§3.2.  Қысып бейнелеу әдісін Фредгольмнің интегралдық

К 
ф = Л
 J К (х, 
s Yp{s )ds
деп белгілейік.
1-лемма.  К^>  интегралдық операторы толык жоне  С[я,«]  кеңістігін сол  кеңіс- 
тіктің өзіне бейнелейді.
Долелдеуі.  ф )  = f ( x ) + X \  К(х,л>ДлДА  жоне 
N  = max|
а
х ,х  + Ах е \ci,b\  болсын.  Ол  кезде
\<р(х + А х ) - ф )
Л$К(х + Ах, л- \p{s )ds + f { x  + Ах) -  Я j К (х, л- )cp(s )ds -  f ( x  j <
< \Л\N j IК (x + A x , ) -  К (x, .v Jds + |/(x  + Ax) -  f ( x  )|.
f( x ) ^ C [ a , b \   жоне  К ( х ,.у ) е ф )   болғандықтан  V ^ > 0   үшін  S>  О  саны 
табылып,  |Ах|  < 8   болғанда
1/(х + Ах| - / ( х ) < £•,  |К(х + Ах,л')- K(x,s)| <
£
2 N (/> ^ j
теңсіздіктері  орындалады.  Егер  осы  теңсіздіктерді  алдыңғы  өрнектің  оң  жағына 
пайдалансақ,  \(р(х + Ах)-^?(х)| < £,  VAx:|Ax|<£  екенін  көреміз,  яғни  (р(х)  функция-
сы  [a,b\  кесіндісінің  кез  келген  нүктесінде  үзіліссіз.  Демек,  К   операторы  кез  кел- 
ген  (р(х)е C[a,b\  функциясын сол кеңістіктегі үзіліссіз функцияға бейнелейді екен. 
Енді  К  қысу операторы болатын шартгы анықтайық:
, К (р2) = т а х |К ^ ,  -  К (р = max
а < х< һ
Ц K (x,s\(p]  -  (p2\is <
< \ Л \ М ( Ь - -  (рг  =\Л\м(Ь -  а)р{(р^,(р2).
' 
1 
'  
'   а < х< һ
Міне,  бүдан
М { Ь - а )
шарты орындалғанда  К   қысу операторы болатынын  көреміз.  Жоғарыда долелден- 
ген  қысып  бейнелеу  эдісінен,  егер  Л  саны  осы  теңсіздікті  қанағаттандырса,  онда 
(20)  тендеуінің  бір  ғана  үзіліссіз  шешімі  болады.  Ол  шешімге  жуыктайтын 
функциялар тізбегі  (ра ( х ( х ) , ..., (рп (х),...
(рп+,( 4  = Л \K(x,s)tpn(s)ds + / ( 4   п = 0,1,2,...
31

рекурентті  теңдіктермен  анықталады,  мұндағы,  (р{) (х)  функциясы  [а,в]  кесіндіде
анықталған кез келген үзіліссіз функция.
Мысал.  Біртіндеп жуықтау әдісімен
і
(р{х) = Ц  x(p(s)ds + х
«
интегралдық тендеуін шешу керек.
Шешуі.  Нөлдік жуықтау ретінде бос мүшені, яғни  ( p f x ) - x   деп алсақ, онда
( 
/П
Щ { х ) = Х
  1 + ^-  
, < Р г ( х )
V 
^ )
= X
Я  ( Я
1 +2
  +
V ^ /
,...,<^„(х)=х
я  г я
^ 2
1 + 2
  +
V ^ /
f к '
Бул  табылған  жуық  шешімдер  тізбегі  Я  параметрі 
тандырса, ақырлы шегі болады.  Ол шек
< 1  шартын  қанағат-
(р{х) = 1іш^(х) =
2х
2 ^ Я
берілген интегралдық тендеудің шешімі болады.
2.  Қайталанган ядролар және резольвента.  Әдетте, жуықтау формуласында 
бастапқы  жуықтау  ретінде  бос  мүше  / (х)  функциясын  қабылдайды,  яғни 
q>0 = f { x ) .   Сонда рекуррентті формуладан жуықтау тізбегінің мүшелері
Р, М  = f i x )  + \ К  ( x , s ) f ( s ) d s  = (/ + Я К )/,
а
<
р
А х ) ~

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: