Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

12 
0
1
2
1
( )
...
2
b
n
n
a
y
y
b
a
f x dx
y
y
y
n


 


 
 





(1.2.2) 
Бұл 
трапециялар формуласы 
[3]
 
деп аталады. 
n
мәні шексіз өскен сайын тіктөртбұрыштар мен трапециялар 
формуласының қателігі неғұрлым шексіз кеми береді деп айтсақ болады. 
Осылайша, соғұрлым үлкен 
n
мәні жеткілікті түрде екі формулада да дәлдік 
дәрежесімен интегралдың қажетті мәнін шығарады. 
2-сурет. Анықталған интегралды трапециялар әдісі арқылы шешу
Мысал ретінде бәріне белгілі интегралды алайық 
1
2
0
0, 785398...
1
4
dx
x





және оған екі жуықтау тәсілін қолданайық, 
10
n

деп алып, төрт таңбаға 
дейін есептейік.
Тіктөртбұрыштар формуласымен бізде осылай шығады 
1
1
2
2
3
3
2
2
5
5
2
2
7
7
2
2
9
9
2
2
11
11
2
2
13
13
2
2
0, 05;
0, 9975
0,15;
0, 9780
0, 25;
0, 9412
0, 35;
0,8909
7,8562
0, 45;
0,8316
0, 78562
10
0, 55;
0, 7678
0, 65;
0, 7030
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
















13 
15
15
2
2
17
17
2
2
19
19
2
2
0, 75;
0, 6400
0,85;
0, 5806
0, 95;
0, 5256
7,8562
x
y
x
y
x
y
сумма






Ал трапеция бойынша есептесек, 
0
0
1
1
10
0
2
2
3
3
4
4
0, 0
1, 0000
0,1
0, 9901
1, 0
0, 5000
0, 2
0, 9615
1
, 5000
0, 3
0, 9174
0, 4
0,8621
x
y
x
y
x
y
x
y
сумма
x
y
x
y












5
5
6
6
0, 5
0,8000
0, 6
0, 7353
x
y
x
y




7
7
8
8
9
9
0, 7
0, 6711
0,8
0, 6098
0, 9
0, 5525
x
y
x
y
x
y






7, 0998
1 1, 5000
7, 0998
0, 78498
10
2
сумма








Алынған екі нәтиже де шамамен бірдей дәлдік дәрежесіне ие екеніне көз 
жеткізуге болады. Олар ақиқат мәнінің 0,00005-тен кемімей өзгереді. 
Бірақ, біз қателікті интегралдың нақты мәнін алдын ала біле отырып 
шешкенімізді көрсеттік. Осы формулалар расымен де жуықтап есептеуге 
қолайлы болуы үшін бізге қателікті табуға арналған ыңғайлы өрнек болуы 
керек, бұл берілген 
n
-нің қателігін бағалауға ғана емес, сонымен қатар, қажетті 
дәлдік дәрежесін қамтамасыз ететін 
n
-ді таңдауға мүмкіндік береді. Бұл 
сұраққа біз кейін тоқталып өтеміз. 
1.3 Интегралдау интервалын бөлу әдісі. 
 
 

( )
b

a
f x dx

 
интегралын жуықтап есептеу [4] үшін 
( )
f x
функциясын «жақын» 
көпмүшелікке алмастыруға болады. 
1
0
1
1
( )
...
k
k
k
k
k
y
P x
a x
a x
a
x
a





 

(1.3.1) 
және қоямыз 

14 
( )
( )
b
b
k
a
a
f x dx
P x dx



Басқаша айтқанда, ауданын тапқан кезінде берілген 
( )
y
f x

«қисық» «k-ші 
ретті параболамен» (1.3.1) алмасады, сол себептен бұл процесс параболалық 
интерполяция [5] деп атап кеткен. 
Интерполяциялық 
( )
k
P x
көпмүшелікті таңдаудың өзі келесі түрде 
шығарылады. 
[ , ]
a b
аралығында 
1
k

мәнінде 
0
1
, ,...,
k
 

тәуелсіз айнымалыны 
алып, 
x
-тен алынған мәндері 
( )
f x
функциясының мәнімен сәйкес келетіндей 
етіп 
( )
k
P x
көпмүшелігіндегі мәндерін таңдап алынады. Сол шартпен, 
( )
k
P x
көпмүшелігі 
бірегей 
анықталады 
және 
оның 
өрнегі 
Лагранждың 
интерполяциялық формуласы арқылы шығады: 
1
2
0
2
0
1
0
1
0
2
0
1
0
1
2
1
(
)(
)...(
)
(
)(
)...(
)
( )
(
)
( ) ...
(
)(
)...(
)
(
)(
)...(
)
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
P x
f
f








   
 
   
 









 






0
1
1
0
1
1
(
)(
)...(
)
(
)
(
)(
)...(
)
k
k
k
k
k
k
x
x
x
f
 


   
 









Интеграциялау кезінде
0
( ),..., (
)
k
f
f


мәніне қатысты өрнек сызықты 
болады, егер бұл мәндерге коэффициенттері сәйкес келмесе тәуелді бола 
алмайды. Коэффициенттерін анықтаған кезде 
[ , ]
a b
аралығындағы кез келген 
( )
f x
функциясы үшін қолдануға болады. 
0
k

қарапайым жағдайын алғанда, 
( )
f x
функциясы 
0
( )
f

тұрақтымен 
оңай алмасады, мұндағы 
0

- 
[ , ]
a b
аралығындағы кез келген нүкте, айталық, 
ортасы: 
0
2
а b



. Онда жуықтап 
( )
(
)
2
b
a
a
b
f x dx
b
a f










(1.3.2) 
Геометриялық 
тұрғыда 
- 
қисықсызықты 
фигураның 
ауданы 
тіктөртбұрыштың ауданымен алмасады, ал оның биіктігі орта ординатасына тең 
болады [6]. 
Ал 
1
k

жағдайында 
( )
f x
функциясы 
1
( )
P x
сызықтық функциясымен 
алмасады және 
0
x


мен 
1
x


деп алғанда, сол функциямен бірдей мәнге тең 
болады. Егер 
0
a


, 
1
b


деп алсақ, онда 
1
( )
( )
( )
x b
x
a
P x
f a
f b
a b
b
a






(1.3.3) 

15 
және оны оңай есептеуге болады, 
1
( )
( )
( ) 
(
)
2
b
a
f a
f b
P x dx
b
a




Солай келе, осы жерден біз жуықтап болжай аламыз [7] 
( )
( )
( ) 
(
)
2
b
a
f a
f b
f x dx
b
a




(1.3.4) 
Бұл жолы қисықсызықтың ауданы трапецияның ауданымен алмасады: 
қисықтың орнына хорданы алып, оның ұштарын қосамыз. 
Егерде 
2
k

деп алатын болсақ, біз өте тривиальді нәтиже аламыз. Егерде 
0
0
a


, 
1
2
а b



, 
2
b


болса, онда интерполяциялық 
2
( )
P x
көпмүшелік 
осындай түрге келеді: 
2
(
)
2
( )
( )
(
)
2
a
b
x
x
b
P x
f a
a
b
a
a
b




















(
)
(
)(
)
2
( )
2
(
)
2
2
2
a
b
x
a
x
x
a x
b
a
b
f
f b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b










































(1.3.5) 
Оңай есептеулер арқылы біз осылай белгілей аламыз 


2
(
)
2
2
(
)
(
)
2
(
)
2
b
b
a
a
a
b
x
x
b
b
a
dx
x
b
x
b dx
a
b
b
a
a
a
b













 


















3
2
2
2
(
)
(
)
(
)
3
2
2
6
a
b
x
b
b
a x
b
b
a
b
a














дәл сол сияқты есептейміз 
(
)(
)
4 
6
2
2
b
a
x
a x b
b
a
dx
a
b
a
b
a
b


















, 

16 
(
)
2
6
(
)
2
b
a
a
b
x
a
x
b
a
dx
a
b
b
a
b





















Осылайша, жуықтап есептеу формуласына келетін [8] боламыз: 
( )
( )
4
( )
6
2
b
a
b
a
a
b
f x dx
f a
f
f b
 
















(1.3.6) 
Осы жерде фигураның ауданы берілген қисық бойынша шеткі мен орта 
қисық нүктелерінен өтетін фигура ауданымен алмастырылады және кәдімгі 
параболамен (вертикалық осьпен) [9] шектеледі. 
k
интерполяцилық көпмүшенің дәрежесін артқан сайын, яғни, параболаны 
(1.3.1) қисықтың неғұрлым көпсанды нүктелерінен өткізген сайын, соғұрлым 
дәлдікке жетуге болады. Бірақ одан да тиімді дәлдікке жетудің басқа да әдісі 
бар. Оны интегралдау интервалын бөлу әдісі деп атайды және параболалық 
интерполяцияның негізінен құралады. 
1.4 Симпсон әдісі. 
 
 

( )
b
a
f x dx

интегралын анықтаған кезде осылай жасауға болады. Алдымен, 
[ , ]
a b
интервалын 
n
-нің бірнеше сандарына бөліп тастайық. Олардың 
интервалдары [10] теңдес
 

 



0
1
1
2
1
0
,
,
,
, ...,
,
, (
,
)
n
n
n
x x
x x
x
x
x
a x
b



Осыған байланысты қажетті интеграл сумма (қосынды) түрінде беріледі 
1
2
0
1
1
( ) 
( ) 
... 
( ) 
n
n
x
x
x
x
x
x
f x dx
f x dx
f x dx


 



(1.4.1) 
Енді әр интервалына параболалық интерполяцияны қолданамыз, яғни жуықтап 
есептеу формулаларды бірінен соң бірін алып [(1.3.2), (1.3.4), (1.3.6), ...], 
интегралын (1.3.6) шешеміз [11]. 
(1.3.2) және (1.3.4)-шы формулаларын ала отырып, бізге белгілі 
тіктөртбұрыштар (1.2.1) мен трапецияның (1.2.2) формулаларына қайта келеміз. 

17 
Енді (1.3.6)-ші формуланы интегралдарға (1.4.1) енгізейік; қысқасында, 
жоғарыда айтылғандай қоямыз, 
1
1
1
1
2
2
2
( )
,
, (
)
2
i
i
i
i
i
i
i
x
x
f x
y
x
f x
y








Содан, біз аламыз 
1
0
0
1
1
2
( ) 
(
4
)
6
x
x
b
a
f x dx
y
y
y
n





2
1
1
3
2
2
( ) 
(
4
)
6
x
x
b
a
f x dx
y
y
y
n





.....................................................
1
1
1
2
( ) 
(
4
)
6
n
n
x
n
n
n
x
b
a
f x dx
y
y
y
n








Ақырында, теңдіктерді мүшелеп жинақтай келе осы формулаға ие боламыз 
0
1
2
1
3
5
1
2
2
2
( )
[(
)
2(
...
)
4(
...
)]
6
b
n
n
n
a
b
a
f x dx
y
y
y
y
y
y
y
y
n







 


 

(1.4.2) 
Бұл теңдік Симпсон формуласы деп аталады; тіктөртбұрыштар мен 
трапециялар формулаларына қарағанда, интегралды жуықтап есептеуде 
Симпсон формуласын жиірек қолданады, өйткені нәтижені өте нақтырақ 
береді. 
Салыстырма ретінде көз жеткізу үшін қайтадан 
1
2
0
1
dx
x


интегралын Симпсон 
формуласымен 
есептелік. 
2
n

деп 
алайық, 
сонда 
қолданылған 
ординаталардың сан ендік жолы азырақ болады. Онда (бес санына дейін 
есептегенде) 
0
1
1
3
2
2
2
0
1
1
3
2
2
2
1
1
3
0;
,
,
;
1
4
2
4
1; 4
3,76471; 2
1,6; 4
2,56;
0,5
1
(1 3,76471 1,6
2,56
0,5)
0,78539...
12
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y















- барлық бес заңдылық дұрыс! 

18 
Əрине, (1.4.2)-шы формулаға қатысты ескертулер қайталануы мүмкін. Енді 
жуықтап есептеудің формуласын бағалауға көшейік. 
1.5 Тіктөртбұрыштар формуласының қосымша мүшесі.

жүктеу/скачать 1,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: