Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

46 
( )
, ( )
( , )
d
b
c
a
I
F y dy
F y
f x y dx




Осы интегралдарды шешу үшін 
x
пен 
y
бағыттары бойынша жуықтап 
есептеу арқылы трапеция формуласын қолдануға болады. Онда 
1
1,
0
(
)
( ,
)
m
j
i
i
j
i
F y
h
q
f x y

 


(3.2.1) 
мұндағы, 
1,
1
,
0,
2
1 ,
1, 2,3, 4,...,
1
i
i
i
m
q
i
m




 




және 
2
2,
0
(
)
n
j
j
j
I
h
q
F y

 


(3.2.2) 
мұндағы, 
2,
1
,
0,
2
1 ,
1, 2,3,...,
1
j
j
j
m
q
j
n




 




(3.2.1) пен (3.2.2) өрнектерін қойып, біртіндеп интегралдау формуласын аламыз 
1
2
0
0
( ,
)
m
n
h
ij
i
j
i
j
I
I
h h
q
f x y


   


(3.2.3) 
мұндағы,
1,
2,
1
,
0, ;
0,
4
0 мен
,
1,...,
1
1
0 мен
,
1,...,
1
2
1,
1,...,
1,
1,...,
1
ij
i
j
i
m j
n
i
i
m j
n
q
q
q
j
j
n i
m
i
m
j
n













 
 













47 
7-суретте тор көрсетіліп тұр, ол жуықтап есептеудегі (3.2.3) формула 
арқылы 
интегралды 
есептеуде 
қолданылады. 
Нүкте, 
дөңгелектер, 
квадраттармен түйін нүктелерді байқауға болады, мұндағы коэффициенттері, 
сәйкесінше 
1 1
1, ,
2 4
ij
q

. 
Екі рет үзіліссіз дифференциалды функциясы үшін 
( , )
f x y
(3.2.3) формула 
екінші қатарлы дәлдікті 
1
h
, 
2
h
қадамдарына қатысты Рунге ережесін қолдануға 
болады.
7-сурет. Трапеция формуласы арқылы біртіндеп интегралдау 
Е с к е р т у 7. 
Егер біртіндеп интегралдауда тіктөртбұрыш формуласын 
қолдансақ, әрбір 
,
x y
бағыттарымен интегралдаған кезде, нәтижесінде тор 
әдісінің есеп формуласын аламыз. 
Күрделі облыс жағдайында. Біртіндеп интегралдау әдісін тікелей еркін 
форма облысында қолдануға болады, мысалы, қисықсызықты шекарамен. 
Бірақ-та, қарапайым есеп формуласын алу үшін практика жүзінде бастапқы 
интегралды тіктөртбұрыш облысы бойынша интегралдардың суммасына 
біріктіруге тырысады [35]. 
3.3 Гаусстың квадратуралық формуласын қолдану арқылы біртіндеп 
интегралдау.
 
 
 
Квадратуралық формуланы зор дәлдікпен алу үшін Гаусстың формуласын 
қолдануға 
болады. 
Алдын 
ала 
айнымалыларды 
алмастырайық 
( )
(
) / 2
(
) / 2, ( )
(
) / 2
(
) / 2
x u
a
b
u b
a
y
c
d
d
c




  
 


, 
тіктөртбұрышты 
облыс 
{
,
}
a
x
b c
x
d
 
 
квадрат облысқа түрленеді 
{ 1
1, 1
1}
D
u

   
  
. 
Сондықтан, ең алдымен, 
{ 1
1, 1
1}
D
u

   
  
облысы бойынша 
интегралды шешеміз. 

48 
1 1
1 1
( , )
( , )
D
I
f x y dxdy
f x y dxdy
 



 
,
x y
бағыттары бойынша интегралдауды Гаусс квадратуралық формуласы 
арқылы бірдей санды түйіндермен қолданып, біртіндеп интегралдаудың келесі 
формуласын аламыз 
1
1
( ,
)
n
n
n
i
j
i
j
i
j
I
q q f x y




Координаталардың түйін нүктелері мен салмақты коэффициенттердің 
мәндері 
,
x y
бағыттары бойынша берілген кестеден алынады. Ал түйін 
нүктелердің 
орналасуы 
3
n

және 
4
n

үшін 
келесі 
графикте 
иллюстрацияланған. 
8-сурет. Гаусс квадратуралық формула арқылы біртіндеп интегралдау 
тәсіліндегі түйін нүктелердің орналасуы: а) 
3;
n

б) 
4
n

мәндерінде 

49 
Қорытынды 
Қорытындылай келе, анықталған интегралдарды жуықтап есептеу тәсілдері 
берілген интегралдың мәнін анықтағанда, шешім шықпағанда я болмаса шешу 
өте күрделі болған жағдайда маңызды болып табылады. Бірақ айта кетсек, 
интегралдарды жуықтағанмен біз тек қана жуық шаманы алатынымызды ескеру 
қажет. Ал егерде бізге нақты нәтиже керек болса, жуық шаманың орнына 
аналитикалық әдістерді қолданған абзал. 
Зерттеу барысында анықталған интегралдардың жуықтап есептеулерге 
қатысты көптеген әдістер талқыланып, қарастырылды. Олар ғылымның, 
техниканың және экономиканың әртүрлі салаларында кеңінен қолданылады 
екендігіне көз жеткіздік. Дегенмен, мына әдіс басқаларынан өте қолайлы деп 
айта алмаймыз. Əдісті таңдағанда, оның ерекшелігіне де назар аудару қажет. 
Негізгі түсініктерін аштық. Қателігін бағалау, интервалын 
n
бөлікке бөлу, 
біртіндеп интегралдау арқылы жуықтау және т.б. тәсілдерге анализ жасадық. 
Графиктермен салыстыра отырып, бейнелі түрде бақыладық. Дұрыс әдісті 
таңдай отырып, жуықтап есептеу әдісінің едәуір мықты дәлдігіне жететінімізді 
және есептеу процестерін жылдамдата алатынымызды түсіндік. 
Практика жүзінде элементарлық функцияларды интеграл арқылы өрнектеу 
және дәл мәнін табу сирек болады. Сондықтан, интегралдарды шешу үшін 
сандық интегралдау әдістері қолданылады. Олар 
( , )
f x y
интеграл ішіндегі 
функциясын алмастыру, жуықтау ретінде негізделген. Элементарлық 
функцияларда интеграл жеңіл шешіледі. Аппроксимациялық (жуықталған) 
функциялар ретінде, мысалы, көпмүшеліктерді немесе басқа тәсілдерді 
қолдануға болады. 
Жалпылап айтқанда, сандық әдістер өте көп, бірақ-та олардың барлығы 
геометриялық тұрғыда қисықсызықты трапецияның ауданында негізделген. 
Оларды жіктеп, қисықсызықты трапецияны тіктөртбұрыштай, трапеция, 
парабола түрінде бөліп, есептің барынша мүмкін әрі дәл нәтижесіне жеткізуге 
тырыстық. Аталып өткен квадратуралық формулалар белгілі бір заңдылықпен 
және нақты алгоритм бойынша жүріп, ЭЕМ-де және басқа да 
автоматтандырылған құрылғыларда қолдануға мүмкіндік береді. 
Тәсілдердің әрбіреуіне тоқталсақ: тіктөртбұрыш пен трапеция және 
Симпсон әдісі - өте жиі қолданылатын формулалардың бірі. Олар қарапайым 
есептеулерде ықпалын тигізе алады. Бірақ, параболалық интерполяциядан 
тұратын Симпсон формуласы жиірек қолданылады, өйткені есепті дәлірек 
есептейді әрі 
n
шамасы өскен сайын жуықтылығы 
4
1
n
кеми береді. Ал басқа 
әдістердің қолданысына жүгінсек:
- Чебышев әдісі деректер толық түрде берілмеген жағдайда қолданады және сол 
деректермен тұрақты нәтижеге жетуге мүмкіндік береді. Сызықты теңдеулер 
жүйелерінің жуық шамасын минимальді қалдығымен табуға ықпалын тигізеді 

50 
және математика мен статистикада ең кіші квадраттардың жуық шешімін 
анықтауда көмектеседі; 
- Ньютон-Котес әдісі интегралды функция мәндерінің нүктелері бір-бірімен тең 
қашықтықта орналасса ғана тиімді болады. Ал егер нүктелердің орнын 
ауыстырып жіберсе, тиімсіз болып қалып, алдыңғы шартпен шектеліп қалады; 
- Гаусс әдісі нүктелердің орнын ауыстырғанмен дәл мәнін таба алып, Ньютон-
Котес әдісінен озады. Сызықтық алгебралық жүйелерді шешуде маңызды 
орынды алады; 
- Рунге әдісі арқылы белгілі бір интервалда жуықтап есептеуді шығаруға 
болады. Мәселен, аналитикалық түрде шешу көбінде мүмкін емес. Өте дәлді 
аппроксимациялар мен қадамды кеміте отырып дәл жуық мәнге жақындауға 
үлесін тигізеді; 
- Тор әдісі интеграл облысының күрделі формасында шешуге мүмкіндік береді 
және екі еселі анықталған интегралдардың көп өлшемді мәндерімен жеңіл 
тасымалданады және т.б. 
Жуықтап есептеудің маңызды аспектінің бірі – оларды математика 
ғылымының дамуы үшін маңызы. Интегралдарды жуықтап есептеу әдістерін 
қолдану жаңа теория мен әдістерді жасауға, сондай-ақ бар математикалық 
модельдерді тексеруге және нақтылауға мүмкіндік береді. Бұл біздің дүниені 
түсінуіміздің кеңеюіне және күрделі мәселелерді шешуге ықпал етеді. 
Интегралдарды жуықтап есептеу әдістерінің болашағы жаңа алгоритмдер мен 
бағдарламалық қамтамасыз етудің дамуымен, сонымен қатар компьютерлік 
техниканың мүмкіндіктерінің кеңеюімен байланысты. Бұл одан да күрделі және 
нақты есептерді шешуге мүмкіндік береді, бұл математикалық зерттеулердің 
және оның практикада қолданылуының тиімділігі мен сапасын айтарлықтай 
арттырады. 
Осылайша, анықталған интегралдарды жуықтап есептеу әдістері 
математикада және оны қолдануда маңызды құрал болып табылады. Əдістердің 
әрқайсысының артықшылықтары мен кемшіліктері бар және олардың таңдауы 
нақты есептеулер үшін қажетті дәлдікке байланысты. Кейбір әдістер, мысалы, 
Монте-Карло әдісі, басқа әдістерді қолдану қиын болған жағдайларда пайдалы 
болуы мүмкін. Компьютерлік есептеулер көмегімен әдістердің мүмкіндіктерін 
кеңейту дәлірек нәтиже алуға мүмкіндік береді және есептерді шешуге кететін 
уақытты қысқартады. Жалпы алғанда, интегралдарды жуықтап есептеу әдістері 
ғылымда, техникада, экономикада және нақты сандық анықтамаларды қажет 
ететін басқа салаларда кеңінен қолданылады. 
Көріп отырғандай, әр тәсіл өз қасиеттерімен уникальді, ерекшелі және 
тарихы да қазыналы. Бір жағынан назар аударсақ, тәсілдердің көптүрлілігі сол 
әдістерді құрған ғұлама математиктердің жандандырған еңбегінің өшпеуіне 
әкеліп соқтырады деген ойдамын. Барлық тәсілдерді тиімді қолдануға 
мүмкіндік туғызады, онымен қоса қазіргі заманның автоматизациясына, 
тақырыпта аталып өткен салалардың өркендеуіне шексіз ықпал етеді. 

51 
Пайдаланылған дереккөздер тізімі 
1 Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука,1989. 432 с.
2 Самарский А.А. Введение в численные методы. СПб.: Издательство «Лань», 
2005. 288 с.
3 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: 
Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 632 с.
4 Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам. 
М.: Университетская книга, Логос, 2006. 184 с.
5 Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.
6 Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
7 Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для 
инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с. 
8 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 
1987. – 432 с.
9 Вержбицкий В.М. Основы численного анализа. − М.: Высшая школа, 2001. − 
840 с.
10 Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. − М.: Наука, 1967. − 
500 с.
11 Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В., Рудченко Е.А. Scilab: Решение инженерных и 
математических задач. − М.: ALT Linux: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. − 
260 с.
12 Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы, – М., 1977. – 440 с.
13 Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. 2-
том. Москва: Наука, 1977. – 399 с.
14 Сұлтангазин Ө., Атанбаев С. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 2-кітап, 
Алматы: 2001. – 287 б. 4. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. 
М., 1989. – 607 с.
15 Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. т. 2, М.: Наука, 1962. – 
640 с.
16 Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: 
Наука, 1987 г. – 600 с.
17 Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. – 429с.
18 Самарский А. А. Теория разностных схем. Москва, 1977. – 514 с.
19 Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. – 
Москва: Наука, 1978. – 588 с.
20 Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических 
уравнений. – Москва: Наука, 1976 г. – 352 с.
21 Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука. 1987. – 511 с.
22 Дробышевич В. И., Дымников В. П., Ривин Г. С. Задачи по вычислительной 
математике. – М. Наука. 1980. – 144 с.
23 Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М. 
Наука. 1966.

52 
24 Альмуханбетов Н. А., Бабалиев А. М. Численные методы линейной алгебры 
и дифференциальных уравнений. – Караганда: 1988. – 127 с.
25 Бабалиев Ə. М., Əлібиев Д. Б. Есептеу математикасына кіріспе. – Қарағанды: 
2006. – 230 б.
26 Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – 
Л.: 1963. – 734 с.
27 Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. – 
Москва: Высшая школа, 2004.
28 Рашбаев Ж. Сандық әдістер курсының Зертханалық практикумы: Оқу 
құралы. – Алматы: Ғылым, 2002. – 138 б.
29 Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и 
упражнениях. Москва, 1988. – 190 с.
30 Əбдіманапов С., Игіліков Ə. Орысша-қазақша математикалық сөздік. 
Алматы, 1993. – 173 б. 21. Волков Е. А. Численные методы. М. Наука, 1982. 
31 Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие 
для втузов / Г. С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. - М.; Владимир: 
Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2010. – 495 с.
32 Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для вузов. Т. 
1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. 
Ряды / Л. Д. Кудрявцев. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 399 с.
33 Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. 
пособие для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - М.: 
ИнтегралПресс, 2004. – 415 с.
34 Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полн. курс / Д.Т. 
Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с. 
35 Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа, Том 2, 1968. - 153 с. 

53 

жүктеу/скачать 1,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: