Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

31 
Ал 
0
;
x
x
t
h


деп ала отырып 
1
0
( )
(
)
(
1)...(
),(
)
(
)
n
n
m
x
x
ht
h
t t
t
n
x
x
h t
m










( )
( 1)
!(
)
n m
n
i
x
h m n
m



 

Бұдан 
0
0
0
( 1)
(
)
(
1)...(
)
( )
!(
)!
d
n
m
n
n
n
m
c
f x
mh
t t
t
n
I
L x dx
h
dt
k n
k
t
m












болады. Ақырында 
0
(
)
( )
(
)
d
n
n
n
k
m
c
d
c
I
f x dx
B f c
mh
n







мұндағы 
0
( 1)
(
1)...(
)
!(
)!
n
n m
n
m
t t
t
n dt
B
m n
m
t
m








( )
f x
функциясы тәуелсіз 
n
m
B
коэффициентіне қарағанда, әрбір 
n
шамасын 
есептей келе, кесте бетіне салуға болады. 
Ньютон-Котес формуласының қатесін бағалайық. 
( )
f x
функциясын біз 
былайша жаза аламыз: 
 
( )
( )
n
n
f x
L x
r x


( )
( )
( )
d
d
d
n
n
c
c
c
f x dx
L x dx
r x dx





Осыдан 
(
1)
(
1)
2
0
( )
( )
( )
( )
(
1)(
2)...(
)
(
1)!
(
1)!
d
d
n
n
n
n
n
n
c
c
f
f
R
r x dx
x dx
h
t t
t
t
n dt
n
n

















Назар аудара отырсақ, былай бағалап жібереміз: 
2
1
0
(
1)(
2)...(
)
(
1)!
n
n
n
M
h
R
t t
t
t
n dt
n









32 
мұнда 
1
1
[ , ]
max |
( ) |
n
n
x c d
M
f
x




n
дәрежесі 
( )
n
L x
функциясы бойынша дәл.
0
( )
(
)
d
n
n
m
m
c
d
c
f x dx
B c
mh
n






мұндағы 
0
R

. 
Енді бізге 
n
мәнінің өсу реті бойынша шығарған Ньютон-Котес 
формуласының нақтылығы арқылы қалай өзгереді екенін келесі жолдарды 
қарастыра отырып, осыны аңғарайық: 
( )
f x
функциясы қандай да бір қателікке ие болсын деп айталық, 
(
)
(
)
m
m
m
f x
f x



Онда 
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
( (
)
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
m
k
m
m
m
m
m
m
m
m
d
c
d
c
d
c
I
B f x
B
f x
B f x
n
n
n















0
(
)
n
n
m
m
n
n
m
d
c
B
I
I
n





 

Демек, 
n
n
m
d
c
I
B
n
n




( ) 1
f x

функциясында дәлдігін көрсетіп тұрғандықтан, 
0
n
n
m
m
B
n



Осылайынша, 
0
n
m
B

жағдайында,
0
0
|
|
|
| max(
)(
)
n
n
n
m
m
m
m n
m
d
c
I
B
d
c
n



 






Бұдан 
n
-ге қандай мән қойсақ та, квадратуралық формуланың қатесі
( )
f x
функциясына қарағанда шамалы қате жіберілгенін көре аламыз. 

33 
Егер 
n
m
B
түрлі таңбалар қабылдаса, онда 
0
n
n
m
m
B
n



бойынша біркелкі 
шектелмей, 
n
өсе отыра 
n
I

шексіз өседі екен. Сол интегралды есептегенмен, 
қателік жіберудің үлкен қаупі бар, сондықтан көбінесе бұл формуланы қолдану 
тиімсіз. 
Сонымен, Ньютон-Котес формуласы нүктелерде интегралды функцияның 
мәндері берілсе және бір-бірімен бірдей қашықтықта орналасқан болса ғана 
тиімді екеніне көз жеткізуге болады. Ал егерде нүктелердің нүкте 
позицияларының орындарын ауыстырсақ, одан басқа әдістерді қолданған жөн. 
Мысалы, Гаусс әдісін. Соны қарастырып көрелік. 
Негізінде 
n
-нің кез келген дәрежесінде Ньютон-Котес формуласын 
құрастыруға болады. Алайда үлкен мәнді 
n
кезінде Ньютон-Котес Рунге 
феноменісінен азап шегуі мүмкін, қателік 
n
-нің экспоненциальды үлкен 
мәнінде. Дегенмен, интерполяцияны кіші квадрат әдісімен [29] алмастырып 
Ньютон-Котес формуласын құрастыруға болады. Осындай тұрақты формулалар 
үлкен дәрежелі есептерді есептеуге мүмкіндік береді. 
Ньютон-Котес өте дәл мән беру үшін, 
h
биіктігі төмен болуы тиіс [30]. 
Демек, 
 
,
c d
интервалдың да мәні аз болуы керек, бірақ өкінішке орай, көп 
жағдайда олай бола қалмайды. Бұндай себептермен сандық интегралдау 
 
,
c d
интервалын бөліктерге бөліктеп, әрқайсысына Ньютон-Котес формулаларын 
қолданып, шыққан мәндерді қосу арқылы жүзеге асады. 
2.4 Гаусстың квадратуралық формулалары.
 
Интеграл алдын ала стандартты формаға келтірілген деп есептелік. 
Интегралданатын облыстың интервалы 
[ 1;1]

. Енді келесі интегралды 
анықталық 
1
1
( )
I
f x dx



Біз оған дейін квадратуралық формулаларды берілген түйіндермен 
қарастырып, орта тіктөртбұрыштар мен трапециялардың формулалары бірінші 
дәрежелік, ал Симпсон формуласы үшінші дәрежелік көпмүшеліктер үшін дәл 
екеніне көз жеткіздік. Айталық, 
n
түйін нүктелері квадратуралық 
формулаларға ие. 
1
( )
n
n
i
i
i
I
q
f x





34 
Егерде белгісіз айнымалыны тек қана 
i
q
салмақты коэффициенттерді ғана емес, 
i
x
түйіндерін де есептесек, онда жоғарыдағы квадраталық формула 
m
жоғарғы 
дәрежелік полиномдары үшін дәл болатындай етуге болады. Осындай 
формуланы Гаусстың квадратуралық формуласы деп атаймыз. Дей отыра, 
2
1
m
n


болып шығады. 
Формула 
2
2
1
( ) 1, ,
,...,
n
f x
x x
x


, т.б. үшін дәл болу қажет. 
1
1
1
1
1
1
1 ( 1)
1
1
l
l
n
l
l
n
i
i
i
x
I
q x
x dx
l
l




 

 






Мұнда болады: 
0,1,2,...,2
1
l
n


. Нәтижесінде барлық 
i
x
түйіндері мен 
i
q
коэффициенттері үшін 
2
n
сызықты емес теңдеулер жүйесін аламыз: 
1
2
1 1
2 2
2
2
2
1 1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
2 2
...
2
...
0
2
...
3
...
1 ( 1)
...
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
q x
n





    


 




 





 


 


Қарапайым жағдайды алайық.
1
n

деп алғанда, біз алған Гаусс формуласы 
орта тіктөртбұрыштармен сәйкес екенін байқауға болады: 
2
(0)
n
I
f
 
, және ол 
кез келген сызықты функциясына келе береді: 
0
1
( )
f x
c
c x


. Жалпы жағдайда, 
Гаусстның КФ түйіндерімен еркін түрдегі 
n
Лежандра полиномының 
( )
n
P x
негізі деп көрсетуге болады. Ал салмақтық коэффициенттер келесі формуламен 
есептеледі 
1
1,
1
( )
,
1, 2,3,...,
i
n
j
q
Q
x dx j
n





мұндағы, интеграл ішіндегі функция 
1
2
3
1
1
1,
1
2
3
1
1
(
)(
)(
)...(
)(
)...(
)
( )
(
)(
)(
)...(
)(
)...(
)
j
j
n
n
j
j
j
j
j
j
j
j
j
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


















1,
( )
n
j
Q
x

функциясы 
(
1)
n

дәрежесінің полиномы. Алымында 
(
1)
n

көбейтіндісі тұр, көбейткіші (
),
1, 2,3,..., ,
i
x
x
i
n i
j



, ал бөлімінде - 
j
x
x


35 
түйіндісінің алымындағы мәні. Солайынша, 
1,
( )
n
j
Q
x

полиномы 
i
x
түйінінде 
келесі мәндерді қабылдайды: 
1.
0,
( )
1,
n
j
i
i
j
Q
x
i
j



 


Лежандра полиномы. Олар келесі формуламен анықталады: 
2
1
( )
(
1) ,
0,1,2,3,...
2
!
n
n
n
n
n
d
P x
x
n
n dx



Формулаға сәйкес 
0
1
( ) 1, ( )
P x
P x
x


. Келесі 
n
мәндері үшін рекурренттық 
қатынасты қолдануға болады 
1
2
( )
(2
1)
( )
(
1)
( )
n
n
n
nP x
n
x P
x
n
P
x



  


Сол формуланы қолдана отырып, Лежандра көпмүшелігін көшірейік және 
2,3,4,5
n

деп алайық. 
2
3
2
3
4
2
5
3
4
5
1
1
( )
(3
1) ( )
(5
3 )
2
2
1
1
( )
(35
30
3) ( )
(63
70
15 )
8
8
P x
x
P x
x
x
P x
x
x
P x
x
x
x










Жұп нөмірленген Лежандра полиномдарын жұп функция деп атайды, ал тақ 
нөмірленген көпмүшеліктерді, сәйкесінше, тақ функция. 
( )
n
P x
Лежандра 
полиномдары 
1
x
 
нүктелерінде 
келесі 
мәндерді 
қабылдайды: 
(1) 1, ( 1)
( 1)
n
n
n
P
P

  
. 
( 1,1)

интервалында 
( )
n
P x
көпмүшелігі 
n
жай 
нөлдерге ие. Жұп немесе тақтың күштілігіне байланысты 
( )
n
P x
Лежандра 
полиномының нөлдері 
0
x

нүктесіне қарай симметриялы орналасады. 
j
q
салмақты коэффициенттерін Гаусстың квадратуралық формуласына 
қарай оң екенін көрсетуге болады. Одан басқа, 
0
x

симметриялы нүктесі 
Лежандра полиномының 
(
1)
j
n
j
x
x
 
 
түбірлеріндегі салмақты коэффициенттері 
[31], соның түйіндеріне сәйкесіп, кез келген 
(
1)
:
j
n
j
n q
q
 

үшін сәйкес келеді. 
i
x
түбірлерге мәндерін келтіріп, 
i
q
салмақтарына тиісінше, Гаусстың 
квадратуралық формулалары үшін қайттан 
1,2,3,4,5
n

деп аламыз. 
1
1
1:
0,
2
n
x
q




36 
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
4
2
3
1
4
2 :
1 / 3,
1
3 :
3 / 5,
0,
5 / 9,
8 / 9
4 :
(15
2 30) / 35,
(15 2 30) / 35
(18
30) / 36,
n
x
x
q
q
n
x
x
x
q
q
q
n
x
x
x
x
q
q

 




 






 









2
3
1
5
2
4
1
5
2
4
3
3
(18
30) / 36
5 :
(35
2 70) / 63,
(35 2 70) / 63
(322 13 70) / 900,
(322 13 70) / 900
128
0,
225
q
q
n
x
x
x
x
q
q
q
q
x
q




 














2.5 Чебышевтың квадратуралық формуласы. 
Осыны қарастырайық 
1
1
1
( )
( )
n
i
i
i
f t dt
B f t





Мұнда, 
i
B
- тұрақты коэффициенттер. 
Чебышев 
i
t
абсциссаларын таңдауда осы екі шартты ұсынды: 
1) 
i
B
коэффициенттер бір бірімен тең болу керек; 
2) жоғарыдағы квадратуралық формула барлық 
n
дәрежелі полином үшін дәл 
болуы қажет [32]. 
i
B
коэффициенттерін және 
i
t
түйіндерін тауып, 
1
2
3
...
n
B
B
B
B
B


 

деп 
аламыз. 
( ) 1
f t

функциясын алып, осыған ие боламыз 
1
2
n
i
i
B



бұдан 
1
2
B
n

. 
Тиісінше, Чебышевтың квадратуралық формуласы келесі түрге ие 
1
1
1
1
( )
2
( )
n
i
i
f t dt
f t
n





i
x
анықтағанда, екінші шартқа сәйкес, формула осы функция бойынша дәл 
болу керек 

37 
2
3
( )
, , ,...,
n
f x
t t
t
t

Осы функцияны формулаға қойып, теңдеулер жүйесін аламыз 
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
4
4
4
1
2
3
1
1
2
...
0
1
...
3
...
0
1
...
5
................................
(1 ( 1)
)
...
2 (
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
t
t
t
t
t
t
t
n
t
t
t
t
t
t
t
t
n
n
t
t
t
n

    



    


    


    




  

   
 

осыдан (
1, 2,3, 4,..., )
i
x i
n

белгісіздерді анықтауға мүмкін болады. Жүйені шешу 
жолы 
n
дәрежелі алгебралық теңдеудің түберлерін табуға негізделеді. 
Чебышев квадратуралық формуласын интегралға қолдану үшін алмастыру 
арқылы түрлендіру керек 
1
1
(
)
(
)
2
2
x
a
b
b
a t

 
 
a
x
b
 
кесіндісін 
1
1
t
  
. Чебышевтың формуласына түрлендірген 
интегралды қойып, осыған ие боламыз 
1
( )
( )
b
n
i
i
a
b
a
f x dx
f x
n





мұндағы 
;
2
2
i
i
i
b
a
b
a
x
t t




- жүйенің түбірі. 
2.6 Рунге ережесі арқылы қателікті практика жүзінде бағалау.

жүктеу/скачать 1,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: