§12. Сызықтық біртекті емес (біртексіз) теңдеулер Сызықтық біртексіз теңдеуді
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
0
x y x a y x a y x a n n n ϕ
=
+
+
+
−
қарастырылып отыр-
ған аралықта
0
)
(
)
,
(
0
≠
=
x a b a I болса,
1
1
( )
(
)
( )
( )
( ),
n n n y p x y p x y f x −
+
+
+
=
(1)
түріне келтіреміз немесе
[ ]
)
(
x f y L =
түрінде жазамыз.
83 Егер
( )
f x жəне
1
( )
,
i p x i n =
функциялары кесіндіде
b x a ≤
≤
үзіліссіз болса, онда теңдеудің (1) бастапқы шарттарды
1
,
1
,
)
(
)
(
0
0
)
(
−
=
=
n k y x y k k қанағаттандыратын жалғыз шешімі
бар.
Шындығында,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
x f y x p y x p y x p y n n n n +
−
−
−
−
=
−
−
(1׳)
теңдігінің оң жағындағы функция, бастапқы шарт нүктесінің
төңірегінде шешім бар жəне жалғыз болуы туралы теорема
шарттарын орындайды:
1) оң жағы барлық аргументтері бойынша үзіліссіз;
2) барлық
1
,
0
)
(
−
=
n k y k бойынша шектеулі туындылы.
Сызықтық оператордың негізгі қасиеттерінен
[ ]
[ ] [
]
[ ] [ ]
1
2
1
2
,
L Cy CL y L y y L y L y =
+
=
+
тікелей туындай тын
келесі тұжырымдарды келтірейік:
1) Біртексіз теңдеудің шешімі
y ~
жəне біртекті теңдеудің
шешімі
0
y қосындысы
,
~
0
y y +
біртексіз теңдеудің шешімі, яғни
[ ]
[ ]
0
0
( ),
L y f x L y ≡
≡
болса, онда
[
]
0
( );
L y y f x +
≡
2) Егер
[ ]
)
(
x f y L i i ≡
болса,
1
1
( );
m m i i i i i i L y f x α
α
=
=
⎡
⎤ ≡
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
3) Егер
[
]
( )
( )
( )
( )
L u x i x U x iV x ϑ
+
≡
+
болса, онда
[
]
( )
L u x ≡
[
]
( ),
( )
( ).
U x L x V x ϑ
≡
Теорема. Біртексіз теңдеудің
[ ]
)
(
x f y L =
жалпы шешімі, осы
теңдеуге тиісті біртекті теңдеудің
[ ]
0
=
y L жалпы шешімі
∑
=
n i i i y C 1
мен біртексіз теңдеудің
[ ]
)
(
x f y L =
əйтеуір бір шешімінің
y қосындысына тең.
Дəлелдеуі.
,
1
∑
=
+
=
n i i i y y C y (2)
84 i C - кез келген тұрақтылар,
i y - біртекті теңдеудің сызықты
тəуелсіз шешімдері, жалпы шешім екендігі дəлелденеді, егер
кез келген бастапқы шарттарды
1
,
0
,
)
(
)
(
0
0
)
(
−
=
=
n k y x y k k (3)
қанағаттандыратындай
i C - тұрақтыларын таңдай алатын болсақ,
.
0
b x a ≤
≤
Шешімнің (2) бастапқы шарттарды (3) қанағаттандыруын
талап етсек,
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
(
)
(
)
(
)
( )
( )
,
( )
( )
,
( )
( )
,
. . . . . . . . . .
( )
( )
n i i i n i i i n i i i n n n n i i i C y x y x y C y x y x y C y x y x y C y x y x y =
=
=
−
−
−
=
+
=
+
=
′
′
′
+
=
′′
′′
′′
+
=
∑
∑
∑
∑
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
(4)
теңдеулер жүйесі шығады. Бұл
i C -лер бойынша сызықты
теңдеулер жүйесінің анықтауышы Вронский анықтауышы
[
]
,
,
,
,
2
1
n y y y W …
аралықтың
b x a ≤
≤
0
бірде-бір нүктесінде
жəне
[ ]
b a x ,
0
∈
нүктесінде нөлге айналмайды, яғни оң жағын-
дағы кез келген мəндерде
)
,
1
(
n i C i =
бойынша жалғыз шешімді
береді. Теорема дəлелденді.
Сонымен, сызықтық біртексіз теңдеуді шешу, осы теңдеудің
бір дербес шешімін анықтауға жəне тиісті біртекті теңдеуді ин-
тегралдауға келтіріледі.
1-мысал. x e y y =
+
′′
.
Шешуі. Теңдеудің бір дербес шешім
,
2
1
x e y =
тиісті біртекті
теңдеудің жалпы шешімі
.
sin
cos
2
1
x C x C y +
=
Онда біртексіз
теңдеудің жалпы шешімі
.
2
1
sin
cos
2
1
x e x C x C y +
+
=
85 Біртексіз теңдеуге тиісті біртекті теңдеудің жалпы шешімі
белгілі болса, біртексіз теңдеуді тұрақтыларды вариациялау əді-
сімен интегралдауға болады.
Бұл əдісте біртексіз теңдеудің шешімі
∑
=
=
n i i i y x C y 1
)
(
(5)
түрінде іздестіріледі. Функцияның
y туындыларының түрі,
i C -лерді тұрақты деп қарастырғандағыдай болсын деп талап етсек,
∑
∑
=
=
′
+
′
=
′
n i i n i i i i x y x C x y x C y 1
1
,
)
(
)
(
)
(
)
(
∑
=
=
′
n i i i x y x C 1
,
0
)
(
)
(
1
1
( ) ( )
( ) ( ),
n n i i i i i i y C x y x C x y x =
=
=
+
′′
′′
′
′
∑
∑
∑
=
=
′
′
n i i i x y x C 1
,
0
)
(
)
(
туындыларды есептеуді, осылайша
)
1
(
−
n ретке дейін жалғас ты-
рамыз, əрбіреуінде
∑
=
−
=
=
′
n i k i i n k x y x C 1
)
(
)
2
,
0
(
0
)
(
)
(
(6)
делінеді, онда:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′
+
=
=
′′
=
′′
′
=
′
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
=
=
−
−
=
=
=
n i n i n i i n i i n n i n i i n n i i i n i i i n i i i y x C y x C y y x C y y x C y y x C y y x C y 1
)
1
(
1
)
(
1
)
1
(
)
1
(
1
1
1
.
)
(
)
(
,
)
(
.
.
.
.
.
.
.
,
)
(
,
)
(
,
)
(
(7)
86 Соңғы теңдікте
1
1
0
(
)
n n i i i C y −
=
=
′
∑
дей алмаймыз, себебі
)
(
x C i -тер
)
1
(
−
n шартты орындап тұр жəне теңдеуді (1) де қанағаттандыруы
керек. Өрнектерді (7) теңдеуге (1) қойып, жетпей тұрған соңғы
шартты аламыз.
Сонымен, функциялар
)
(
x C i n i ,
1
=
келесі
n сызықты тең-
деулер жүйесінен анықталады:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
′
=
′
=
′′
′
=
′
′
=
′
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
=
=
.
)
(
)
(
,
0
)
(
.
.
.
.
.
.
.
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
1
)
1
(
1
)
2
(
1
1
1
x f y x C y x C y x C y x C y x C n i n i i n i n i i n i i i n i i i n i i i (8)
Бұл жүйенің анықтауышы теңдеудің
[ ]
0
=
y L сызықты тə-
уелсіз шешімдерінің Вронский анықтауышы болғандықтан,
ешбір нүктеде
[ ]
b a x ,
∈
нөлге айналмайды, демек,
)
(
)
(
x x C i i ϕ
=
′
шешімдері бар. Интегралдасақ
( )
( )
i i i C x x dx C ϕ
=
+
∫
шығады.
Ал бұларды (5)-ке қойсақ, біртексіз теңдеудің жалпы шешімі
табылады:
1
1
( )
( )
( )
n n i i i i i i y C y x y x x dx ϕ
=
=
=
+
∑
∑
∫
. (9)
2-мысал. x y y cos
1
=
+
′′
Шешуі. Тиісті біртекті теңдеудің
0
=
+
′′
y y жалпы шешімі
.
sin
cos
2
1
x C x C y +
=
Тұрақтыларды
2
1
,
C C вариациялаймыз
87 ( )
( )
.
sin
cos
2
1
x x C x x C y +
=
( )
x C 1
жəне
( )
x C 2
:
( )
( )
( )
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
′
+
′
−
=
′
+
′
x x x C x x C x x C x x C cos
1
cos
sin
,
0
sin
cos
2
1
2
1
1
1
1
sin
( )
,
( ) ln cos
,
cos
x C x C x x C x = −
=
+
′
,
1
)
(
2
=
′
x C 2
2
)
(
C x x C +
=
теңдеулер жүйесінен (8) анықталады. Онда бастапқы біртексіз
теңдеудің жалпы шешімі:
.
sin
cos
ln
cos
sin
cos
2
1
x x x x x C x C y +
+
+
=
Біртексіз теңдеудің (1) дербес шешімі Коши əдісімен де
құрылады. Бұл əдіс бойынша теңдеудің (1) нөлдік бастапқы
шарттарды
)
(
0
)
(
)
(
)
(
0
0
)
1
(
0
0
0
I x x y x y x y n ∈
=
=
=
′
=
−
(10)
қанағаттандыратын дербес шешімі Коши формуласымен
0
( , ) ( )
x x y K x s f s ds =
∫
)
,
(
0
I x x ∈
(11)
анықталады; мұндағы,
)
,
(
s x K Коши функциясы, параметрдің
I s ∈
əрбір мəнінде біртекті теңдеудің
[ ]
0
=
y L келесі шарттарды
1
)
,
(
,
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
1
(
)
2
(
=
=
=
=
′
=
−
−
s s K s s K s s K s s K n n (12)
орындайтын дербес шешімі.
Теңдеудің
[ ]
0
=
y L фундаменталды шешімдер жүйесі
n y y y ,
,
,
2
1
…
арқылы
88 )
(
)
(
)
,
(
1
x y s C s x K i n i i ∑
=
=
(13)
Коши функциясы құрылады, коэффициенттері
n i s C i ,
1
)
(
=
(12) – шарттың орындалуынан анықталады.
Теңдеудің
[ ]
0
=
y L фундаменталдық шешімдер жүйесі
n y y y ,
,
,
2
1
…
I x x ∈
=
0
- нүктесінде нормалдық деп аталады,
егер:
,
0
)
(
,
,
0
)
(
,
1
)
(
0
)
1
(
1
0
1
0
1
=
=
′
=
−
x y x y x y n …
,
0
)
(
,
,
1
)
(
,
0
)
(
0
)
1
(
2
0
2
0
2
=
=
′
=
−
x y x y x y n …
. . . . . . . . . . . . .
.
1
)
(
,
,
0
)
(
,
0
)
(
0
)
1
(
0
0
=
=
′
=
−
x y x y x y n n n n …
Егер
1
2
( ), ( ),
,
( )
n y x y x y x …
теңдеудің
[ ]
0
=
y L нор малдық
фундаменталдық шешімдер жүйесі бол са, онда бұл теңдеудің
бастапқы шарттарды
)
1
(
0
0
)
1
(
0
0
0
0
)
(
,
,
)
(
,
)
(
−
−
=
′
=
′
=
n n y x y y x y y x y …
орындайтын Ко -
ши есебінің шешімі
.
)
(
)
(
)
(
)
1
(
0
2
0
1
0
x y y x y y x y y y n n −
+
+
′
+
=
(14)
Егер
[ ]
0
=
y L теңдеуінің нормалдық фундаменталдық
ше шімдер жүйесі
n y y y ,
,
,
2
1
…
белгілі болса, онда сы-
зық
ты біртексіз теңдеудің (1) бастапқы шарттарды
)
1
(
0
0
)
1
(
0
0
0
0
)
(
,
,
)
(
,
)
(
−
−
=
′
=
′
=
n n y x y y x y y x y …
орындайтын ше-
шімі
1
0 1
0 2
0
(
)
( )
( )
( )
( ),
n n y y y x y y x y y x y x −
=
+
+
+
+
′
(15)
мұндағы,
)
(
x y - теңдеудің (1) Коши əдісімен құрылған дербес
шешімі.
3-мысал. )
(
2
x f y a y =
+
′′
89 Біртекті теңдеудің жалпы шешімі
1
2
cos
sin .
y C ax C ax =
+
Онда
1
2
( , )
( )cos
( )sin ,
K x s C s ax C s ax =
+
С 1
(
s ) жəне
С 2
(
s ):
1
2
1
2
cos
sin
0,
sin
cos
1,
C as C as aC as aC as +
=
⎧
⎨−
+
=
⎩
1
2
sin
cos
1
,
, ( , )
sin (
)
as as C C K x s a x s a a a = −
=
=
−
шарттардың орындалуынан табылады. Сонымен, берілген теңдеу-
дің нөлдік бастапқы шарттарды орындайтын шешімі
0
1
( )
sin (
) ( ) .
x x y x a x s f s ds a =
−
∫