§11. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті

79
1-мысал.
.
0
8
2
=
−
′
−
′′
y
y
y
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуінің
0
8
2
2
=
−
−
k
k
түбірлері
.
4
,
2
2
1
=
−
=
k
k
Онда жалпы шешімі
.
4
2
2
1
x
x
e
C
e
C
y
+
=
−
2-мысал.
16
0
.
y
y
−
=
′′′
′
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуінің 
3
16
0
k
k
−
=
түбірлері 
4
,
0
,
4
3
2
1
=
=
−
=
k
k
k
болғандықтан, жалпы шешімі
.
4
3
2
4
1
x
x
e
C
C
e
C
y
+
+
=
−
Теңдеудің коэффициенттері нақты, сондықтан комплекс тү-
бірлері түйіндес болып келеді. Комплекс түйіндес түбірлерге
i
k
β
α +
=
1
жəне
i
k
β
α −
=
2
тиісті шешімдер
x
i
x
i
e
e
)
(
)
(
,
β
α
β
α
−
+
екі нақты шешімдермен алмастырылады:
)
sin
(cos
)
(
x
i
x
e
e
x
x
i
β
β
α
β
α
+
=
+
,
)
sin
(cos
)
(
x
i
x
e
e
x
x
i
β
β
α
β
α
−
=
−
.
Бұл шешімдердің нақты жəне жорамал бөліктері
cos
,
x
e
x
α
β
sin
x
e
x
α
β
əрқайсысы теңдеудің шешімі, сондықтан комплекс 
түйіндес түбірлерге тиісті деп қарастырылады.
3-мысал.
2
10
0
y
y
y
−
+
=
′′
′
.
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуінің
2
2
10 0
k
k
−
+
=
түбірлері
1
1 10 1 3
,
k
i
= ±
−
= ±
.
3
1
,
3
1
2
1
i
k
i
k
+
=
−
=
Теңдеудің жалпы шешімі 
1
2
3
3
( cos
sin ).
x
y
e C
x
C
x
=
+
4-мысал.
.
0
2
=
+
′′
y
a
y
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуінің 
0
2
2
=
+
a
k
түбірлері
.
2
,
1
i
a
k
±
=
Теңдеудің жалпы шешімі: 
.
sin
cos
2
1
x
a
C
x
a
C
y
+
=
Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің ішінде қайталанған 
(еселі) түбірлері кездессе, оларға тиісті əртүрлі
kx
e
сызықты 
тəуелсіз шешімдер саны 
n
- ге жетпейді. Жетпейтін сызықты 
тəуелсіз шешімдерді басқаша іздестіреді.
Сипаттамалық теңдеудің 
i
k
түбірі 
i
α
еселі болса, онда бұл 
түбірге барлығы 
i
α
келесі сызықты тəуелсіз шешімдер тиісті

80
1
,
,
,
.
i
i
i
i
k x
k x
k x
e
xe
x
e
α
−
…
Теңдеудің 
m
сипаттамалық түбірлері 
i
k
, еселіктері 
i
α
, 
n
m
=
+
+
+
α
α
α
…
2
1
болса, онда жалпы 
шешімі
∑
=
−
−
+
+
+
+
=
m
i
x
k
i
i
i
i
i
i
i
e
x
C
x
C
C
C
y
1
1
,
1
2
2
1
0
.
)
(
α
α
5-мысал.
.
0
3
3
=
+
′
+
′′
+
′′′
y
y
y
y
Шешуі. Сипаттамалық теңдеудің
0
1
3
3
2
3
=
+
+
+
k
k
k
немесе
0
)
1
(
3
=
+
k
үш еселі түбірі
1
3
2
1
−
=
=
=
k
k
k
бар. Онда жалпы 
шешімі 
.
)
(
2
3
2
1
x
e
x
C
x
C
C
y
+
+
=
Сипаттамалық теңдеудің комплекс түбірі
,
p
qi
+
еселігі
α
болса, онда оған тиісті шешімдері 
(
)
(
)
,
,
p qi x
p qi x
e
xe
+
+
2
1
(
)
(
)
,
,
.
p qi x
p qi x
x e
x
e
α
+
−
+
…
Эйлер формуласымен 
(
)
(cos
sin )
p qi x
px
e
e
qx
i
qx
+
=
+
түрлен-
діріп, нақты жəне жорамал бөліктері бойынша жазылады. 
Комплекс түйіндес 
p
qi
−
түбірін ескерсек, барлығы 
α
2
нақты 
шешімдерін аламыз:
2
1
2
1
cos ,
cos ,
cos ,
,
cos ,
sin ,
sin ,
sin ,
,
sin
px
px
px
px
px
px
px
px
e
qx xe
qx x e
qx
x
e
qx
e
qx
xe
qx x e
qx
x
e
qx
α
α
−
−
⎫
⎬
⎭
…
…
(3)
Сонымен, 
α
еселі комплекс түйіндес 
p
qi
±
түбірлеріне 
α
2
сызықты тəуелсіз шешімдері (3) тиісті.
6-мысал.
4
2
8
16
0
( )
y
y
y
+
+
=
.
Шешуі. Сипаттамалық теңдеуі 
4
2
8
16 0
k
k
+
+
=
немесе 
,
0
)
4
(
2
2
=
+
k
екі еселі 
i
k
2
±
=
түбірі бар. Онда жалпы шешімі
.
2
sin
)
(
2
cos
)
(
4
3
2
1
x
x
C
C
x
x
C
C
y
+
+
+
=
2. Эйлер теңдеулері. Коэффициенттері 
i
a
тұрақтылар,
,
0
1
)
1
(
1
1
)
(
0
=
+
′
+
+
+
−
−
−
y
a
y
x
a
y
x
a
y
x
a
n
n
n
n
n
n
(4)
түрдегі теңдеулер Эйлер теңдеулері деп аталады, айнымалы
t
e
x
=
(немесе 
,
t
e
x
−
=
егер 
0
<
x
) алмастыруымен, тұрақты 
коэффициентті сызықтық біртекті теңдеуге келтіріледі.

81
Шындығында
,
t
dy
dy
e
dx
dt
−
=
2
2
2
2
2
(
),
t
d y
d y
dy
e
dx
dt
dt
−
=
−
. . . . . . . .
2
1
2
2
(
)
k
k
kt
k
k
k
d y
dy
d y
d y
e
dx
dt
dt
dt
β
β
β
−
=
+
+
+
(5)
Теңдік (5) индукция əдісімен дəлелденеді.
Сонымен, Эйлер теңдеуіне
0
0
k
n
k
n k
k
k
d y
a
x
dx
−
=
=
∑
(4׳) 
сызықты түрде кіретін
2
1
2
2
k
k
k
k
k
k
d y
dy
d y
d y
x
dx
dt
dt
dt
β
β
β
=
+
+
+
кө-
бейтінді, жаңа айнымалы 
t
бойынша да сызықты, яғни түр лен-
ген теңдеу де тұрақты коэффициентті сызықтық болып шығады:
1
0
1
1
1
0
n
n
n
n
n
n
d y
d
y
dy
b
b
b
b y
dt
dt
dt
−
−
−
+
+
+
+
=
. (6)
Дербес шешімдері 
kt
y
e
=
түрінде ізделінетін (6) теңдеусіз-
ақ, Эйлер теңдеуі шешімдерін 
k
x
y
=
түрінде іздестіруге болады.
Онда
0
)
2
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
0
=
+
+
+
−
−
+
+
−
−
n
a
n
k
k
k
a
n
k
k
k
a
…
…
…
(7)
теңдеуінен анықталатын 
i
k
түбірлеріне, еселіктері 
i
α
, келесі 
шешімдер тиісті 
1
2
,
ln ,
ln ,
,
ln
;
i
i
i
i
i
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
α
−
…
комплекс 
түйіндес 
,
p
qi
±
еселіктері 
α
түбірлеріне
1
cos( ln ),
ln cos( ln ),
,
ln
cos( ln ),
p
p
p
x
q
x
x
x
q
x
x
x
q
x
α
−
…
1
sin( ln ),
ln sin( ln ),
,
ln
sin( ln )
p
p
p
x
q
x
x
x
q
x
x
x
q
x
α
−
…
шешімдері тиісті.
6–684

82
7-мысал
.
2
5
0
2
.
x y
xy
y
+
− =
′′
′
Шешуі. Теңдеудің шешімін 
k
x
y
=
түрінде іздестіреміз. 
Онда
,
0
1
2
5
)
1
(
=
−
+
−
k
k
k
,
2
,
2
1
2
1
−
=
=
k
k
жалпы шешімі 
.
2
2
2
1
1
−
+
=
x
C
x
C
y
8-мысал.
.
0
2
=
+
′
−
′′
y
y
x
y
x
Шешуі. Шешімін
k
x
y
=
түрінде іздестірсек,
1
(
)
k k
k
− −
,
0
)
1
(
,
0
1
2
=
−
=
+
−
k
k
.
1
2
1
=
=
k
k
Онда жалпы шешімі 
1
2
0
(
)
(
ln ) .
x
y
C
C
x x
>
=
+
9-мысал.
.
0
2
=
+
′
+
′′
y
y
x
y
x
Шешуі. Шешімін 
k
x
y
=
түрінде іздестірсек, 
.
,
0
1
)
1
(
2
,
1
i
k
k
k
k
±
=
=
+
+
−
.
,
0
1
)
1
(
2
,
1
i
k
k
k
k
±
=
=
+
+
−
Онда жалпы шешімі 
1
2
0
(
)
cos ln
sin ln .
x
y
C
x
C
x
>
=
+
Эйлер теңдеулері 
1
1
0
1
( )
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
a ax
b y
a ax
b
y
−
−
+
+
+
+
…
1
0
(
)
n
n
a
ax
b y
a y
−
+
+
+
=
′
(8)
1
ax
b
x
+ =
алмастыруымен (4) түрге келтіріледі. Теңдеудің (8)
дербес шешімдері 
(
)
k
y
ax
b
=
+
түрінде іздестіріледі немесе 
(
,
t
t
ax
b
e ax
b
e
+ =
+ = −
егер 
0
ax
b
+ <
болса) алмастыруымен 
тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті теңдеуге келтіріледі.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: