Практикум по алгебре



Pdf көрінісі
бет40/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42
Байланысты:
moiseev 2

Z
16

Z
12

18.
Доказать

что
если
I
1

I
2

I
3
идеалы
кольца
и
I


I
2

то
I
1
I
(
I
2
+
I
3

=
I
1
+
I
2
I
I
3

19.
Разложить
в
кольце
Z
[
i

целых
гауссовых
чисел
число
a
=
4 + 19
i
на
простые
множители

20.
Доказать

что
в
конечном
коммутативном

ассоциативном
кольце
всякий
ненулевой
элемент
является
либо
делителем
единицы

либо
делителем
нуля

21.
Пусть
p
— 
простое
натуральное
число

Обозначим
через
Z
(
p
)
множество
всех
рациональных
чисел

таких

у
которых
знаменатель
в
представлении
в
виде
несократимой
дроби
не
делится
на
p

а

Доказать

что
Z
(
p
)
подкольцо
в
Q

б

Найти
группу
делителей
единицы
кольца
Z
(
p
)

в

Доказать

что
Z
(
p
)
факториальное
кольцо

Как
выглядит
каноническое
раз

ложение
произвольного
элемента
этого
кольца



88 
22.
Доказать

что
любой
кольцевой
гомоморфизм
поля
либо
является
инъекцией

либо
отображает
все
элемен
-
ты
в
нуль

23.
Пусть
A
1

A
2
кольца
с
единицами

ϕ

A
1

A
2
— 
гомоморфизм
колец

а

Верно
ли

что
образ
единицы
кольца
A
1
является
единицей
кольца
A
2

б

Верно
ли
предыдущее
утверждение

если
ϕ
 
эпиморфизм

24.
Найти
все
гомоморфизмы

а

групп
Z

2
Z

б

колец
Z

2
Z

25.
Пусть
A
=
C
R
– 
кольцо
всех
непрерывных
на
R
функций

x
0

R
,
0
x
I
=
{
f

A

f
(
x
0

=
0}. 
Доказать

что
0
x
I
идеал
кольца
A
и
что
A
/
0
x
I

R

26. 
а

Можно
ли
кольцо
с
единицей
эпиморфно
отобразить
на
кольцо
без
еди

ницы

б

Можно
ли
кольцо
без
единицы
эпиморфно
отобразить
на
кольцо
с
единицей

27.
Почему
кольцо

Z
; +, 
⋅〉
нельзя
эпиморфно
отобразить
ни
на
какое
свое
подкольцо

отличное
от

и
самого
Z

28.
Доказать

что
R
[
x
]/(
x
– 
α


R

где
α
 

R

29.
Изоморфны
ли
кольца
Q
[
x
]/(
x
2
– 2) 
и
Q
[
x
]/(
x
2
– 3)? 
30.
Доказать

что
группы

Z
[
2
]; +

и

Z
[
3
]; +

изоморфны

однако
кольца

Z
[
2
]; +, 
⋅〉
и

Z
[
3
]; +, 
⋅〉
не
изоморфны

31.
Найти
все
автоморфизмы
кольца

Q
[
2
]; +, 
⋅〉

32.
Является
ли
кольцо

Z
[
5

]; +, 
⋅〉
кольцом
главных
идеалов

33.
Составить
диаграмму
Эйлера
-
Венна
для
следующих
классов
колец

 
А
— 
целостные
кольца

 
В
— 
кольца
главных
идеалов

 
С
— 
факториальные
кольца

 
D — 
поля

 
Е
 — 
евклидовы
кольца

Привести
примеры
и
контрпримеры

§ 7. 
Задачи
 
по
 
теории
 
чисел
 
Если
не
оговорено
противное

то
все
числа

встречающиеся
в
этом
парагра
-
фе

являются
целыми
числами

1.
Доказать

что
если
mn
+
pq
делится
на
m
– 
p

то
mq
+
np
также
делится
на
m
– 
p

2.
Доказать

что
если
ab

cd
делится
на
n

a
– 
c
делится
на
n
и
числа

и
n
взаимно
простые

то
b

d
делится
на
n

3.
Доказать

что
a
2

b
2
делится
на

только
тогда

когда
a
и

одновременно
делятся
на
7. 
4.
Пусть
m
1

m
2
, … , 
m
k
попарно
взаимно
простые
числа
(
натуральные
), 
M
=
m
1
m
2
… 
m
k

i
i
m
M
M
=

i
=
k
1,

Доказать

что
числа
вида
M
1
x
1

M
2
x
2
+ … +
M
k
x
k

где
x
i
пробегают
полную
систему
вычетов
по
модулю
m
i

составляют
полную
систему
вычетов
по
модулю
M

5.
Доказать
что
не
существует
двух
последовательных
нечетных
чисел

каждое
из
которых
представляет
со
-
бой
сумму
квадратов
двух
целых
чисел

6.
Доказать

что
при
любых
n

N
сумма
1 + 2 + … + 
n
не
может
оканчиваться
цифрами
2, 4, 7 
и
9. 
7.
Доказать

что
если
a

b

c

d – 
взаимно
простые
с
m
=
ad – bc
числа
и
ax + by
делится
на
m
для
некоторых
x

y

Z

то
cx
+
dy 
также
делится
на
m

8.
Доказать

что
сумма
квадратов
пяти
нечетных
чисел
не
является
полным
квадратом

9.
p

q
– 
простые
числа




> 5. 
Доказать

что
p
4
– 
q
4
делится
на
240. 
10.
Доказать

что
число
n

N

n
> 4, 
является
простым
числом
тогда
и
только
тогда

когда
(
n
–1)! 
не
делится
на
n

11.
Доказать
бесконечность
числа
простых
чисел

а

вида
4
k
+ 3; 


89 
б

вида
6
k
+ 5(
k

Z
+
). 
12.
Доказать

что
при
любых
r

Q



1, 0, 
числа
вида
r
+ 1/
r
не
являются
целыми

13.
Доказать

что
при
любых

> 1 
числа
вида
1 + 1/2 + 1/3 + … 1/
n
не
являются
целыми

14.
Написать
каноническое
разложение
числа
50! 
15.
p
1

p
2
— 
два
последовательных
нечетных
числа

p
1
+
p
2
=
2
q

Доказать

что
число

составное

16.
Доказать

что
числа
10, 11, 12 
не
могут
быть
членами
одной
геометрической
прогрессии

17.
Доказать

что
число
lg 2 
число
иррациональное

18.
Доказать

что
длины
двух
катетов
прямоугольного
треугольника
с
целочисленными
сторонами
не
могут
выражаться
простыми
числами
-
близнецами

19.
Доказать

что
a
2
+
ab 

b
2
делится
на
9, 
если
только
a

b
делятся
на

одновременно

20.
Сформулировать
и
доказать
признаки
делимости
на

и
на

в
восьмеричной
системе
счисления

21.
Сократить
дробь
116690151/427863887. 
22.
Доказать

что
квадрат
любого
нечетного
числа
оканчивается
в
восьмеричной
системе
счисления
цифрой
1. 
23.
Коэффициентами
многочлена

(
x

являются
натуральные
числа

меньшие

чем
10, 

(10) 
=
19981999. 
Мож
-
но
ли
по
этим
данным
восстановить
многочлен

24.
Решить
в
N
уравнения
ϕ
(
x

=
x
/3 
и
ϕ
(
x

=
x
/4 (
здесь
ϕ
– 
функция
Эйлера
). 
25.
Доказать

что
ϕ
(2
n

равняется
ϕ
(
n

или
2
ϕ
(
n
). 
Найти
критерий
для
каждого
из
этих
случаев

26.
Доказать

что
при

> 2 
множество
{1/
n
, 2/
n
, … , (
n
– 1)/
n

содержит
четное
число
несократимых
дробей

27.
Доказать

что
если
числа
a
и
b – 
взаимно
простые

имеющие
разную
четность

то
при
любых
n

N
числа
(
a

b
)
n
и
(
a
– 
b
)
n
также
взаимно
простые

28.
Пусть
d – 
НОД
чисел
a
1

a
2
, …, 
a
n

Как
найти
представление
d
в
виде
линейной
комбинации
чисел
a
1

a
2
, … 

a
n
(
n
> 2)? 
29.
Доказать

что
если
d
=
(
a

b
), 
d

=
(
a


b

), 
то
dd

=
(
aa


ab


a

b

bb

). 
30.
Доказать

что
если
число
a
совершенное
натуральное
число

то

k
a
k
M
/
1
=
2. 
31.
Доказать

что
1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
делится
на

тогда
и
только
тогда

когда

не
делится
на
4. 
32.
Доказать

что
сотая
степень
любого
целого
числа
либо
делится
на
125, 
либо
дает
при
делении
на
125 
оста
-
ток
1. 
33.
Доказать
: (

x
)(
x
7

x
(mod 42)). 
34.
Доказать











)
mod
(
......
..........
..........
),
mod
(
),
mod
(
2
1
k
m
b
a
m
b
a
m
b
a

a

b
(mod
 M
), 
где
M
=
[
m
1

m
2
, ... 
m
k
]. 
35.
Верно
ли

что
если
ac

bd
(mod
 m

и
a

b
(mod
 m
), 
то
c

d
(mod
 m
)? 
А
если
(
a, m

=
1? 
36.
Доказать

что
если
p
1
и
p
2
— 
различные
простые
числа

то
)
mod
(
1
2
1
1
2
1
1
1
2
p
p
p
p
p
p

+


.
37.
Пусть
p
– 
простое
число

p>2, 
m

n

N

Доказать
:
a
(
p
–1)
m

a
(
p
–1)
n

0 (mod
 p


a

0 (mod
 p
). 
38.
Доказать

если

>
2, 
то
p
– 
простое
число

(
p
–2)! 

1(mod
 p
). 
39.
Сколько
решений
имеет
сравнение
x
ϕ
(
m
)

1(mod
 m
)? 
40.
Решить
в
натуральных
числах
уравнение
x
+ 1/(
y
+ 1/
z

=
10/7. 
41.
Доказать

что
дробь
n
/(
n
2

n
+ 1) 
обращается
в
чисто
периодическую
десятичную
дробь
(


1). 
42.
Существует
ли
основание
системы
счисления
 g, 
в
которой
дробь
7/15 
представляется
в
виде

а

чисто
периодической
;
б

конечной
;
в

смешанной
периодической
;
г

непериодической
дроби

43.
Не
обращая
числа
5/48 
в
g
-
ичную
дробь

определить
вид
этой
дроби
и
число
цифр
в
периоде
и
предперио
-
де
(
в
самой
дроби

если
она
конечная

для
g =
3, 6, 7. 
44.
Доказать

что
сумма
конечной
и
правильной
чисто
периодической
дробей
не
может
быть
целым
числом

45.
Доказать

что
если
знаменатель
обыкновенной
дроби
взаимно
прост
с
числом
6, 
то
в
четверичной
системе
счисления
длина
периода
этой
дроби
делится
на
3. 
46.
Доказать

что
при
любых

>

дробь
1/(
n
3

n
+1) 
представляется
в
виде
чисто
периодической
шестеричной
дроби

47.
Доказать

что
если
знаменатель
правильной
обыкновенной
дроби
в
некоторой
системе
счисления
оканчи
-
вается
цифрой
1, 
то
данная
дробь
в
этой
системе
счисления
будет
чисто
периодической



90 
48.
Доказать

что
произведение
двух
первообразных
корней
по
модулю
простого
числа

>

не
может
быть
первообразным
корнем
по
этому
модулю

49.
Доказать

что
если
ord
1
m
a
=
k
1
, ord
2
m
a
=
k
2
, (
m
1

m
2

=

и
m
=
m
1
m
2

то
ord
m
a
=
[
k
1

k
2
]. 
50.
Пользуясь
предыдущей
задачей

доказать

что
если
m
нечетное
число
и
m
=
m
1
m
2

где
m
1

m


m

то
не
су
-
ществует
первообразных
корней
по
модулю
m

51.
а

Доказать

что
не
существует
первообразных
корней
по
модулю

=
2
m
1
m
2
,
где
m
1
и
m
2
нечетные
числа

отличные
от
1; 
б

Доказать

что
не
существует
первообразных
корней
по
модулю
m=
2
k
m
1
,
где

> 1, 
m
1
нечетно
и
m
1

1;
в

Доказать

что
по
модулю
m
=
2
k

где
k
>2, 
первообразные
корни
также
не
существуют

г

По
каким
модулям
могут
существовать
первообразные
корни



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет