Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

38 
Егер 
4
[ , ]
f
C a b

болса, онда келесі өрнекті аламыз: 
2
4
( )
(
)
b
a
np
h
I
f x dx
I
I
c h
O h


 


мұндағы 
np
h
I
- интегралдың мәні, орта тіктөртбұрыштардың құрама 
формулалары арқылы есептелінген, 
(
(
) / )
h h
b
a
n
 
қадамымен қоса, ал 
c
- 
тұрақты шама 
1
( )
24
b
a
c
f
x dx



, 
h
-тан тәуелсіз. 
Жоғарыдағы 
өрнекте 
2
c h

шамасы 
- 
орта 
тіктөртбұрыштар 
формуласындағы қателіктің маңызды бөлігі деп аталады. Кейбір жағдайда 
0
c

болып қалуы мүмкін. Онда қателіктің маңызды бөлігі 
4
h
қатарының шамасы 
болады. Бірақ, әдетте 
0
c

тең болмайды. 
Егерде 
4
[ , ]
f
C a b

болса, онда келесі қатынасты алуға болады 
2
4
1
(
)
mp
h
I
I
c h
O h

 

мұндағы, 
mp
h
I
-
трапецияның құрама формуласы арқылы табылған
I
интегралының жуық мәні, 
h
қадамымен қоса, 
1
c
- 
h
-тан тәуелді емес тұрақты 
шама 
1
1
( )
12
b
a
c
f
x dx

 

. 
Егер 
6
[ , ]
f
C a b

болса, онда аналогиялық түрде алдыңғы екі формулаға 
сүйене отырып, келесі қатынасқа ие боламыз 
4
6
(
)
C
h
I
I
c h
O h

 

мұндағы 
C
h
I
- Симпсон құрама формуласы бойынша табылған
I
интегралының 
жуық мәні. 
Рунге ережесі. Айталық, 
h
I
- үш құрама формуласының біреуімен 
қарастырылып табылған 
I
интегралының жуық мәні (трапеция, тіктөртбұрыш 
пен Симпсон формулалары бойынша). Енді осы қатынастарды біріктірейік 
2
(
)
k
k
h
I
I
c h
O h


 

(2.6.1) 
мұнда, 
с
h
-тан тәуелсіз, 
k
- квадратуралық формуланың қатар дәлдігі 
(тіктөртбұрыш пен трапецияның құрама формулалары үшін 
2
k

, Симпсонның 
формуласы үшін 
4
k

болған жағдайда). 
2
[ , ]
k
f
C
a b


деп болжамдайық. 

39 
Жоғарыдағы формуланың негізінен біз былай жаза аламыз 
2
/2
(
)
2
k
k
h
h
I
I
c
O h

 

 

 
 
(2.6.2) 
(2.6.1) бен (2.6.2) теңдеулерін алып, төмендегіні табамыз 
2
/2
(
)
2
k
k
h
h
h
I
I
c
O h

 
  

 
 
Осыдан 
2
(
)
k
h
I
I
O h



, мұнда 
/2
2
2
1
k
h
h
h
k
I
I
I




h
I
деп 
I
интегралының Ричардсон бойынша нақтыланған жуық мәні деп 
атаймыз. 

40 
3 Екі еселі интеграл үшін жуықтап есептеу және одан басқа әдістер 
3.1 Тор әдісі. 
Тұжырымдама.
 
Екі еселі интегралды шешу қажет
 
( , )
D
I
f x y dxdy


(3.1.1) 
мұндағы, 
( , )
f x y
- 
D
облысындағы 
x
және 
y
айнымалыларының үзіліссіз 
функциясы. 
Практика жүзінде элементарлық функцияларды интеграл арқылы өрнектеу 
және дәл мәнін табу сирек болады. Сондықтан, интегралдарды шешу үшін 
сандық интегралдау әдістері қолданылады. Олар 
( , )
f x y
интеграл ішіндегі 
функциясын алмастыру, жуықтау ретінде негізделген. Элементарлық 
функцияларда интеграл жеңіл шешіледі. Аппроксимациялық (жуықталған) 
функциялар ретінде, мысалы, көпмүшеліктерді қолдануға болады. 
Ең алдымен, интегралдау облысы тіктөртбұрыш болсын делік 
{
,
}
D
a
x
b c
x
d

 
 
. 
D
облысында 
( , )
f x y
орташа мәні үзіліссіз 
( , )
f x y
функциясының орта теоремасы бойынша келесі өрнекпен көрсетіледі 
1
( , )
( , )
,
(
)(
)
D
f x y
f x y dxdy
S
b
a d
c
S

 


Орта мәні, шамамен, тіктөртбұрыш центрінің функциясына тең деп санасақ: 
( , )
( , )
f x y
f x y

, мұндағы 
(
) / 2,
(
) / 2
x
a
b
y
c
d


 
; (3.1.1) қатынастан екі 
еселі интегралдың жуықтап есептеудің қарапайым формуласын аламыз. 
( , )
( , )
D
f x y dxdy
S f x y
 

(3.1.2) 
Формуланың қателігін табайық. 
( , )
f x y
функциясын жеткілікті тегіс, т.б. 
деп есептейік және қажетті үзіліссіз туындыларға ие. 
( , )
f x y
функциясын 
Тейлор формуласы бойынша бөлейік, нүкте бөлімі үшін тіктөртбұрыштың 
центрін таңдап (
( , )
x y
нүктесі) 
2
1
( , )
( , ) (
)
( , ) (
)
( , )
(
)
( , )
2
x
y
xx
f x y
f x y
x
x
f x y
y
y
f x y
x
x
f
x y




  







2
1
(
)(
)
( , )
(
)
( , ) ...
2
xy
yy
x
x y
y
f
x y
y
y
f
x y


 






(3.1.3) 

41 
Қателіктің дәлдігінде айырмашылық пен мәннің жуықталған интегралы бар. 
(3.1.2) формуланы (3.1.3)-ке қойып, негізгі мүше қателігін аламыз 
2
2
1
( , )
( , )
[(
)
( , )
(
)
( , )]
24
b d
xx
yy
a c
R
f x y dxdy
S f x y
S
b
a
f
x y
d
c
f
x y



 

 





(3.1.4) 
мұндағы мүшелер, дәл теңдікті айырбастаған кездегі алып тасталынған 
жуықтау, жоғарғы қатарлы туындыны және одан да жоғары дәрежелі 
D
тіктөртбұрышы ұзындығының қабырғаларын құрайды. Біз барлық бөліктелген 
мүшелердің (тіктөртбұрыш центріне қатысты жұп функция болып аталатын 
[33]) қателікке үлестігін қоспайды екендігіне көз жеткіземіз. Мәселен, осы 
мүшелердің интегралдары нөлге тең болып қалады. 
Жалпы жағдайда, тіктөртбұрыш қабырғаларының ұзындығы 
(
)
b
a

мен 
(
)
d
c

кіші емес, сондықтан, негізгі мүше қателігі үлкен болуы мүмкін. 
D
облысында дәлдік есептеуін нығайту үшін едәуір кішкентай (4-сурет) 
1
2
1
2
,
,
0,1,..., ,
0,1,..., ;
(
) /
,
(
) /
i
i
x
a
ih
y
a
jh
i
m
j
n
h
b
a
m
h
c
d
n
 
 




 
ұяшықтармен тор енгіземіз
1
1
{
,
,
1,..., ;
1,..., }
ij
i
i
j
j
D
x
x
x y
x
x i
m j
n




 
 


. 
Əр ұяшық бойынша (3.1.2) формуладағы интегралды есептей келе және 
табылған барлық ұяшықтарды қоса отырып, тор әдісінің формуласын аламыз 
1
1
( ,
)
m
n
h
ij
i
j
i
j
I
I
S
f x y


 


(3.1.5) 
мұнда
1
2
ij
S
h h
 
- ұяшықтың ауданы, 
1
1
,
2
2
j
j
i
i
i
i
y
y
x
x
x
y






- ұяшық 
центрінің координаты. Осыдан, айталық, 
h
I
(3.1.1) интегралдың жуықталған 
мәні 
1
h
мен 
2
h
қадамымен жоғарыдағы формуламен есептелген делік. 
Өрнектің оң жағында интегралдық сумма тұр, сондықтан кез келген 
үзіліссіз 
( , )
f x y
функция интегралдың мәніне жинақталады, егер барлық 
ұяшықтардың периметрлері нөлге ұмтылса. 
(3.1.4) интегралдау қателігі бір ұяшық үшін 
ij
D

осындай түрде көрсетіледі 
4-сурет. Тор әдісі 

42 
2
2
1
2
1
[
( ,
)
( ,
)]
24
ij
ij
xx
i
j
yy
i
j
R
S h
f
x y
h
f
x y






(3.1.6) 
Өрнекті барлық ұяшықтар бойынша қосып, тор әдісінің қателігін анықтаймыз 
2
2
1 1
2 2
R
c h
c h


(3.1.7) 
мұнда 
1
2
1
1
( , )
,
( , )
,
24
24
xx
yy
D
D
c
f
x y dxdy c
f
x y dxdy






немесе 
2
2
1
2
(
)
R
O h
h


(3.1.8) 
яғни, тор әдісі 
1
h
тор қадамына қатысты екінші қатарлы дәлдікке ие. 
(3.1.6) бағалауында 
1
h
мен 
2
h
өте үлкен дәрежелері алып тасталынғанын 
байқаймыз, онда (3.1.7) қатынастың қателігі асимптоталық, яғни 
1
0
h

және 
2
0
h

дәлдігімен өте үлкен қатарлы аздық 
1
h
мен 
2
h
бойынша. 
(3.1.8) формулаға сүйенсек, берілген дәлдікпен (3.1.1) интегралын есептеу 
үшін Рунгенің қателікті практика жүзінде бағалау ережесін қолдануға болады. 
( , )
f x y
бөліктеудің көмегімен центрдің аймағында әр ұяшық үшін Тейлор 
формуласы бойынша төртінші ретті туынды мүшеліктеріне дейін негізгі мүше 
қателігі (3.1.8) үшін ғана емес, келесі қатарлардың 
1
h
мен 
2
h
мүше қателігінің 
аздығын анықтауға болады. Тейлор формуласы бойынша үшінші ретті 
туындыны қамтитын 
( , )
f x y
мүше бөліктері нүктелерді бөліктеуге қатысты
ij
D

интегралдаудың симметриялы облысына қарамастан, интегралдау 
қателігіне үлес қоспайды. Сондықтан, келесі негізгі мүшеден кейінгіні алдын 
алу үшін,
1
h
мен 
2
h
қатардың кемімелі мүше қателігін 
( , )
f x y
дейін бөліктеп, 
төртінші ретті туындыларды құру керек. Нәтижесінде (3.1.1) интегралды келесі 
түрде жазамыз 
2
2
4
2
2
4
1 1
2 2
1
1
2
2
(
)
h
I
I
c h
c h
O h
h h
h






(3.1.9) 
1
c
мен 
2
c
өрнектері үшін (3.1.7) формулада көрсетілді. Осыны атап айту 
маңызды: 
1
c
мен 
2
c
- 
1
h
мен 
2
h
-ден тәуелді емес тұрақты шамалар, демек түгілі 
олар бір мезетте 0-ге айналмау қажет. 
Солай отыра, егер негізгі мүше қателігі белгілі болса, онда интегралдың 
жуықтау дәлдігін есептеуге болады 

43 
2
2
1 1
2 2
h
I
I
c h
c h



(3.1.10) 
Алайда 
1
c
мен 
2
c
тұрақтылары белгісіз шама болып есептелінеді. (3.1.2) 
интегралын есептеу үшін негізгі мүше қателігін ескере отырып, былай әрекет 
етуге болады. Алдымен 
h
I
мәнін табамыз, содан 
/2
h
I
(3.1.2) интегралының мәні, 
1
/ 2
h
мен 
2
/ 2
h
қадамдарымен және (3.1.5) формуласымен есептелген. Енді 
(3.1.10) өрнегімен келесі қатынасты жаза аламыз 
2
2
1
2
/2
1
2
2
2
h
h
h
I
I
c
c
 



 
 
 


 


(3.1.11) 
Тордың әр 
,
x y
айнымалыларында біркелкі ретпен жинақталады екенін ескере 
отырып, (3.1.10) өрнегінен негізгі мүше қателігін 
2
2
1
2
1
2
2
2
h
h
c
c


 
 



 
 
 
 




белгілеуге 
мүмкіндік береді. 
2
2
1
2
1
2
4
2
2
h
h
h
I
I
c
c


 
 
 



 
 
 
 




(3.1.12) 
Соңғы екі формулалардан келесіні шығарамыз 
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
2
2
2
h
h
h
h
h
h
I
I
c
c
I
c
c




 


 


 








 


 


 


 










Осы қатынастан негізгі мүше қателік формуласы үшін келесі өрнекті аламыз 
2
2
1
2
2
1
2
2
2
3
h
h
I
I
h
h
c
c

 




 


 


(3.1.13) 
Енді (3.1.13) формулаға сәйкес, Рунге ережесі бойынша жуық бағалауын
аламыз 
2
2
3
h
h
h
I
I
I
I



(3.1.14) 
Соңында, (3.1.13) өрнегін (3.1.11) қойып, негізгі мүше қателігін ескере 
отырып интегралдың мәнін (3.1.1) аламыз 

44 
*
/2
4
3
h
h
h
I
I
I
I



Мұндағы, 
*
h
I
- Ричардсон нақтылауы бойынша 
I
интегралының мәні 
Е с к е р т у 5
. Назар салайық, Рунге ережесі бойынша қателіктің 
практикалық бағалауында әр айнымалы үшін бірдей санға біркелкі 
жинақталады, яғни 
/
m n
қатынасы тордың жинақталу кезінде тұрақты болуы 
қажет. Əйтпесе, интегралды қайта есептеу кезінде екі тор бойынша қорытынды 
шығарылмай қалады, яғни бұдан негізгі қателік мүшелігін табылатындай, екі 
тордың әртүрлі өлшемді ұяшықтармен (1.5.1) мен (1.5.2) формулалары 
бойынша құрастырылмай қалады. 
Е с к е р т у 6.
Егерде біз екеуін де нөлге теңестіріп алсақ 
1
2
0,
0
c
c


, 
қателікті бағалау кезінде интегралды Рунге ережесі арқылы есептеуінде 
қолдану мүмкін емес [34]. 
Біз (3.1.5) формула арқылы қарапайым түрдегі интегралды тіктөртбұрыш 
облысы үшін шештік. Егер облыс тіктөртбұрышты болмаса, онда кейбір 
жағдайларда бастапқы интеграл облысты, алмастыруға сәйкес, екі еселі 
интегралға ыңғайлы түрде тіктөртбұрыш облысы бойынша келтіруге болады. 
Мысалдан, егер облыс қисықсызықты төртбұрыш түрінде берілген болса 
1
2
{
,
( )
( )}
D
a
x
b
x
y
x



 
 
, онда айнымалыларды ауыстыру көмегімен 
1
2
1
( )
(
)
,
( ( ))
(
( ( ))
( ( )))
x
x u
b
a u
a y
x u
x u
x u

 








бастапқы 
D
облысы 
квадраттық облысқа келтіріледі 
{0
1,0
1}
D
u

   
 
(5-сурет). 
Екі еселі интегралдың алмасу ережесін еске түсірейік. Егер 
Oxy
жазықтығында шекті жабық 
D
облысы 
Ou

жазықтығының 
D

облысында 
өзара бірмәнді бейнеленсе, онда үзіліссіз дифференциалдық функциялардың 
көмегімен 
( , ),
( , )
x
x u
y
u




, якобиан түрлендірумен 
0
x
x
u
J
y
y
u




 




 
онда келесі формула жарамды 
( , )
( ( , ), ( , ) |
|
D
D
f x y dxdy
f x u
y u
J dud







Тор әдісімен интегралды күрделі форма облысы бойынша да шешуге 
болады, мысалы, қисықсызықты шекарамен (6-сурет). 

45 
5-сурет. Тор әдісі: а) қисықсызықты төртбұрыш облысы; б) квадраттық облыс
Интегралды осы жағдайда былай есептейміз. 
D
облысына тіктөртбұрышты 
торды саламыз, содан интегралды суммаға (3.1.5) 
D
облысында жататын ғана 
барлық нүктелерді қабылдаймыз. Нәтижесінде, бір қатарға (3.1.5) формуланың 
дәлдігі төменделеді, сондықтан, интегралдың дәлдігін жоғарту үшін, тордың 
ұяшықтарын кішірейту қажет.
6-сурет. Тор әдісімен күрделі облыстарды шешу жолы 
Тор әдісі (3.1.5) көп өлшемді мәндермен жеңіл тасымалданады (үш және 
одан көп еселі интегралдармен) екенін аңғаруға болады. 
3.2 Трапеция формуласы арқылы біртіндеп интегралдау.

жүктеу/скачать 1,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: