Қазақстан республикасы жоғары оқу орындарының Қауымдастығы к. Д. Көлекеев К. Ж. Назарова дифференциалдық теңдеулер алматы, 2012

190
Егер 
0
>
a
десек, шешім 
(
)
0
0
t
t
a
e
y
y
−
=
орнықсыз, себебі 
барлық 
0
t
t
≥
мəндерінде 
( )
ε
δ
<
−
0
0
y
y
теңсіздігінен 
(
)
ε
<
−
−
0
0
0
y
y
e
t
t
a
орындалатындай, соншалықты аз 
0
>
δ
таңдау 
мүмкін емес, яғни жеткілікті үлкен 
t
мəндерінде 
(
)
0
0
0
y
y
e
t
t
a
−
−
барынша үлкен сан бола алады.
Егер 
0
=
a
десек, шешім 
;
)
(
0
y
t
y
=
кез келген шешім 
0
)
(
y
t
y
=
бастапқы шартты 
ε
δ =
<
−
0
0
y
y
орындаса, онда 
ε
<
−
=
−
0
0
)
(
)
(
y
y
t
y
t
y
яғни шешім 
0
)
(
y
t
y
=
орнықты. Бірақ 
,
0
)
(
)
(
lim
0
0
≠
−
=
−
+∞
→
y
y
t
y
t
y
t
асимптотикалық орнықтылық жоқ.
Теңдеулер жүйесінің (1) шешімін 
n
i
t
y
y
i
i
,
1
)
(
=
=
орнықты-
лыққа зерттеу, нөлдік шешімінің - 
тыныштық нүктесінің, 
коор-
динаталар бас нүктесінде орналасқан, орнықтылығын зерттеуге 
келтіріледі.
Шындығында, теңдеулер жүйесін (1) жаңа айнымалыларға
)
(
t
y
y
x
i
i
i
−
=
(5)
түрлендірсек, 
(
)
i
i
i
n
n
dx
dy
t x
y t x
y t
x
y t
dt
dt
1
1
2
2
,
( ),
( ), ,
( ) ,
= −
+ Φ
+
+
+
…
i
n
1,
=
(6) жаңа жүйесі шығады. Онда (1) жүйенің орнықтылығы 
зерттеліп отырған 
)
(
t
y
y
i
i
=
шешімдеріне (5) бойынша (6) жүйенің 
нөлдік 
0
≡
i
x
, 
n
i
,
1
=
шешімі сəйкес. Жалпы орнықтылыққа 
теңдеулер жүйесінң нөлдік шешімін, яғни координаталардың ба-
сында орналасқан тыныштық нүктесін зерттеуге болады.
Тыныштық нүктесіне 
0
≡
i
x
, 
n
i
,
1
=
қатысты орнықтылық 
белгілеріне тоқталайық.
Жүйенің (6) тыныштық нүктесі 
n
i
x
i
,
1
,
0
=
≡
Ляпунов 
бойынша орнықты, егер кез келген 
0
>
ε
үшін 
0
)
(
>
ε
δ
табы-

191
лып, 
( ) ( )
n
i
t
x
i
,
1
,
0
=
<
ε
δ
теңсіздігінен, 
0
t
T
t
≥
≥
мəн 
де-
рінде 
( )
n
i
t
x
i
,
1
,
=
<
ε
теңсіздігі шығатын болса бұл анық-
таманы былайша да беруге болады: тыныштық нүктесі (TH) 
n
i
x
i
,
1
,
0
=
≡
Ляпунов бойынша орнықты, егер кез келген 
0
>
ε
үшін 
0
)
(
>
ε
δ
табылып,
( )
( )
ε
δ
2
1
0
1
2
<
∑
=
t
x
n
i
i
теңсіздігінен, 
T
t
≥
мəндерінде 
2
1
2
)
(
ε
<
∑
=
t
x
n
i
i
теңсіздігі шығатын болса, яғни 
бастауы координаталар басының 
1
δ
-төңірегіндегі траектория 
T
t
≥
мəндерінде де координаталар басының 
ε
-төңірегінен 
шықпайды.
§23. Тыныштық нүктелерінің жай түрлері
Тұрақты коэффициентті сызықты біртекті теңдеулер жүйесінің 
dx
a x a y
dt
dy
a x a y
dt
11
12
21
22
,
,
⎫
=
+
⎪⎪
⎬
⎪
=
+
⎪⎭
(1) 
a
a
a
a
11
12
21
22
0
≠
тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
орнықтылыққа зерттейміз.
Жүйенің шешімі 
t
k
t
k
e
y
e
x
2
1
,
α
α
=
=
түрінде іздестіріледі.
Онда
K
сипаттамалық теңдеуден
(
)
(
)
11
12
2
11
22
11 22
12 21
21
22
0
0
,
,
a
k
a
k
a
a
k
a a
a a
a
a
k
−
=
−
+
+
−
=
−
1
α
жəне 
2
α
тұрақты көбейткішке дейінгі дəлдікпен төмендегі 
теңдеулердің бірінен анықталады

192
(
)
(
)
a
k
a
a
a
k
11
1
12 2
21 1
22
2
0,
0.
α
α
α
α
⎫
−
+
= ⎪
⎬
+
−
= ⎪⎭
(2)
Келесі мүмкіндіктерді қарастырайық:
I. Сипаттамалық түбірлер 
2
1
k
k
≠
нақты сандар.
Жалпы шешім
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
+
=
+
=
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
t
k
t
k
t
k
t
k
e
C
e
C
y
e
C
e
C
x
β
α
β
α
(3)
,
i
α
i
β
- тұрақтылары теңдеуден (2) анықталады, 
(
1
k
k
=
жəне 
)
k
k деп
2
=
, 
Ci
- кез келген тұрақтылар. 
Мұнда келесі жағдайлар болады:
1) 
,
0
,
0
2
1
<
<
k
k
тыныштық нүктесі
0
,
0
=
=
y
x
асимп-
тотикалық орнықты; 
t
k
i
e
көбейткіштерінің əсерінен, бастапқы 
0
t
t
=
моментінде координаталар басының кез келген 
δ
-төңі-
регінде жатқан нүктелер, жеткілікті үлкен 
t
моментінде 
ε
-төңі-
регіне шоғырланып, 
∞
→
t
ұмтылғанда координаталар ба сына 
ұмтылады. Қарастырылған түрдегі тыныштық нүк тесі 
орнықты 
1-сурет 

193
түйін 
деп аталады, оның төңірегіндегі траекто рия лардың орна-
ласуы 
1-суретте
көрсетілген.
2) 
.
0
,
0
2
1
>
>
k
k
t
-ны
)
(
t
−
-ға алмастырсақ, бұл жағдай 
алдыңғыға көшеді. Траекториялары өзгеріссіз қалады, тек қана 
нүкте қарама-қарсы бағытта қозғалады (
2-сурет
).
2-сурет 
t
өскен сайын координаталар басынан нүктелер шексіз алыстай 
түседі, тыныштық нүктесі Ляпунов бойынша орнықсыз. Бұл 
түрдегі тыныштық нүктесі 
орнықсыз түйін
деп аталады.
3) 
0
,
0
2
1
<
>
k
k
- тыныштық нүктесі орнықсыз, себебі 
t
k
t
k
e
C
y
e
C
x
1
1
2
1
1
1
,
α
α
=
=
траекториясымен қозғалған нүкте бас 
нүктенің 
ε
- төңірегінен шығып, шексіз қашықтайды.
t
k
t
k
e
C
y
e
C
x
2
2
2
2
1
2
,
β
β
=
=
қозғалысы бойынша нүкте коор-
динаталар басына шексіз жуықтайды.
x
y
1
2
β
β
=
түзуімен нүкте бас нүктеге жуықтап, 
x
y
1
2
α
α
=
түзуімен бас нүктеден алыстайды. Егер 
0
1
≠
C
жəне 
0
2
≠
C
болса, онда 
∞
→
t
ұмытылғанда да, 
t
→ −∞
ұмтылғанда да 
траектория тыныштық нүктесінің төңірегінен қашықтайды.

194
Қарастырылған түрдегі тыныштық нүктесі 
қайқы (мініс) 
нүк-
тесі деп аталады (
3-сурет
)
3-сурет 
II. Сипаттамалық теңдеу түбірлері комплекс сандар
k
qi
q
,
0.
ρ
= ±
≠
Жүйенің жалпы шешімінің түрі
(
)
(
)
t
t
x
e
C
qt C
qt
y
e
C
qt C
qt
1
2
*
*
1
2
cos
sin
,
cos
sin
,
ρ
ρ
⎫
=
+
⎪
⎬
=
+
⎪⎭
(4)
2
1
,
C
C
кез келген тұрақтылар; 
*
2
*
1
,
C
C
- тұрақтылардың 
i
C
сызықтық комбинациялары. 
Осындағы мүмкіндіктерге тоқталайық.
1) 
k
p qi
p
q
1,2
,
0,
0.
= ±
<
≠
Көбейткіш 
0
,
<
p
e
t
p
t
өскенде нөлге ұмтылады, ал тең-
діктегі (4) екінші көбейткіш периодты шектеулі функция.
Егер 
0
=
p
болса, периодты көбейткіш тыныштық нүктесін 
0
,
0
=
=
y
x
қоршаған тұйық сызықтарды берер еді (
4-сурет
).
Нөлге ұмтылатын 
0
,
<
p
e
t
p
көбейткіші бұл тұйық сы-
зықтарды спиральдарға айналдырады жəне олар 
∞
→
t
ұмтыл-
ғанда асимптотикалық түрде координаталар басына ұмты лады. 
Бұл нүкте асимптотикалық орнықты жəне 

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: