2. Квадратуралар арқылы шешілетін теңдеулердің кейбір

57
ə)
0
)
,
(
)
(
)
1
(
=
−
n
n
y
y
F
(13)
түріндегі теңдеулер.
Егер теңдеу
)
(
n
y
бойынша шешілсе, яғни 
1
( )
(
)
(
),
n
n
y
f y
−
=
(14)
)
1
(
−
=
n
y
u
алмастыруымен теңдеуді 
)
(
u
f
u
=
′
(15)
түріне келтіреміз. Жалпы интегралы
1
( )
du
x
C
f u
+
=
∫
)
0
)
(
(
≠
u
f
(16)
u
-бойынша шешілсе,
1
1
1
(
)
( , ),
( , )
n
u
x C
y
x C
ψ
ψ
−
=
=
(17)
(12) – түрдегі теңдеуді аламыз. Ал бұдан
2
1
2
1
1
( , )
.
n
n
n
n
x C dxdx
dx
C x
C
x
C
ψ
−
−
−
+
+
+
+
∫∫ ∫
Теңдеуді (13) параметр енгізу əдісімен де шешуге болады
1
( )
(
)
( ),
( ).
n
n
y
t
y
t
ϕ
ψ
−
=
=
Теңдіктен 
1
(
)
( )
n
n
dy
y dx
−
=
dx
-ті табамыз:
1
(
)
( )
( ) .
( )
n
n
dy
t dt
dx
y
t
ψ
ϕ
−
′
=
=
Ал бұдан
1
1
( )
( ,
),
( )
t
x
dt
C
t C
t
ψ
ξ
ϕ
′
=
+
≡
∫
(18)

58
2
1
2
2
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
,
,
( )
( )
n
n
n
t
t
t
t
dy
y
dx
dt y
dt
C
t
t
ψ ψ
ψ ψ
ϕ
ϕ
−
−
−
′
′
=
=
=
+
∫
3
2
(
)
(
)
,
,
,
n
n
dy
y
dx
dy
y dx
−
−
=
= ′
…
2
( , ,
,
).
n
n
y
y dx
C
t C
C
η
=
+
≡
′
∫
…
(19)
Сонымен, (13) теңдеудің параметрлі түрдегі интегралы (18)
жəне (19) теңдіктері жүйесімен анықталады.
б)
0
)
,
(
)
(
)
2
(
=
−
n
n
y
y
F
(20)
түріндегі теңдеулер. 
Алмастыру
u
y
n
=
−
)
2
(
(21) 
нəтижесінде 
0
)
,
(
=
′′
u
u
F
(22)
теңдеуі шығады.
Егер 
)
(
u
f
u
=
′′
(23)
болса, онда екі жағын да 
u
′
2
-ке көбейтсек,
u
u
f
u
u
′
=
′′
′
)
(
2
2
(24)
теңдігі шығады. Бұдан теңдеудің (23) бірінші интегралы
2
1
2
( )
u
f u du
C
=
+
′
∫
(25)
жəне
2
1
2
0
2
, (
( )
)
( )
du
dx
f u du
C
f u du
C
=
+
≠
±
+
∫
∫

59
2
1
2
( )
du
x
C
f u du
C
= +
±
+
∫
∫
(26)
теңдігін аламыз.
Алмастыру (21)-ді ескерсек, (26)-дан теңдеудің (20) аралық 
интегралы 
0
)
,
,
,
(
2
1
)
2
(
=
−
C
C
y
x
n
ψ
шығады. Бұл теңдеу (11) түрге 
жатады, квадратурада интегралданады.
Теңдеу (20) параметрлік түрге келтірілетін болса, 
( )
( ),
n
y
t
ϕ
=
)
(
)
2
(
t
y
n
ψ
=
−
:
1
2
1
(
)
( )
(
)
(
)
,
,
n
n
n
n
dy
y dx dy
y
dx
−
−
−
=
=
1
1
(
)
(
)
( ) ( ) ,
n
n
y
dy
t
t dt
ϕ ψ
−
−
=
′
1
1
1
2
(
)
( ) ( )
( , )
n
y
t
t dt
C
t C
ϕ ψ
ξ
−
= ±
+
≡
′
∫
болып интегралданады.
Сонымен
)
(
)
1
(
,
n
n
y
y
−
- дер үшін параметрлік жазбалар
1
1
( )
(
)
( ),
( , )
n
n
y
t
y
t C
ϕ
ξ
−
=
=
алдық, яғни есеп (13) түрдегі теңдеуді 
интегралдауға келтірілді.
1-мысал.
Теңдеудің 
x
y
1
=
′′
жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. 
1
1
ln
,
y
y dx
dx
x
C
x
=
=
=
+
′
′′
∫
∫
1
1
2
(ln
)
ln
y
y dx
x
C dx
x
x
x
C x
C
=
=
+
=
− +
+
′
∫
∫
2-мысал.
Теңдеудің 
1
2
2
=
′′
+
′′′
y
y
бастапқы шарттарды
,
0
)
0
(
=
y
1
)
0
(
,
1
)
0
(
−
=
′′
=
′
y
y
қанағаттандыратын дербес шешімін 
табу керек.
Шешуі. 
u
y
=
′′
алмастыруын енгізсек, 
,
1
2
2
=
+
′
u
u
2
1
u
u
−
±
=
′
бірінші ретті теңдеуі шығады. Бұдан:

60
1
1
2
1
, arcsin
,
sin(
),
du
dx
u
x
C
u
C
x
u
=
= +
=
+
−
,
)
sin(
1
x
C
y
+
=
′′
1
1
2
sin(
)
cos(
)
,
y
y dx
C
x dx
C
x
C
=
=
+
= −
+
+
′
′′
∫
∫
1
2
3
sin(
)
y
y dx
C
x
C x
C
=
= −
+
+
+
′
∫
Бастапқы шарттардан тұрақтыларды
3
2
1
,
,
C
C
C
анықтаймыз
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
+
−
=
+
−
1
sin
,
1
cos
,
0
sin
1
2
1
3
1
C
C
C
C
C
.
1
,
1
,
2
)
1
arcsin(
3
2
1
−
=
=
−
=
−
=
C
C
C
π
Сонымен, дербес шешім
.
1
cos
1
2
sin
−
+
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
x
x
x
x
y
π
3. Реті төмендетілетін кейбір теңдеулердің түрлері
а) Ізделінді функция жəне оның бірнеше туындылары
жоқ теңдеулер
.
)
1
(
0
)
,
,
,
,
(
)
(
)
1
(
)
(
n
k
y
y
y
x
F
n
k
k
<
≤
=
+
…
(27)
Алмастыру 
u
y
k
=
)
(
арқылы, теңдеу 
)
(
k
n
−
- реттіге кел-
тіріледі
.
0
)
,
,
,
,
(
)
(
=
′
−
k
n
u
u
u
x
F
…
(28)

61
Егер теңдеу (28) интегралданса, бастапқы айнымалыға 
y
көшу нəтижесінде, теңдеудің (27) аралық интегралын табамыз
)
,
,
,
(
1
)
(
k
n
k
C
C
x
y
−
=
…
ϕ
немесе 
.
0
)
,
,
,
,
(
1
)
(
=
Φ
−
k
n
k
C
C
y
x
…
(29)
Бұл алынған теңдеу қарастырылған түрге (11) жатады.
3-мысал.
0
1
)
4
(
)
5
(
=
−
y
x
y
теңдеуінің жалпы шешімін табу 
керек.
Шешуі. 
u
y
=
)
4
(
деcек, 
0
=
−
′
x
u
u
бірінші ретті теңдеуі 
шығады.
Бұдан
4
1
1
( )
, ln
ln
ln ,
,
du
dx
u
x
C
u
C x
y
C x
u
x
=
=
+
=
=
.
5
4
2
3
3
2
5
1
C
x
C
x
C
x
C
x
C
y
+
+
+
+
=
ə) Тəуелсіз айнымалысы айқын берілмеген теңдеулер
.
0
)
,
,
,
(
)
(
=
′
n
y
y
y
F
…
(30)
Алмастыру
)
(
y
y
ρ
=
′
(31)
нəтижесінде теңдеудің реті бірге төмендейді
,
dy
d
dy
y
dx
dy dx
ρ
ρρ
′
=
=
⋅
=
′′
′
2
(
) ,
dy
dy
dy
y
dx
dy
dx
ρ ρ ρ ρ
′′
′′
=
=
⋅
=
+
′′′
′′
′
(32)
………………………………..
1
1 2
1
( )
(
)
( )
( , ,
,
)
,
, ,
,
i
n
n
i
i
d
y
g
i
n
dy
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
−
⎛
⎞
=
=
=
−
′
⎜
⎟
⎝
⎠
…
…

62
(31) жəне (32) - лерді теңдеуге (30) қойсақ, жаңа белгісіз функ-
ция 
)
(
y
ρ
бойынша (n-1) ретті теңдеу шығады:
.
0
)
,
,
,
,
(
)
1
(
1
=
′
−
n
y
F
ρ
ρ
ρ
…
(33)
теңдеудің (33) жалпы интегралы 
0
)
,
,
,
,
,
(
1
2
1
1
=
Φ
−
n
C
C
C
y
…
ρ
бел гілі болса, онда:
0
)
,
,
,
,
,
(
1
2
1
1
=
′
Φ
−
n
C
C
C
y
y
…
(34)
теңдеудің (30) 
)
1
(
−
n
– ретті аралық интегралы. Бұл теңдеудің
(34) жалпы интегралы 
0
)
,
,
,
,
,
(
2
1
=
Φ
n
C
C
C
y
x
…
бастапқы тең-
деудің (30) жалпы интегралы болады.
Алмастыру (31) кезінде теңдеудің 
const
y
=
шешімдері 
жоғалуы мүмкін. Тікелей теңдеуге (30) қою жолымен бұндай 
шешімдер мүмкіндігін тексеру қажет.
4-мысал.
.
0
2
2
=
′′
+
′
y
y
y
Шешуі. 
2
2
0
( ),
,
,
d
d
y
y
y
y
dy
dy
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=
=
+
=
′
′′
2
0
.
d
y
dy
ρ
ρ ρ
⎛
⎞
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Бұдан 
0
=
ρ
немесе 
2
0
.
d
y
dy
ρ
ρ +
=
Егер 
0
=
ρ
болса, 
0
,
.
dy
y
const
dx
=
=
Егер 
2
0
d
y
dy
ρ
ρ
+
=
болса, 
1
1
1
2
, ln
ln
,
;
d
dy
C
y
C
y
y
ρ
ρ
ρ
ρ
= −
=
=
3 2
1
1
1
2
2
3
/
,
,
.
dy
C
ydy
C dx
y
C x
C
dx
y
=
=
=
+
б) 
)
(
,
,
,
n
y
y
y
…
′
- бойынша біртекті теңдеулер
Теңдеудің
0
)
,
,
,
,
(
)
(
=
′
n
y
y
y
x
F
…
(35)
функциясы 
)
(
,
,
,
n
y
y
y
F
…
′
- дер бойынша көрсеткіші 
m
бір-
текті, яғни

63
0
( )
( )
( , , ,
,
)
( , , ,
,
) (
).
n
m
n
F x ty ty
ty
t F x y y
y
t
=
>
′
′
…
…
Алмастыру
y
yu
=
′
(36)
нəтижесінде теңдеудің (35) реті бірге төмендетіледі.
,
y
yu
=
′
,
)
(
2
u
u
y
y
′
+
=
′′
(37)
. . . . . . .
1
( )
(
)
( , ,
,
) .
n
n
y
yg u u
u
−
=
′
…
(37) – ні (35)-ке қойсақ
0
))
,
,
,
(
,
,
,
,
1
,
(
)
1
(
2
=
′
′
+
−
n
m
u
u
u
g
u
u
u
x
F
y
…
…
(38)
теңдігі шығады. Бұдан 
u
- бойынша 
)
1
(
−
n
ретті теңдеуді аламыз
0
))
,
,
,
(
,
,
,
,
1
,
(
)
1
(
2
=
′
′
+
−
n
u
u
u
g
u
u
u
x
F
…
…
(39)
теңдеудің (39) жалпы шешімі 
)
,
,
,
(
1
1
−
=
n
C
C
x
u
…
ϕ
белгілі болса, 
(36) теңдіктен, бастапқы теңдеудің (35) жалпы шешімі шығады:
n
x C
C
dx
n
y C e
1
1
( , , ,
)
ϕ
−
∫
=
…
(40)
Шешім 
0
=
y
, 
0
=
n
C
мəнінде алынады.
)
(
,
,
,
n
y
y
y
…
′
бойынша біртекті теңдеудің реті 
∫
=
zdx
e
y
ал-
мас тыруымен де төмендетіледі.
5-мысал.
2
2
6
yy
y
xy
−
=
′′
′
теңдеуінің жалпы шешімін табу 
керек.
Шешуі. 
∫
=
zdx
e
y
десек, 
2
,
(
)
zdx
zdx
y
ze
y
e
z
z
∫
∫
=
=
+
′
′′
′
теңдеу 
x
z
6
=
′
түрге келеді. Бұдан
2
3
1
1
2
3
2
1
3
(
)
,
.
x
C dx
x
C x C
z
x
C
y
e
e
+
+
+
∫
=
+
=
=

64
в) Жалпыланған – біртекті теңдеулер
Егер 
k
жəне 
m
тұрақтылары табылып, теңдік орындалса, 
теңдеу 
0
)
,
,
,
,
(
)
(
=
′
n
y
y
y
x
F
…
жалпыланған біртекті деп аталады:
)
,
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
)
(
)
(
1
n
m
n
n
k
k
k
y
y
y
x
F
y
y
y
x
F
…
…
′
=
′
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
. (41)
Алмастырулар 
0
(
,
)
,
t
t
kt
x
x
e
x
e
y
ue
<
= −
=
=
(42)
нəтижесінде тəуелсіз айнымалысы 
t
жоқ, реті бірге төмендетіле-
тін (3б) теңдеу аламыз. Туындылар былай өзгереді:
1
(
)
(
)
,
t
kt
kt
t
k
t
dy
du
y
e
e
kue
e
u
ku e
dt
dt
−
−
−
⎛
⎞
=
=
+
=
+
′
′
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2
1
1
(
)
(
(
)
(
) )
,
t
k
t
dy
y
e
u
k
u
k k
u e
dt
−
−
′
=
=
+
−
+
−
′′
′′
′
(43)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
)
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
t
n
k
n
n
e
u
u
u
g
y
−
′
=
…
(42), (43) – терді теңдеуге қойсақ
1
1
0
0
( )
( )
( , ,
,
)
,
( , ,
,
)
mt
n
n
e F u u
u
F u u
u
=
=
′
′
…
…
еркін айнымалысы жоқ теңдеу шығады.
6-мысал.
Теңдеуді 
0
)
(
3
4
=
−
′
+
′′
y
y
x
y
x
интегралдау қажет.
Шешуі. 
3
4
)
(
)
,
,
,
(
y
y
x
y
x
y
y
y
x
F
−
′
+
′′
=
′′
′
=
−
′
+
′′
⋅
=
′′
′
−
−
−
−
3
1
)
2
(
4
4
)
2
(
)
1
(
)
(
)
,
,
,
(
y
y
x
y
x
y
y
y
x
F
k
k
k
k
k
k
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
),
1
(
)
,
,
,
(
)
(
3
3
3
4
2
=
′′
′
=
−
′
+
′′
=
+
k
y
y
y
x
F
y
y
x
y
x
k
k
λ
λ
λ
демек теңдеу жалпыланған біртекті 
.
)
1
,
3
(
=
=
k
m
,
t
t
x
e
y
ue
=
=
ал мас тыру ла ры нəтижесінде 
3
4
(
)
(
)
t
t
t
t
e
u
u e
e u
u
ue
−
⎡
⎤
+
+
+
−
=
′′
′
′
⎣
⎦
3
0
0
,
u
u
u
=
+
+
=
′′
′
′
теңдеуін аламыз.

65
Теңдеуде тəуелсіз айнымалы 
t
айқын берілмегендік 
тен 
( ),
u
p u
=
′
dp
u
p
du
=
′′
алмастыруларын қолданамыз. Онда
3
0
,
dp
p
p
p
du
+ +
=
2
1
0
,
dp
p
p
du
⎛
⎞
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
,
,
p
u
=
=
′
,
;
u
C y
Cx
=
=
2
1
(
),
dp
p
du
= −
+
2
1
,
dp
du
p
= −
+
1
1
1
1
,
(
) ,
(
),
(
)
,
arctgp
C
u
p
tg C
u
u
tg C
u
ctg C
u du
dt
=
−
=
−
=
−
−
=
′
1
1
0
(
)
ln
(
), ln sin(
)
ln ,
ctg C
u du
t
C
C
u
C
t
C
−
= −
>
−
= − +
∫
1
2
1
2
sin(
)
,
arcsin
.
t
t
u
C
C
e
u
C
C e
−
−
−
=
=
+
Алмастыруды 
1
,
t
y
ux
e
x
−
=
=
ескерсек, шешім
2
1
arcsin
.
C
y
x C
x
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
y
Cx
=
шешімі 
C
C
C
=
=
1
2
,
0
мəндерінде шығады.
г) Дəл туындылы теңдеулер
Теңдеудің 
0
)
,
,
,
,
(
)
(
=
′
n
y
y
y
x
F
…
функциясы 
F
бір 
)
,
,
,
,
(
)
1
(
1
−
′
Φ
n
y
y
y
x
…
функциясының туындысы болатын
1
1
( )
(
)
( , , ,
,
)
( , , , ,
)
n
n
d
F x y y
y
x y y
y
dx
−
=
Φ
′
′
…
…
(44)
теңдеулер дəл туындылы деп аталады. (44) теңдікті ескерсек
1
)
1
(
1
)
,
,
,
,
(
C
y
y
y
x
n
=
′
Φ
−
…
бастапқы теңдеудің бірінші инте гра-
лын жəне 
)
1
(
−
n
- ретті теңдеуді береді. Сонымен дəл туындылы 
теңдеудің реті бірге төмендетілетінін көреміз.
Бастапқы теңдеу дəл туындылы болмаса, кейде 
)
,
,
,
,
(
)
(
n
y
y
y
x
…
′
=
μ
μ
интегралдауыш көбейткішімен дəл туын-
дылы етіледі. Мұндайда артық шешімдер енгізілуі немесе кейбір 
шешімдер жойылуы мүмкін.
Коши есебін теңдеудің ретін төмендету əдісімен шешкенде, 
тұрақтыларды əрбір интегралдаудан соң тауып отыру тиімді.
5–684

66
7-мысал.
.
0
)
(
2
=
′
+
′′
y
y
y
Шешуі. Теңдеуді 
0
)
(
=
′
y
y
d
түрінде жазсақ, 
1
C
y
y
=
′
бірінші 
интегралын береді. Бұдан 
2
1
1
2
,
.
ydy
C dx
y
C x
C
=
=
+
8-мысал.
.
0
)
(
2
=
′
−
′′
y
y
y
Шешуі. Теңдеуді
2
1
y
=
μ
көбейткішіне көбейтсек, 
0
2
2
=
′
−
′′
y
y
y
y
теңдеуі немесе
0
d
y
dx
y
⎛ ⎞
′ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
шығады. Бұдан
,
1
C
y
y
=
′
1
1
1
2
2
2
0
ln
, ln
ln
,
,
.
C x
d
y
C
y
C x
C
y
C e
C
dx
=
=
+
=
≠

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: