Практикум по алгебре


R ,  ϕ и ψ линейные отображения V в R



Pdf көрінісі
бет39/42
Дата10.12.2023
өлшемі0,63 Mb.
#135717
түріПрактикум
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42
Байланысты:
moiseev 2

R

ϕ
и
ψ
линейные
отображения
V
в
R

Доказать

что
если
Ker
ϕ

Ker
ψ

то
существует
α∈
R
такое

что
ψ
=
αϕ
.
16.
Доказать

что
линейный
оператор
ϕ
является
подобием
тогда
и
только
тогда

когда
любой
ненулевой
вектор
является
собственным
вектором
оператора
ϕ

17.
Зная

что
2
λ
является
собственным
значением
оператора
ϕ
2

доказать

что
или
λ

или

λ
является
собственным
значением
линейного
оператора
ϕ

18.
Доказать

что
свободный
член
характеристического
многочлена
невырож
-
денного
линейного
оператора
отличен
от
нуля

19.
Доказать
равносильность
следующих
трех
утверждений
:
а

матрица
А
 
невырожденная
;
б

A
=
M
(
ϕ
), 
для
некоторого
линейного
оператора
ϕ

причем
Ker
ϕ
=
θ
;
в

матрица
А
не
имеет
собственного
значения

равного
нулю

20.
Доказать

что
если
матрица
А
имеет
простую
структуру

то
простую
струк
-
туру
будут
иметь
матрицы
A

A


A
–1
(
если
А
невырожденная
матрица
). 
21.
Доказать

что
собственные
значения
и
характеристические
многочлены
мат
-
риц
A
и
t
Α
совпадают

22.
Доказать

что
если
А
и
В
– n
×
n

матрицы
и
хотя
бы
одна
из
этих
матриц
не
-
вырожденная

то
матрицы
АВ
и
ВА
подобны
.
23.
Система
векторов
{
a
1

a
2
, …, 
a
k

линейно
независима
над
полем
Z
p

Доказать

что
эта
система
векторов

рассматриваемая
над
Q

также
линейно
независима

24.
Найти
dim 
End V 
и
dim 
Hom
(
V
1

V
2
), 
если
dim 
V
=
n
, dim 
V
1
=
s
, dim 
V
2
=
t

25.
Доказать

что
в
n
-
мерном
пространстве
для
каждого
линейного
оператора
ϕ
существует
ненулевой
многочлен

(
x

степени

n
2
такой

что

(
ϕ

=
0. 
26.
Доказать

что
множество
решений
системы
линейных
уравнений
является
пол
-
ным
прообразом
некоторого
элемента
при
некотором
линейном
отображении

27.
Привести
пример
линейного
оператора

имеющего
только
два
инвариант
-
ных
подпространства



86 
Изобразить
на
диаграмме
Эйлера
-
Венна
следующие
классы
объектов
.
Ответ
объяснить

В
задачах
29–31 
все
пространства
конечномерные
про
-
странства
над
полем
R

причем
в
задаче
31 
размерность
пространства

2. 
28. 
А
— 
множество
всех
линейных
операторов
векторных
пространств

B — 
множество
всех
инъективных
линейных
операторов

С
— 
множество
всех
сюръективных
линейных
операторов

D — 
множество
всех
автоморфизмов
векторных
пространств

Е
— 
множество
всех
линейных
операторов
конечномерных
векторных
про
-
странств

29. 
А
— 
множество
всех
линейных
операторов
с
ненулевым
ядром

B — 
множество
всех
инъективных
линейных
операторов

С
— 
множество
всех
проектирований

D — 
множество
всех
сюръективных
линейных
операторов

Е
— 
множество
всех
линейных
операторов
дефекта
1. 
30. 
А
— 
множество
всех
линейных
отображений

сохраняющих
линейную
не
-
зависимость

В
— 
множество
всех
сюръективных
линейных
отображений

С
— 
множество
всех
инъективных
линейных
отображений

D — 
множество
всех
линейных
отображений

имеющих
положительный
де
-
фект

Е
— 
множество
всех
линейных
отображений

сохраняющих
линейную
зависи
-
мость

31. 
А
— 
множество
всех
линейных
операторов
над
R

не
имеющих
действи
-
тельных
собственных
значений

B — 
множество
всех
автоморфизмов

С
— 
множество
всех
вырожденных
линейных
операторов

D — 
множество
всех
линейных
операторов
с
ненулевым
ядром

Е
— 
множество
всех
линейных
операторов

имеющих
базисы

состоящие
из
собственных
векторов

§ 6. 
Кольца
 
1. 
а

Пусть

R





— 
алгебра

где

— 
обычное
сложение
чисел

а
операция

определяется
следующим
образом

a

b
=




=
.
если
,
0
,
если
,
b
a
b
a
a
Является
ли
эта
алгебра
кольцом

б

Тот
же
вопрос

если

определяется
так



b
=
a

2.
а

Доказать

что
множество
верхних
треугольных
матриц
с
коэффициентами
из
поля
Р
образует
подкольцо
в
кольце
всех
квадратных
матриц
данного
порядка
над
полем
Р

б

Верно
ли

что
каждый
ненулевой
элемент
этого
кольца
является
либо
де
-
лителем
нуля

либо
делителем
единицы



87 
3.
а

Показать

что
любую
абелеву
группу
(
G
; +) 
можно
превратить
в
кольцо
,
определив
умножение
o
на
G
следующим
образом

a
o
b=
0. 
б

Как
устроены
идеалы
этого
кольца

4.
Пусть


o
;
А
полугруппа

содержащая
более
одного
элемента

где
операция
o
определяется
следующим
образом

x
o
y
=
x
для
любых
x

y

A

Доказать

что
нельзя
так
определить
операцию

на
А

чтобы
алгебра

A
; +, 
o

являлась
кольцом

5.
Ассоциативное
кольцо
со
свойством
(

a
)(
a
2
=
a

называется
булевым
коль
-
цом

Доказать

а

булево
кольцо
коммутативно

б

в
булевом
кольце
выполняется
тождество

a
=
a

в

булево
кольцо
является
целостным
кольцом
тогда
и
только
тогда

когда
состоит
лишь
из
двух
элементов

6.
Пусть
А
— 
кольцо
с
единицей
e

A
1
— 
подкольцо
в
А
с
единицей
e
1

причем
e
1

e

Доказать

что
e
1
делитель
нуля
в
кольце
А

Привести
пример
такого
кольца
А

7.
Доказать

что
в
кольце
квадратных
матриц
порядка
n
над
полем
Р

где


2, 
всякий
ненулевой
элемент
является
либо
делителем
нуля

либо
делителем
единицы

8.
Показать

что
в
кольце
Z
/(6) 
не
всякое
уравнение
ax
=
b
разрешимо

9.
Найти
истинностные
значения
следующих
высказываний

а

подкольцо
кольца
с
единицей
может
не
содержать
единицы

б

подкольцо
кольца
без
единицы
может
иметь
единицу

в

подкольцо
некоммутативного
кольца
может
быть
коммутативным

г

подкольцо
коммутативного
кольца
может
быть
некоммутативным

д

подкольцо
кольца
с
единицей

может
иметь
единицу
e

1. 
10.
Доказать

что
коммутативное
кольцо
является
целостным
кольцом
тогда
и
только
тогда

когда
в
нем
вы
-
полняется
закон
сокращения

11.
Доказать

что
в
кольце
Z
p

где
p
— 
простое
число

отличное
от
2, 
каждое
уравнение
x
(
p
–1)/2
=
1; 
x
(
p
–1)/2
=
–1 
имеет
в
точности
(
p
–1)/2 
решения

12.
Понятие
конечной
цепной
дроби
и
ее
подходящих
дробей
можно
определить
для
любого
евклидова
коль
-
ца

Какие
свойства
при
этом
сохраняются
без
изменения

Можно
ли
как
-
либо
изменить
формулировки
ос
-
тавшихся
свойств

чтобы
их
основное
содержание
сохранилось
при
этом
переносе
?
13.
Является
ли
идеалом
кольца
n
×
n

матриц
над
R
подмножество
I

состоящее
из
матриц

у
которых
или
пер
-
вый
столбец

или
первая
строка
нулевые

14.
Доказать

что
в
кольце
R
[
x

y

подмножество
I

состоящее
из
многочленов
с
нулевым
свободным
членом

является
идеалом

но
не
является
главным
идеалом

15.
Доказать
: (
a
) + (
b

=
(1) 

(
a

I
(
b

=
(
a
)(
b
).
16.
Доказать

что
коммутативное
и
ассоциативное
кольцо
с
единицей
является
полем
тогда
и
только
тогда

когда
это
кольцо
имеет
только
два
идеала
(
какие
?). 
17.
Образуют
ли
идеал
необратимые
элементы
кольца


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   34   35   36   37   38   39   40   41   42




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет