Практикум по алгебре



Pdf көрінісі
бет41/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42
Байланысты:
moiseev 2

§ 8. 
Алгебра
 
многочленов
 
1.
Старший
коэффициент
многочлена
f
(
x
)

R
[
x

равен
1+
2

Доказать

что
при
любом
k

N
многочлен
(
f
(
x
))
k
имеет
иррациональный
старший
коэффи
-
циент

2.
Доказать

что
при
любом
n

N
(1 + 
x
)(1 + 
x
2
)(1 + 
x
4
)…(1 + 
x
2
n

=
1 + 
x

x
2

x
3
+ … + 
x
p

Найти
величину
р

3.
Составить
многочлен

корни
которого
обратны
корням
многочлена
2
x
3
+ 6
x
2
– 
x
– 4. 
4.
Пусть
f
1
и
f
2
взаимно
простые
многочлены
над
полем
Р

степени
которых
равны
n
1
и
n
2
и
пусть
U
— 
пространство
многочленов
над
Р

степени
кото
-
рых
не
превосходят
n
1

n


1. 
Доказать

что
U
=
U


U
2

где
U
1
=
U
I
(
f
1
),
U
2
=
U
I
(
f
2
).
5.
Пусть
A
– 
целостное
кольцо
с
единицей

Доказать

что
A
[
x

является
коль
-
цом
главных
идеалов
тогда
и
только
тогда

когда
A — 
поле

6.
Доказать

что
множество
всех
однородных
многочленов
степени
k
от
n
пе
-
ременных
вместе
с
нулем
является
векторным
пространством

Найти
раз
-
мерность
этого
пространства
.
7.
Найти
размерность
пространства
многочленов
от
n
переменных

степени
которых
не
превосходят
k

8.
Доказать

что
в
R
[
x

многочлен
x
37

x
35
+ 1 
делится
на
многочлен
x
2
+
x
+1. 
Делится
ли
многочлен
(
x
+1)
2
n
– 
x
2
n
– 2
x
– 1 
на
многочлен
2
x
3
+ 3
x
2

x

9.
Известно

что
d
=
uf

vg

Следует
ли
отсюда

что
d
является
НОД
-
ом
мно
-
гочленов

и
g

10.
 d – 
НОД
(
f

g
), 
d
=
uf

vg

Можно
ли
сказать

чему
равен
НОД
(
u

v
)? 
11.
 d
– 
НОД
многочленов
f
и
g
над
полем
Р

Как
изменится
НОД
(
f

g
), 
если
их
рассматривать
как
многочлены
над
некоторым
расширением
F
поля
Р



91 
12.
Простым
или
составным
элементом
является
многочлен
2
x
5
+ 18
x
2
+ 6 
в
кольце
Z
[
x
]? 
В
кольце
Q
[
x
]? 
13.
Те
же
вопросы
для
многочлена
3
x
6
– 12
x
+ 18. 
14.
f
(
x

=
(
x
2
– 
3
x
+ 2)(
x
2
+
3
x
+ 2).
а

Верно
ли

что
f
(
x
)

Q
[
x
]? 
б

Приводим
или
неприводим
f
(
x

над
Q

15.
Те
же
вопросы
для
многочлена
(
3
x
2
– 3
x

3
)(
3
x
2
+ 3
x

3
). 
16.
Приводим
или
неприводим
над
Q
многочлен
x
3
+ 6
x
2
– 8
x
– 12? 
17.
Привести
пример
факториального
кольца

не
являющегося
кольцом
глав
-
ных
идеалов

18.
Числа
a

b
и
c
различные

Сколько
корней
имеет
многочлен
2
2
2
2
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
x
b
c
a
c
b
x
a
x
c
a
b
c
b
a
x
c
x
b
c
a
b
a
c
x
b
x
a





+




+





19.
Доказать

что
если

P
; +, 
⋅〉
— 
поле

то
в
мультипликативной
группе

P
*

⋅〉
для
любого


N
существует
не
более
одной
подгруппы
порядка
п

20.
Доказать

что
если
Р
конечное
поле

состоящее
из
n
элементов

то
x
n
– 
x =



P
a
a
x
)
(

21.
f

g

R
[
x
], deg 
f
=
deg 
g
=
n

f
(
x
0

=
g
(
x
0
), (

k
)(

(
k
)
(
x
0

=
g
(
k
)
(
x
0
), 
k
=
n
1,
.
Доказать

что
f
=
g

22.
Пусть
R
n
[
x
] — 
векторное
пространство
всех
многочленов
над
R

степень
ко
-
торых
не
превосходит
n

a

R

Доказать

что
многочлены
1, 
x

a
, (
x

a
)
2
, …, (
x

a
)
n
составляют
базис
этого
пространства

23.
Составить
многочлен
f

Q
[
x
], 
для
которого

а

2

3
является
корнем

б

3
2
+ 2 
является
корнем

Приводимы
или
неприводимы
над
Q
получившиеся
многочлены

24.
Верно
ли

что
Q
(
π

=
Q
(
π
2
)? 
25.
Доказать

что
если
α
алгебраический
элемент
над
полем
Р
и
ϕ
его
мини
-
мальный
многочлен

то
ϕ
не
имеет
кратных
корней
ни
над
каким
расшире
-
нием
поля
Р

26.
Пусть
α

C
\
R

Верно
ли

что
R
(
α

=
C

27.
Существует
ли
поле

содержащее
поле
комплексных
чисел
в
качестве
собст
-
венного
подполя

28.
Пусть
ϕ
неприводимый
многочлен
степени
n
над
полем
Z
p

а

Доказать

что
Z
p
[
x
]/(
ϕ
(
x
)) 
является
конечным
полем

б

Найти
число
элементов
этого
поля



92 
29.
а

Доказать

что
Q
(
2
+
3

=
Q
(
2
)(
3
) . 
б

Какова
степень
этого
поля
над
Q

в

Указать
какой
-
нибудь
базис
этого
поля
над
Q

30.
Найти
все
автоморфизмы
поля
Q
(
2
+
3
). 
31.
Найти
все
корни
многочлена
x
4
+ 4
x
3
+ 32
x
2
+ 12
x
+ 87, 
зная

что
один
из
корней
этого
многочлена
равен
–2 – 5
i

32.
Доказать

что
если


R
[
x

и
не
имеет
действительных
корней

то
все
значе
-
ния
соответствующей
многочленной
функции
имеют
один
и
тот
же
знак

Верно
ли
обратное
утверждение

33.
Решить
в
R
уравнение
(
x
– 1)(
x
– 3)(
x
+ 5)(
x
+ 7) 
=
297. 
34.
В
R
[
x

найти
вид
всех
таких
многочленов

которые
делятся
на
свою
произ
-
водную

35.
Пусть
α
1

α
2
, …, 
α
n

1
– 
корни
многочлена
x
n
– 1, 
отличные
от
1. 
Чему
равня
-
ется
(2 – 
α
1
)(2 – 
α
2
) … (2 – 
α
 n

1
)? 
36.
g

R
[
x
] — 
многочлен
4-
й
степени

такой

что
g
~ (1) 
=
g
~ (

1) 
и
g
~ (2) 
= g
~ (

2). 
Доказать

что
g
~
четная
функция

Указания
 
Иногда
нам
будут
требоваться
результаты
или
способы
рассуждения
из
предыдущих
задач

При
ссылках
на
задачи
из
другого
параграфа
будет
упот
-
ребляться
двойная
нумерация

если
же
задача
содержится
в
этом
же
параграфе

то
будет
указываться
только
ее
номер

§ 2 
 
2. 
Использовать
результаты
задачи
1. 
3. 
Поискать
эти
слагаемые

используя
результаты
задачи
1. 
4–5. 
Аккуратно
перемножить
и
сравнить

6. 
Взять
X
=
t
e
k

k

n
1,

8. 
Использовать
следующие
факты

а

каждую
квадратную
матрицу
с
помощью
элементарных
преобразований
строк
и
столбцов
можно
при
-
вести
к
диагональному
виду

б

всякое
элементарное
преобразование
можно
реализовать
умножением
на
соответствующую
матрицу
элементарных
преобразований
(
элементарную
матрицу
). 
9. 
Как
находится
обратная
матрица

10. 
Как
связаны
между
собой
строки
такой
матрицы

13. 
Поработать
с
данными
равенствами

15. 
Использовать
матрицы
элементарных
преобразований

16. 
Использовать
равенство
t
A
=

A

17. 
Использовать
связь
ранга
матрицы
с
порядком
ненулевых
миноров

18. 
Использовать
разложение
определителя
по
элементам
строки
или
столбца
и
похожее
свойства
определите
-


93 
ля

19. 
Использовать
свойства
определителя
произведения
матриц
и
определителя
транспонированной
матрицы

20. 
Использовать
теорему
об
определителе
произведения
матриц
и
задачу
17. 
21. 
Показать
невозможность
других
случаев

26. 
Воспользоваться
теоремой
об
определителе
произведения
матриц

28. 
Нельзя
ли
здесь
применить
теорию
геометрических
преобразований

32. 
Использовать
связь
корней
из
произвольного
комплексного
числа
и
корней
из
единицы

а
также
свойства
первообразных
корней

33. 
Использовать
условие
равенства
комплексных
чисел
в
тригонометрической
форме

35. 
Каков
модуль
правой
части
равенства
?
36. 
Обозначить
z
+ 3 – 2

через
w

§ 3 
4. 
Использовать
теорему
Лагранжа
и
теорему
о
подгруппах
циклической
группы

7. 
Рассмотреть
две
возможности
:
а

группа
содержит
элемент
бесконечного
порядка
;
б

все
элементы
группы
имеют
конечный
порядок

8. 
Написать
одну
подстановку
под
другой

9. 
Поделить
с
остатком
k
на
n

10. 
Пусть
n
=
|
H
|, 
a

H

Показать

что
a
n
=
1. 
11. 
Рассмотреть
две
возможности
: 1) 0 

S
и
2) 0 

S

В
первом
случае
показать

что
S
\{0} – 
группа
(
если
это
множество


). 
12. 
Каков
наименьший
по
абсолютной
величине
элемент
Н

15. 
Пусть
a

H
1
I
H
2

Каков
порядок
а
(
использовать
задачу

и
указание
к
задаче
10)? 
17. 
Сравнить
с
задачей
2.26. 
19. 
Воспользовавшись
изоморфизмом

свести
задачу
к
группе

n
1

⋅〉

Все
элементы
z

H
обладают
свойством
z
n
 =
1. 
20–21. 
Использовать
задачу
9. 
22. 
б

Методом
от
противного

23. 
Использовать
теорему
об
эпиморфизмах

24. 
б

Указать
такую
подгруппу

Показать

что
любой
элемент
a



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет