2i
3
z
9
;
8.
2
2
C
d z
, C : z
2i
2
z
9
;
9.
3
C
sh z
d z, C : z
2
z
i
2
;
10.
z
4
C
e d z
,
z
2
2
2
x
2
C :
y
1
4
;
11.
z
2
C
e d z
, C : z i
5
z
9
;
12.
2
C
sin z
,
C : z
i
2,5
z
9
;
25
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
13.
2
2
C
d z
,
C : z
4
z
4
;
14.
z i
2
C
e d z
, C : z
2,5
z
4
;
15.
z
2
C
z e
d z
,
C : z 1
3
z i
;
16.
z
2
C
e d z
,
C : z
4
z
i
z
;
17.
z
2
C
e d z
,
z 1 z
C : z 1
0,7
;
18.
z
C
e d z
,
C : z
2,5
z 1 z
;
19.
4
C
d z
, C : z 3
2,5
z 1 z
;
20.
2
C
z 1
d z, C : z
3
z
4
;
21.
z i
C
e d z
, C : z 1
3
z
i
2
;
22.
2
2
C
sin z
d z,
C : z
2
z 1
;
23.
i z
5
C
e
d z,
C : z
4
z
;
24.
2
C
cos z
d z,
C : z
1
2z 1
;
25.
3
2
C
z
d z, z
i
2,5
z
1
;
26.
z
2
2
C
e d z
,
z
2
z
2z 1
;
27.
z
2
z
e d z
z z
2
;
28.
1
2
2
z
d z
z z
1
;
29.
z
1
z 3
2
e d z
sin z
;
30.
2
2
z 1 2
sin z
3
dz
z
2 z
.
ТЕЙЛОРА және ЛОРАН қатарлары
Егер
f (z)
функциясы
z
R, 0
R
a
дөңгелегінің ішінде аналитикалық болса,
онда ол осы дөңгелектің ішінде Тейлор қатарына жіктеледі:
2
0
1
2
f (z)
A
A (z
)
A (z
)
...
a
a
немесе
n
n
n 0
f (z)
A (z
)
a
,
26
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
мұндағы,
(n )
n
n 1
C
f
( )
1
f (z)
A
d z, n
0, 1, 2, ...
n!
2 i
(z
)
a
a
.
().
Егер
f (z)
функциясы
r
z
R
a
,
0
r
R
сақинасында аналитикалық болса, онда
ол осы сақинада Лоран қатарына жіктеледі:
2
3
2
1
0
1
2
3
2
A
A
A
f (z)
...
A
A (z
)
A (z
)
...
(z
)
(z
)
z
a
a
a
a
a
немесе
n
n
f (z)
A (z
)
a
,
где
n
n 1
C
1
f (z)
A
d z, n
0, 1,
2, ...
2 i
(z
)
a
(
C
– центрі
a
,
r
z
R
a
сақинасының ішіне тиісті кез-келген шеңбер ).
1
2
3
2
3
A
A
A
...
z
(z
)
(z
)
a
a
a
қатары
Лоран
қатарының
бас
бөлігі,
ал
2
3
0
1
2
3
A
A (z
)
A (z
)
A (z
)
...
a
a
a
қатары Лоран қатарының дұрыс бөлігі деп
аталады..
Тейлор және Лоран қатарларына жіктелу тек жалғыз.
Мысалы 15.
f (z)
функциясының
z
дәрежелері бойынша
D
облысындағы Тейлор немесе Ло-
ран қатарын жазыңдар:
а)
1
f (z)
,
D z
3 ;
3 z
б)
2
1
f (z)
, D z
1 ;
(z
i)
в)
z
f (z)
, D 1
z
2 .
(z 1) (z
2i)
Шешуі. а)
1
f (z)
3 z
функциясының
z
3
облысындағы дәрежелік қатары Лоран қатары
болады, себебі, берілген функция аналитикалық болатын облыс сақина болып табылады:
3
z
.
f (z)
функциясын келесі түрде жазайық:
1
1 z
f (z)
3 z
1 3 z
.
z
нүктесінің маңайында
3 z
1
теңсіздігі орындалады, сондықтан
1 z
1 3 z
бөлшегін
бірінші мүшесі
1
1 z
a
, еселігі
q
3 z
болатын ақырсыз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысы түрінде жазуға болады:
27
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
2
n
n
2
3
n 1
n 1
n 0
1
3
3
3
3
f (z)
...
...
z
z
z
z
z
.
б)
2
1
f (z)
(z
i)
функциясының
z
1
облысындағы жіктелуі Тейлор қатары болады, себебі
бұл функция аналитикалық болатын облыс дөңгелек.
Тейлор қатарының коэффициенттерін анықтайық:
2
3
4
f (z)
(z i) ; f (z)
2(z i) ; f (z)
( 2)( 3)(z i) ; ...;
(n )
n
(n 2)
f
(z)
( 1) (n 1) ! (z i)
; ... .
n 2
(n )
n
(n 2)
n
n
z 0
n 2
n 2
i
f
(z)
( 1) (n 1) ! i
( 1) (n 1) !
i (n 1) !.
i
i
2
1
f (z)
(z
i)
функциясының
z
1
облысындағы Тейлор қатары былай жазылады.
n 2
n
2
n
n
n
n
n 0
n 0
n 0
(n 1)! i
z
f (z)
(n 1) i i z
(n 1)i z .
n!
в)
z
f (z)
(z 1) (z
2i)
функциясының
1
z
2
облысындағы облысындағы дәрежелік
қатары Лоран қатары болады, себебі, берілген функция аналитикалық болатын облыс сақина болып
табылады:
1
r
2
.
f (z)
функциясын қарапайым бөлшектерге жіктейміз:
z
A
B
1 2i
4 2i
f (z)
,
A
,
B
,
(z 1)(z
2i)
z 1
z
2i
5
5
және
1
z
2
ескеріп, мынаны жазуға болады
A
B
1 z
1 2i
f (z)
A
B
.
z 1
z
2i
1 1 z
1 z 2i
Сондықтан,
n
n
n
n 1
n 1
n 1
n 0
n 0
( 1)
( 1)
z
f (z)
A
B
,
z
2
i
мұндағы
1 2i
4 2i
A
,
B
5
5
.
Мысалы 16.
2
1
f (z)
z
3
функциясын Лоран немесе Тейлор қатарына келесі нүктелердің
маңайында жіктеу керек: а)
0
z
1;
б)
0
z
3.
Шешуі. а) Бұл функция
0
z
1
нүктесінің маңайында Тейлор қатарына жіктеледі:
28
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
1
1
1 4
z 3
4 (z 1)
1
z 1 4
.
Соңғы бөлшек
z 1
1
4
, облысында ақырсыз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысы, яғни
1
1
z 1
z 1
4;
; q
.
4
4
a
2
n 1
2
3
n
n 1
z 1
z 1
1
1
z 1
...
;
z 3
4
4
4
4
2
n 1
2
3
2
n 1
n 1
z 1
1
1
z 1
1
n
... ;
z 1
.
z 3
4
4
4
4
z 3
б)
0
z
3
нүктесінің маңайында берілген функция Лоран қатарына жіктеледі. Функция
z 3
-тің теріс дәрежесі түрінде жазылып қойған. Лоран қатарына жіктелудің жалғыз ғана
болатынын ескеріп,
2
1
z 3
өрнегі функцияның Лоран қатарына жіктелуі болып шығады.
Егер
f ( )
0
a
болса, онда
a
нүктесі функцияның нөлі деп аталады. Егер
f (z)
функциясын
Тейлор қатарына
a
нүктесінің маңайында жіктейтін болсақ,
0
1
m 1
m
A
A
...
A
0,
A
0
болып, және сондықтан Тейлор қатары
m
m 1
m
m 1
f (z)
A (z
)
A
(z
)
...
a
a
,
түрінде болса, онда
a
нүктесі
f (z)
функциясының
m
-ші ретті немесе
m
еселі нөлі деп аталады.
Анықтамадан, егер
a
нүктесі
m
-ші ретті нөл болса, онда
(m 1)
(m)
f ( )
f ( ) ... f
( )
0,
f
( )
0.
a
a
a
a
a
нүктесі
f (z)
функциясының
m
-ші ретті нөлі болуы үшін, осы нүктенің маңайында келесі
теңдіктің орындалуы қажетті және жеткілікті:
m
f (z)
(z)(z
)
a
,
мұндағы
(z)
функциясы
a
нүктесінде аналитикалық,
0
)
(
z
функция.
Мысалы 17.
f (z)
cos z
функциясының нөлдері мен олардың ретін анықта.
Шешуі.
z
k
k
0,
1,
2, ...
2
– 1-ші ретті нөлдер, себебі
2
z
k
cos z
sin z
0
.
29
Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика
Мысалы 18.
2
2
2
z
1 z
3z
2
f (z)
z 1
функциясының нөлдері мен олардың ретін
анықта.
Шешуі.
z
i
– 1-ші ретті нөлдер;
z 1, z
2
– 2-ші ретті нөлдер.
f (z)
функциясының аналитикалық болуы шарты бұзылатын
,
a
a
нүктесі осы
функцияның ерекше нүктесі деп аталады. Ерекше
a
нүктесі
f (z)
функциясының оқшауланған
ерекше нүктесі деп аталады, егер
0
z
R
a
маңайы табылып, осы маңайда функция
аналитикалық болса.а.
Достарыңызбен бөлісу: |
|
|