§24. Орнықтылықты Ляпунов функциясы

204
Теңдеулер жүйесінің (1) шешімі 
)
(
t
x
x
=
.
Бұл шешімнің бо-
йында 
( )
)
(
t
x
ϑ
ϑ =
функциясы 
t
айнымалысының функциясы 
ретінде үздіксіз дифференциалданады жəне туындысы: 
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
dx
d
f x
grad
f
dt
x dt
x
1
1
( )
,
.
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
=
=
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∑
∑
Жүйе (1) бойынша 
)
(
x
ϑ
функциясының
t
арқылы туындысы:
(
)
d
grad
x
f x
dt
( ), ( ) .
ϑ
ϑ
=
1-теорема.
(орнықтылық туралы Ляпунов теоремасы)
Егер теңдеулер жүйесіне (1) 
h
G
аумағында анық таңбалы 
)
(
x
ϑ
функциясы, оның жүйе (1) арқылы құрылған туындысы 
d
dt
ϑ
тұрақты таңбалы жəне таңбасы 
)
(
x
ϑ
-ке қарама-қарсы немесе
нөлге тепе-тең, бар болса, онда жүйенің (1) нөлдік шешімі
0
=
x
Ляпунов бойынша орнықты.
Дəлелдеуі:
Теореманы 1) 
0
)
(
≥
x
ϑ
, тек 
;
0
)
0
(
=
ϑ
2) 
(
)
n
i
n
i
i
d
f x
x
dt
x
1
1
, ,
0,
ϑ
ϑ
=
∂
=
≤
∂
∑
…
0
t
t
≥
деп дəлелдейік.
Əрбір қатаң минимум нүктесінің төңірегіндегідей, бас нүк-
тенің маңайында 
(
)
n
x
x
,
,
1
…
ϑ
функциясының деңгейлік беттері 
(
)
C
x
x
n
=
,
,
1
…
ϑ
тұйық беттер, координаталар басы-минимум 
нүктесі олардың ішінде жатады. Берілген 
0
>
ε
мəнінде, жеткі-
лікті аз 
C
жағдайында деңгейлік беттер 
C
=
ϑ
бас нүктенің 
ε
төңірегінде жатады, бас нүкте арқылы өтпейді. Онда 
δ
-ны 
таңдап, бас нүктенің төңірегі
C
=
ϑ
бетінің ішінде жататындай 
етуге болады, жəне бұл төңіректе 
C
<
ϑ
. Егер бастапқы нүкте 
( )
n
i
t
x
i
,
1
0
=
бас нүктенің 
δ
-төңірегінен алынса, 

205
( )
( )
(
)
,
,
,
1
0
0
1
C
C
t
x
t
x
n
<
=
…
ϑ
онда 
0
t
t
>
мəндерінде нүктенің траекториясы бас нүктенің 
ε
-төңірегінен шығып кетпейді, себебі теореманың 2) шарты 
бойынша функция
ϑ
траектория бойымен өспейді
( ) ( )
( )
(
)
.
,
,
,
1
2
1
C
C
t
x
t
x
t
x
n
<
≤
…
ϑ
11-сурет
2-теорема.
(асимптотикалық орнықтылық туралы Ляпунов 
теоремасы).
Егер теңдеулер жүйесіне (1) 
h
G
аумағында анық таңбалы 
( )
x
ϑ
функциясы, оның жүйе (1) арқылы құрылған туындысы 
d
dt
ϑ
да анық таңбалы жəне таңбасы 
( )
x
ϑ
-ке қарама-қарсы болса, онда 
жүйенің (1) нөлдік шешімі 
0
=
x
асимптотикалық орнықты.
3-теорема.
(орнықсыздық туралы Ляпунов теоремасы).
Егер (1) теңдеулер жүйесіне
( )
x
ϑ
функциясы, оның осы 
жүйе бойынша анық таңбалы 
d
dt
ϑ
туындысы, 
0
=
x
нүктесінің 
кез келген төңірегінде 
( )
x
ϑ
айнымалы таңбалы жəне 
d
dt
ϑ
таңба -

206
сына қарама-қарсы болса, онда (1) жүйенің нөлдік шешімі 
ор нықсыз.
Теңдеулер жүйесінің (1) 
)
(
x
f
функциясы 
n
R
кеңістігінде 
анықталған деп қарастырамыз.
Жүйенің (1) нөлдік шешімі тұтас орнықты деп аталады, егер 
ол Ляпунов бойынша орнықты жəне осы жүйенің кез келген басқа 
( )
t
x
шешімінде
0
)
(
lim
=
∞
→
t
x
t
болса.
n
R
кеңістігінде анықталған 
)
(
x
ϑ
функциясын шексіз үлкен 
дейміз, егер кез келген 
0
>
a
санына 
0
>
r
саны табылып, сфе-
радан 
( )
2
,
r
x
x
=
тыс жатқан барлық 
x
үшін 
( )
a
x
>
ϑ
орындалса.
4-теорема.
(
Барбашин-Красовский теоремасы
).
Егер оң анықталған шексіз үлкен 
)
(
x
ϑ
функциясы, оның 
жүйе (1) арқылы 
d
dt
ϑ
 
туындысы теріс-тұрақты, сондай-ақ 
d
dt
0
ϑ
=
теңдігі 
0
=
x
нүктесінен басқа бүтін траекторияларды қамти тын 
жиында орындалатын болса, онда (1) жүйенің нөлдік шешімі 
тұтасымен орнықты.
Ляпунов функциясын құрудың жалпы əдісі жоқ. Көбіне, 
Ляпунов функциясы квадраттық түр 
ij i
j
i j
b x x
,
ϑ
=
∑
немесе 
квад раттық түрдің қосындысы жəне теңдеулер жүйесінің оң 
жағындағы сызықты емес функциялардың интегралдары түрін-
де құрылады. Жай жағдайларда 
ax
by
2
2
,
ϑ
=
+
ax
by
4
4
,
ϑ
=
+
ax
by
2
4
ϑ
=
+
түрлерінде, коэффициенттерін 
0
,
0
>
>
b
a
тиі- 
сін ше таңдау жолымен, құрылады.
1-мысал.
Жүйенің тыныштық нүктесін орнықтылыққа зерт-
теу керек
x
x y x
y
y
x y xy
3
2
,
.
⎧ = − − − −
′
⎨
= − +
′
⎩

207
Шешуі. Ляпунов функциясын 
ax
by
a
b
2
2
,
0,
0
ϑ
=
+
>
>
тү-
рінде іздестіреміз. Онда:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
d
ax
x y x
y
by x y xy
dt
ax
x
by
xy b a
xy b a
ax
x
by
xy b a
y
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
.
ϑ
=
− − − −
+
− +
=
= −
+
−
+
− +
− =
= −
+
−
+
−
+
a
b
=
десек, онда кез келген 
0
>
a
мəнінде 
(
)
d
a x
x
y
dt
2
2
2
2
1
0,
ϑ
⎡
⎤
= −
+
+
≤
⎣
⎦
2-теорема
бойынша жүйенің тыныштық нүктесі асимпто-
тикалық орнықты.
2-мысал.
Жүйенің нөлдік
0
,
0
≡
≡
y
x
шешімін орнықтылыққа 
зерттеу:
dx
dy
xy
x y
dt
dt
4
4
,
.
=
= −
Шешуі. 
( )
4
4
,
y
x
y
x
+
=
ϑ
функциясы орнықтылық туралы 
Ляпунов теоремасының шарттарын орындайды:
1) 
;
0
)
0
,
0
(
,
0
)
,
(
4
4
=
≥
+
=
ϑ
ϑ
y
x
y
x
2) 
d
x xy
y
x y
dt
3
4
3
4
4
4
(
) 0.
ϑ
=
⋅
+
⋅ −
≡
Демек нөлдік шешім 
0
,
0
≡
≡
y
x
орнықты.
3-мысал.
Теңдеулер жүйесінің тыныштық нүктесін 
,
0
≡
x
0
≡
y
орнықтылыққа зерттеу керек:
dx
x
y
dt
5
3
,
=
+
dy
x
y
dt
3
5
.
=
+

208
Шешуі.
4
4
)
,
(
y
x
y
x
−
=
ϑ
функциясы келесі шарттарды орын-
дайды:
1) 
,
0
>
ϑ
егер 
y
x
>
болса;
2) 
(
)
(
)
d
x x
y
y x
y
x
y
dt
3
5
3
3
3
5
8
8
4
4
4(
) 0,
ϑ
=
+
−
+
=
−
>
егер
y
x
>
болса.
Демек, тыныштық нүктесі
0
,
0
≡
≡
y
x
орнықсыз.

жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: