Курсы оқу құралы
К . (x,s) = K (x ,s ) = х е г\ K
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| К . (x,s) = K (x ,s ) = х е г\ K
2 (x,s) = J х е 2 ,І е ъА = ф і - Ъ ег ) х е г\ П ■ 1 K 3(x,s) = j x e 21 —(1—3 e 2) t e 2sdt = 4 K„(x,s) = 1 -З е -2 \ xe 2 s Т - З е 2Ү"' xe 2 s Олай болса, R(x,s;A) = xe 2s , 0 \ - 3 e 2 , J2( l - 3 e 1 + Д — + Я -2V f \ - 3 e ^ +... + Л‘ л-1 n 1 35 Демек, берілген интегралдық тендеудің шешімі 0 3. Енді (20) теңдеуді L2[a,b] кеңістігінде қарастырайық. Біз L2[a,b] кеңісті- гінің метрикасын формуласы мен анықталатынын білеміз. L2[a,b] кеңістігінде С[а,Ь]-ға қарағанда параметр Я -ның үлкен мэндерінде шешімнің бар екенін көрсетуге болады. 2-лемма. Егер ядро K (x,s) е C (D ) болса, онда К операторы Дәлелдеуі. x 0 &[a,b] нүктесі берілсін. K ( x , s ) ядросы үзіліссіз функция болғандықтан кез келген е > 0 саны үшін сәйкес 8 > 0 саны табылып: яғни [j/(x) функциясы х() нүктесінде үзіліссіз. х 0 кез келген нүкте болғандықган у/(х) функциясы [a,b] -да үзіліссіз. Осыдан, егер / eC [a,b] және K ( x ,s ) e C [ a ,b ] болса, (20) теңдеуінің оң жағы кез келген (p&L2[a,b] үшін, үзіліссіз функция екені шығады. Яғни сол жағында тұрған: (реС[а,Ь] Демек, L2[a,b] кеңістігінде жататын функциялар ішінен тек үзіліссіз функциялар ғана шешім болады деген қорытынды шығады.Дәлелдеген лемма бойынша P l 2 ( ( P ^ < P i ) = \ \ \ < Р А П ~ ( Р г Щ М \/(p(t) е L2[a,b]— >у/{х) = К (р е С[а,Ь]. Сондықтан, Коши-Буняковский теңсіздігін |^ ( х ) - ^ ( х ң)| = J[ a :( x , 5 ) - a :( x 0,^ )]^ (5 )^ < -f|^ (5 )|< * < и С „ L2[a,b]—tL^>C[a,b]a L2[a,b]. 36 3-лемма. Егер В = ( һ һ Л К (x,s)dsdx \ а а = м деп белгілесек, онда К операторы параметрдің |Я| < — мондерінде қыеу операторы бол ад ы. Ш ынындада, к <Р\ ~ ^ ( р 2 = ^\K(x,s)[(p,{s)-(pz{s)]ds болғандықтан, Коши-Буняковский теңсіздігін пайдаланып |К^| - К ^ 2|2 < X \ K 2{x,s)ds\[(p,{s)-(p2{s)Yds теңсіздігін аламыз. Енді осы соңғы алынған теңсіздіктің екі жағында х бойынша а мен b аралығында интегралдасақ b b b b ||К ^ , - Ұ^(р2\ dx < Л2 J J К 2 {x,s)dsdx^\(px(s) - (p2( s ) 2 ds немесе р (К р ,, К <р2)< Л В р (^ ,, (р2) теңсіздігі шығады. Осыдан р , ( К ^ ,,К ^ 2) < |А |- Л - а {(рх,(р2) (26) (26) теңсіздігінен В оператор \Л\ В < 1 болғанда ғана қысу операторы болады. Қысып - бейнелеу принципінен (20) теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болуы үшін теңсіздігі \Л\<— орындалуы керек. Расында В < М ( Ь - а ) бол-ғандықтан В облысынан кең екені шығады. Бірақ |Д| < 1 \Л\< — облысының л< — , .... ч 1 1 в M(b-a) М(Ь-а) облысында жуықтайтын тізбек интегралдық тендеудің шешіміне бірқалыпты жинакды да, а л ___ !-----<|Я |<— облысында бұл тізбек орташа жинақталатынын M (b -a ) В айтуға болады. 4. K ( x , s ) е L2 (D ) болсын. Сонда келесі тұжырым орынды. 37 b 4-лемма. Егер Кср = J K(x,s)(p(s)ds интегралы ндағы (р(х) е L2[a,b] болса, он- а да ол интеграл (а,Ь) интервалының барлық нүктелерінде дерлік бар жэне К ( р е L 2 ( a , b ) болады. Дәлелдеуі. |А^(х,^)^(л)| < 0,5АГ2(х,л) + 0 ,5 ^ 2(л) теңсіздігі эрқашан орын-ды. (26) теңсіздігінің оң жағының бірінші қосылғышы s айнымалысы бойынша бар- лык xe[a,b] үшін дерлік, ал екінші қосылғыш [а,Ь] кесіндісінде 5 бойынша инте- гралданады. Міне бұдан K(x,s) функциясы барлык хе[а,Ь\ үшін дерлік s ь айнымалысы бойынша интегралданады, яғни ^ K(x,syp{s)ds интегралы барлық а жағдайда дерлік анықталған. Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша \К(р\2 < J | a :( x ,5)|2^ J |^ ( 5 ) |2 ds = ||^||2||A '(jc ,j)|2flfe a a a өрнек орынды, ал бұдан b b ||Л ^ |2 dx < ||^||2 J J* J AT ( jc , dsdx < oo, яғни K(p(x) e L2(a,b) екені шығады. Демек, лемма дэлелденді, яғни L2{a,b) < В <РL2(a,b)' (27) 5-лемма. ратор болады. Дәлелдеуі. Фредгольмдік операторлардың көбейтіндісі де фредгольмдік опе- K ( x , s ) , N ( x , s ) g L 2 ( D ) болсын. Бұлардан: П I п NK < p = ^ N ( x , s ) \ j K ( s , t ) ( p ( t ) d t d s Әрине, бұл өрнектің оң жағындағы е L 2 [«,/>] болса, онда теңдіктегі қайта- ланған интегралдар анықталады. Олай болса, Фубини теоремасы бойынша п п п Р NK(p = J (p(t)dt^N(x,s)K(s,t)ds = J l J N(x,t)K(t,s)dt xp(s)ds. b Егер M (x,s) = jN (x ,t)K (t,s)d t деп белгілесек, онда: a 38 N\i(p = J M (x,s)(p(s)ds. ( 28 ) ilia Енді M(x,s) e L2(D) екенін көрсетейік. Коши Буняковский теңсіздігі бойын- теңсіздігі орынды. Бұд теңсіздіктің екі жағын D төртбұрышы бойынша инте- граддап, Л Л Һ һ Һ һ JJ|M (x,5)|2 dxds < J||yV(x,/)|“ dtdx^\K{t,s)\dtds < BB2, (29) и и а а а и демек, М (x,s) е L2(D) . Одай бодса, NK операторы фредгодьмдік оператор бодады. 3-ескерту. Жадпы жағдайда фредгодьмдік оператордарды кобейту амадында орын ауыстыру заңы орқашан орынды бода бермейді. Мэседен, К (х,s) = \, N(x,s) = x - s , a - 0, b = 1 бодсын. Сонда ' 1 ' 1 N K ( p = J ( x ---- y p { s ) d s , K N ( p = | ( ---- S ) ( p ( s ) d s . 0 ^ 0 ^ 4-ескерту. Егер K(x,s), N(x,s) e L2(D) бодса, онда (28) өрнегіндегі M(x,s) e L2(D) бодады. Расында, егер b h В] = \ \ \ K n(X’Sf dxds деп бедгідесек (мұндағы, Kn(x,s) - n - қайтаданған ядро), онда ь К п (х , s) = j К п_, (д:, t)K{t, s)dt. Жоғарыдағы (29) теңсіздігін N(x,s) = Кп ,(x,.v) үшін пайдадансақ: В; < В 1 Вя2_,, ад бұдан В 2 п < В 4 В]_2 < ...< В 2п немесе Вп < В ”. Сондықтан (27) теңсіздігін еске- ріп, (30) шартын адамыз. Егер K( x , s ) g L2(D) шарты орындадса, онда 4 ескерту бойынша од ядроньщ қайтаданған ядросы да сод шартты қанағаттандырады. Егер 39 деп белгілесек, онда Ап = sup х a һ ( һ j | ^ ifU , ) | - J . v < j ,(дс, t ) K ( t , 5 ) 1 d s < В ] . а а у а ) Һ Ал J | АГ/( ,(х,5)|2 d s < А п , болғандықтан соңғы теңсіздіктен а b А п < В 2 Л п A B ln 2 жэне j | K n( x , s )\2 d s < А В 2п (31) теңсіздігі шығады. 4-теорема. Егер п ср( х) = Я J K ( x , s ) < p ( s ) d s + f ( x ) Фредгольм тендеуіндегі K ( x , s ) е L 2 ( D ) жоне |xl| < — болса, онда ол тендеу үшін В түзілген Нейман қатары тендеудің шешіміне <р{х)е L2(a,b) орташа жинақты. п+р Дәлелдеуі. X ЯтК тf қатар үшін үшбұрыштар теңсіздігі мен жоғарыдағы т =п+\ (30) өрнегін пайдаланып, мынаны аламыз: п+р X r K mf т=л+1 п+ р < х ИГI к - f т п+1 п + р < £ ( И * Г Ф І І ( И « Г = т - п + 1 ( W T \-\я\в Егер п саны жеткілікті дорежеде үлкен болса, онда теңсіздіктің оң жағы өте п + р аз шама болады. Демек қалдық мүшесі X ЛтК т/ болған қатар жинақты, олай т п+\ болса, жоғарыдағы Фредгольм теңдеуі үшін алынған Нейман қатары интеграл- данатын (р(х) функциясына жинақты. Сонымен ||<рп - q>\ 0, п -> оо. Енді шектік функция (р{х) Фредгольм тендеуін қанағаттандыратынын көрсетейік. Ол үшін К(рп ] ->К(р, /?->оо екенін, яғни орташа жинакты екенін көрсетсек жеткілікті. Бүл оңай дәлелденеді, себебі п —> оо жағдайда \К(Рп < - К 4 < \ \ к (срп ,~(р)\<в\<рп , - <р|| —> 0. 5-теорема. Егер K(x,s)e L2(D) шартына қосымша |AT( jc ,. v )| < М шарты да орындалса, онда Нейман қатары [«,/>] кесіндіде бірқалыпты жинақты болады. Дәлелдеуі. Нейман қатарының жалпы мүшесін бағалайық: 40 K mU,.v )|2 J .s j . Егер (31) теңсіздігін пайдалансақ, теңсіздігі шығады, оның оң жағында еселігі \Л\В < 1 болатын геометриялық про- грессияның жалпы мүшесі. Вейерштрасс теоремасы бойынша: жалпы мүшесі осындай қасиетке ие қатар, бірқалымты жинақты. Теорема дэлелденді. 5. Еиді кополилемді интегралдық теңдеулерге жогарыдшы келтірілген тео- рияларды қолдаиайық. Көпөлшемді Фредгольм теңдеуіне де қысып бейнелеу одісі орынды. (р{х) = ^ K ( x ^ y p ( ^ ) d ^ ± f { x ) (32) п теңдеуінде D шенелген немесе /?" -дегі шенелмеген облыс, х = (jt,,jt2,...,jcn), £ = (£,,£2 ,...,£„) ал оның ядросы АГ(х,.?) D x D облысында үзіліссіз немесе е L2( D x D), я ғ н и І ”^ > | = | І Г | | ^ , Х , , ) / ( . 5)Л |< |Д Г |/|||} | £)| d^dx = В2 = const < оо DD болсын. Жоғарыдағы шенелгендік шарты көпаргументті функция үшін ||А г(дг,^г)| d% < А = const түрінде жазылады. (32) теңдеудің ядросы соңғы екі шарттарды қанагаттан-дырса, тендеу үшін жоғарыдағы түжырымдар орынды екенін долелдеу қиын емес. Егер \Л\ < — болса, онда (32) тендеу біртіндеп жуықтау әдісімен шешіледі В жоне оның шешімі жалғыз болады. Бұл эдістегі қайталанушы ядролар k X * , s )= K ( x , s \ K 2(x,s)=\KXx,n)K(ri,s)dTi,..., K n( x , s ) =\Kn ,(д :,T])K(p,s)dT] өрнектермен анықталады да тендеудің шешімі V( x ) = f ( x ) + X \ R { x ^ , X ) f ( m Г) түрінде табылады, мүндагы, R ( x & X ) K ( x ,% ) ядросының резольвентасы: 41 R { x 4 \ X ) = K l( x 4 ) + ^ K 2( x ^ ) + . . . + r - ' K X x 4 V - - Егер К і х ^ ) е С( D у [)), D - ш ектелген облы с б о л са , б ұ л қатар Я| < - болған- д а бірқалыпты жинақты , ал Я(х,^,Я) ү зіл іссіз ф ункциялы қ қатарды ң ш егі р етін де ү зіл ісс із функция. 6. Интегралдьщ теңдеулер жүйесі. Ф р едгол ьм н ің 2-тек ті ин тегралды қ тең- д еу л ер і ж ү й есі т ^ % М = J к и (x^ypj(s)ds + f ( x \ і = 1 ,2 ,-.., т Ма (33) т ү р ін д е болады . Бүл ж ү й ен ің ядролары K u ( x , s ) g L2(D) , ал б о с мүш елері f ^ L 2(a,b) болсы н . О сы ж ү й ен ің ш еш ім і болаты н (р,(х ) ф ункциялары L2(a,b) кең істігін ен ізд ел ед і. Бүл тең д еу л ер ж ү й есі үш ін ж оғары дағы тұж ы ры м дар толық т ү р д е оры нды . А л т ең сізд ігін д егі В үш ін: В 2 = f , \ \ \ K {x,s^dxds У=І а а ж эн е K^x^s) ядролары үш ін о . 2 (х,^)| ds < Aj} = const шарттар оры ндалса, о н д а (3 3 ) ж ү й е бір т ін деп ж уы қ гау ә д іс і арқылы ш еш іл еді. Ол ж уы қгап ш еш у ү д е р іс і бірқалыпты жинақты . Бүған б із толы қ токталмаймы з, с е б е б і ж ү й ен і Ф р едгольм н ің 2-текті бір т ең д е у ін е к ел тір уге бол ады . Бірақ ол т ең д е у тек бір интеграл үш ін ем ес, одан т е с е кең обл ы ста қарасты ры лады . а < х < a + m(b - а) аралы ғы нда Ф (х ) п ен F ( jc ) ф ункциялары н a + (i - 1 )(b - a) < t < a + i(b — a) болған да Ф (х ) = ^ , ( * - ( ' - 1 ) ( 6 - я ) ) , Ғ(х) = / ( х - ( і - \ ) ( Ь - а ) ) , i = 1,2,...,m т ү р ін д е анықгап, ал AT(.x,s) ядросы н Qm = { a < x , s < a + m(b — а )} обл ы сы н да a + ( i - \ ) ( b - a ) < x < a + i ( b - a ) ; a + ( j - \ ) ( b - a ) < s < а + j ( b - a ) \ б о л ға н д а K ( x , s ) =Ку(х - (i - 1 )(b - a),s - (J - 1 )(b - a ) \ i j = 1 ,2 ,..., m арқылы өрнектеп, (3 3 ) т ен деу л ер ж ү й есін 42 ll + hth и) Ф(х) = Я |АДх,5)Ф(5)<і$ч-Ғ(х) а жазсақ, онда біз құрған /Дх,л) ядросы Q m- де интеграпданады, an Ғ ( х ) е L,(a,a + + m { b ~ a )) болады. Шынындада, а + т ( һ - а ) т а+і(Ь-а) 1 \ П * І 2 dx = ±~ ']~)ғ(х)\1 dx = ± “' Y \ / X x - ( i - \ ) ( h - a f dx = “ I I <1 I = ] a „ h 2 tn " = Z f / W I Л < 00. Дэл осылай, u + mci u + m (h + a ) m a -H ( b -a ) a+ l(b a) 7 I J K(x,s) dsdx=Y j j \Kij(x,s)~dsdx=B2 './ I § 3 .3 . Қ ы с ы п б е й н е л е у әд іс ін В о л ь т е р р а т е ң д е у ін е ж ә н е с ы з ы қ т ы қ ем е с и н т е г р а л д ы қ т е н д е у л е р г е қ о л д а н у 1. Вольтерраның (р{х) = Л } К (x,s)(p(s)ds + / (х) (34) теңдеуін қарастырайық. Біз жоғарыда Вольтерра теңцеуі Фредгольм теңдеуінің дербес түрі болғандықтан K (x,s) ядросын s > x болғанда K ( x ,s ) - 0 деп анықтап, Фредгольм теңдеуіне келтіруге болатынын айтқан-быз. Бірақ Вольтерра теңдеуі үшін қысып бейнелеу әдісі параметр Я -ның барлық мәндері үшін орынды. Сондықтан Вольтерра теңдеуіне арнайы тоқталамыз. 6 -т е о р е м а . К опеаторы толық метрикалық X кеңістігін өзіне үзіліссіз бейнелесін және Н = Н" операторы п -нің кейбір мәндерінде қысу операторы болсын. Бұл жағдайда Кх = х тендеуінің жалгыз ғана шешімі бар болады. Расында, х0 нүктесі Н операторының қозғалмайтын нүктесі, яғни х = Нх теңдеуін қанағаттандырса, онда Кх = К ( Н кх ) ~ H kKjc = Н кх0 —>х, к оо болады, себебі Н операторының қозғалмайтын х нүктесіне жинақты. Демек Кх = х қозғалмайтын нүкте ол жалғыз. Себебі К операторының қозгал-майтын нүктесі К " қысу операторының да қозгалмайтын нүктесі. Егер АДх,.?) пен / ( х ) үзіліссіз функциялар болса, онда: х К#? = Ц K ( x 7s)(p{s)ds + / ( х ) и операторы C[a,b\ кеңістігін қайтадан C[a,b\-rа үзіліссіз бейнелейтінін көр-сету оңай. 43 M = max\K(x,s)\, а < х < Ь , a < s < x д еп белгілейік. Сонда: |К р 2- К я | К 2(р2 - К 2#>,| = ^ М 2{ х - а ) 2 р{(р2,щ) Я\ /C(x,s)[#?2(s ) - (рх (s)}& a X\K{x,s)\¥^(p2 - К < \Я\М(Ь - a)p{(px,(p 2), < ж эн е жалпы ж ағдаи да \Л\"М°(Ь-аҮ , С он ы м ен р ( К ”^ 2,К " ^ ,) < — -------- :--------- р(<рг (р^). п\ ’ М ін е, б ү д а н К операторы м ен оньщ К " д ә р е ж е с і операторлары элем ен ттерді C[a,b]-ma C[a,b\-r а сәй к естен д ір уш і ү зіл ісс із оп ераторлар ек ен ін көрем із. Оньщ ү ст ін е соңғы тең сізд ік тегі Я сей к ес п саны н |Я|"М "(Ь-а)" < 1 т ең сізд ігін қанағат- танды раты ндай етіп тандап алуға болады . Д ем ек , К" оп ераторы ү ш ін жеткілікті д әр еж е д е г і п үш ін қы су операторы болады . О сы д әл ел д ен ген теор ем адан К операторы ны ң ж алғы з ғана қозғал-майты н нүк тесі бар болаты ны н біл ем із. Д ем ек , (3 4 ) В ольтерр ан ы ң интег-ралды қ тең- д еу ін ің кез келген Я саны үш ін ж алғы з ш еш ім і бар бол ады . О л х <Рп+х (* ) = Ц K(x,s)q>n(s)ds + f ( x ) , п = 0,1,2,... тізб егін ен бір тін деп ж уы қгау әд ісім ен табы лады . Бұл э д іс т е г і н өл дік ж уы қгау үш ін C[a,b] жататын кез келген функцияны алуға бол ады . Е гер <рХ) (х ) = f ( x ) деп алсақ, о н д а алдыңғы тең діктен Щ(х) = f i x ) + l \ K { x , s ) f { s ) d s = ( / + Я К ) / , <рг{х) = ( / + Я К )2/ = / + Я К / + Я2К 2/ , . . . , а <Р„(Х) = (1 + Я К )И/ = / + Я Қ / + Я2К 2/ + .... К операторының дэрежесін қайталанатын ядролар арқылы анықгайық: к 2f = К(Қ / ) = SK(x,t )(\ K(t , s)f(s)ds) dt = a a = S f ( s ) { \ K ( x , s ) K ( t , s ) A } d s = \ K 2( x , s ) f ( s ) d s , a s a 44 мұндағы, K 2(x,s) = jK (x ,t)K (t,s )d t . Жалпы а мұндағы, K n(x,s) = \ K ( x , t ) K n x{t,s)dt. жағдайда, К - f = \K ,( ,x ,s ) f( s ) d s , Енді A^,(x,.v) = деп алып, K,(x,s) + Ж 2 (х, s) +... + Лп~' K n(x,s) + ... түзілген қатарды қарастырайық. М — max|/^(x,s)| екенін ескертіп, IАГ2(ДГ,^:)| < J|AT(JC,/)АГ, )|<* < Л /2(д: - ^ | * , М < M \ x - Sy 2 ! |л:„(х,5)|< M n( x - s ) (л-1)! и-1 теңсіздіктерін аламыз. Бұл алынған теңсіздіктерден қатар Л санының кез келген монінде бірқалыпты жинақты, оның қосындысы х,5 аргументтері бойынша үзіліс- сіз функция екенін көреміз. Қатардың қосындысы /?(x,.v;2) деп белгілесек, Я (х^;Л ) = K ^ x , s ) + ЛК2(х ,5) + ... + Л"~'Кп(х,s) + ... өрнегін Вольтерра тендеуі ядро- сының резольвентасы деп атаймыз. Жоғарыдағы К " үшін алынған өрнектерді пайдаланып, <рп (х) функцияларын ^ х ) = / ( х ) + Ж / + Ж К 2/ + .... + Ж К " / = = / ( х ) + л ] \ К х ( х , з ) + Л К 2 { х , 8 ) + . . . + Л п ~ х К п { х , з ^ [ [ { з № , п = 1 , 2 , . . . түрінде жазамыз. Бүл өрнектен п —» оо болғанда шекке көшіп, (35) и интеграддық тендеудің шешімін аламыз. Мысал. Біртіндеп жуықтау эдісімен мына Вольтерраның 2-текті х (р(х) = 3 J (х - .V )(p(s )ds + x - x 3 о интегралдық тендеуінің шешімін табайық. Шешуі. Бастапқы жуық шешімін ^ 0(х) = х - х 3 деп алсақ, онда 3! 3! ,2 п + 3 яғни шешім түрі 45 cp(x) = lim (рп (х) = х - lim 3 ^ - х 2п+3 (2я + 3)! болады. 7- теорема. Егер AT(x,s)eC(D) жэне / ( х ) е ф , 5 ] болса, онда Вольтерра теңцеуінің кез келген Л үшін (35) түріндегі бір ғана шешімі бар болады. /?(x,s;/l) резольвентасы мына R(x,s\X) = K(x,s)+X\K{x,t)R(t,s- X)dt инте- s гралдық теңцеуін қанағаттандырады. Расында, R(x,s;A) = K(x,s)+ AK2( x , s ) + ...+Ап 'Kn(x,s)+...= = K(x,s)+ Л\ K(x,t\Ki (/,s)+ AK2( t , s ) + = K ( x , t ) + a ] K(x,t)R(t,s;A)dt. s л Біз K ( x , s) пен f ( x ) функциялары өз аргуменггері бойынша үзіліссіз функ- циялар деп ұйғарып, (34) интегралдық теңдеуінің жалғыз ғана шешімі бар екенін көрсетейік. Эрине К мен / функцияларына қойылатын шарттарды жеңілдетуге болады. 8- теорема. Ядро K ( x , s) e L2(D) жэне f ( x ) e b 2[a,b] болсын. Онда (34) инте- гралдық теңдеуінің кез келген Л үшін бір ғана (р(х)<Е L2[a,b] шешімі бар болады. Ол шешім (35) өрнегімен анықталады. Бұл тұжырым алдыңғы теорема секілді дэлелденеді. Ал мұндағы /?(х,.у;Я) резольвентасы Л бойынша бүтін функция ретінде й ( дг , і ; Д ) = І Я '^ , „ ( х , 4 л=0 D = { a < x , s < b } облысының барлық нүктелерінде дерлік жинакталатын қатардың қосындысы болады. 1 “1“ 2 1-мысал. Вольтерраның 2-текті теңдеуі үшін K(x,t) = — cof х ядро-сының cos s резольвентасын табайық. Резольвентаны табу үшін алдымен қайталанған ядроларды есептейік: АГ(^,д:)= 1 + cof 2jc. л: 2 м = } / : ( * , COS S _ 2 (x -,s ) l + cos2x 1! cos2 s K A x , s ) = \ K ( x , t ) K 2(t,s)dt = 2 : . . . . . COS s K„(x,s )=2~' ( x - s ) n 1 l + cos2x (л- l ) cos2 s Демек, резольвента формуласы бойынша 46 R(x,s;/l) = 1 + cos2x 1 + cos2x cos" s cos .v r 2 A ( x - x ) 1 + Я . 2 к г £ ) + д2.2Чдс-5Г + + д „_, 2 ^ ( £ - £ Г 1! 2 ! (л-1)! + . 2-мысал. Резольвентаны пайдаланып <р(х) = е5* + 3 j e 1(x,)(p{x)dt интегралдық тендеуін шешейік. Шешуі. Алдымен бұл тендеу үшін қайталанған ядроларды табамыз: K ,( x ,s ) = K ( x ,s ) = e 2< - \ K 2( x - s ) = j e 2u = е2<-'» 5>, 2 ! (л -1 )! Демек, R(x,s\A)= е 2{х~s) Енді (35) формуласын пайдалансақ, берілген теңдеудің шешімі (р(х) = е 5х + 3| e 5(x~s)e 5sds = (і + Зх)е5х. 0 • Ескерту. 7-теоремадан біртекті интегралдық х (р(х) = Aj К ( jc ,s)/?(x)ds 1 + 3 (* ~ л) 1! v ( x - s y _ 2 ! + ... + 3 n-1 (лг- s ) " 1 — -v) теңдеуінің барлық Я үшін тек қана (р(х)~ 0 шешімі бар болады. 1. Вольтерра типіндегі интегралдық тендеулердің <р,(х) = / = 1 , 2 ,...,w 7=1« жүйесіне қысып бейнелеу эдісін қолдануға болады. Бұл жүйенің біртіндеп жуық- тау арқылы алынған шешімі кез келген А мен xe [a,b\ мэндерінде жинақты. Егер K 0.(x,s)eC (D ) жэне f ( x ) e C[a,b] болса, онда жүйенің шешімдері (р,(х)еС[а,һ\ болады. 47 Жоғарыдағы біртіндеп жуықтау әдісі көп аргументті функциялардың инте- гралдық тендеулері үшін де қолданылады. Моселен, екі аргументті функция үшін (р{х,у) = f ( x , y ) + Я\)K(x,y\sj)(p(s\t)dsdt а с интегралдық тендеуіне айтылған эдісті қолдануға болады. Ал Я параметрі бойын- ша жіктеліп, ол Я -ның кез келген монінде жинақты болатын жоғарыдағы жағдай тек осы интегралдық тендеуді шешуде емес, одан күрделі, мэселен, теңдеудің оң жағында тек екі еселі екі одан басқа бірөлшемді интегралдар да бар интегралдык тендеуге, мысалы, х (р(х,у) = f ( x , y ) + X \ K x(x,y\s)(p(y,s)js + a у х у + Я\ К 2 (х, у; s)cp(x, s)ds + Я2 J J (х, у; s , t) типтес тендеуге қолдануға болады Дол осылай, жоғарыда айтылған әдіспен х (р{х) = / ( х ) + Я \K(x,t)(p(t)dt жоне X у <Р(Х,У)= А Х,У)+ Я j jK(x,y;s,t)(p(s,t)dsdt ш 1 ( х ) ю 2 ( у ) интегралдык теңдеулерінің шешілетінін және олардың жалғыз шешімі бар екенін долелдеуге болады. Мұнда, а < со^ (х) < х және с < со2 (у ) < у . 2. Сызыңтык, емес интегралдык, теңдеулер. Мына түрдегі сызықтық емес фредгольмдік (р(х) = Я\ K(x,s-,(p(s))ds + f ( x ) (36) a теңдеуін қарастыралық, мұндағы K(x,s\z) функциясы a < x , s < b , -o o < z < o o об- лысында үзіліссіз жоне /( х ) е С[<з,/>]. Бұл шарттарға қосымша K ( x , s , z ) функциясы үшінші аргументі бойынша Липщиц шартын: $ ;* ,) - K ( x ,s ;z 2}< N \ z , - z 2| қанағаттандырсын ( N түрақты сан). К<р = Я\ K(x,s-(p{s))ds + f ( x ) a Деп белгілейік. К оператор толық метрикалық кеңістік С[«,б]-ны қайтадан өзіне бейнелейді. мен срг(х) функциялар C[a,b] кеңістігінен болсын. Олай болса. 48 |K п ЛІ K(x,s; 1 a < s < b 1 немесе ^ ( К ^ К ^ ) < \A\N\b-а\р((р2,(р]) теңсіздігі орынды. Демек, егер ИІ< д г | - | болса, онда К қысу операторы болады. Олай болса, жоғарыдағы Банах теоремасы бойынша (36) түріндегі интегралдық теңдеудің \Л\ < — — т N\b-a\ мэндерінде бір ғана үзіліссіз шешімі болады. Ол шешім жоғарыдағыдай біртіндеп жуықтау әдісімен ь <ря+у(х ) = Я J A fo s; (s)>/s + / ( * ) , п = 0,1,2,.... анықталады, мұндағы (рХх ) шешім функциясын С[я,&] кеңістігінен қалаған түрде алуға болады. Вольтерраның 2-текті сызықтық емес интегралдық тендеуін (р(х) = ^\K(x,s\(p{s))ds + f ( x ) (37) a қарастыралық. <р0(х) ретінде [а,Ъ\ кесіндіде анықталған кез келген үзіліссіз функ- цияны алайық. <р0(х) функциясын (37) тендеудің оң жағына қойып жэне X <р\ М = / М + Л \к(х,з; <р0 (s))ds a деп белгілеп, одан кейін х 4>г W = / W + Ц к (х ,S', ft (•s))ds (1 өрнегін түземіз; дэл осылай, жалпы түрде х <Рп+\( * ) = /(х )+ л {к {x,s;(pn (s))ds,..., (п = 0,1,2,.••• )• a Демек, б із ^ 0( 4 ^ ( 4 ^ 2( 4 - ^ « ( 4 - түріндегі үзіліссіз функциялардың ақыр- сыз тізбегін алдық. Енді осы тізбек [a,b\ кесіндіде (37) теқцеуінің үзіліссіз шеші- міне жинақты болатынын көрсетуге болады. Расында, (рХх ) функциясын (Рп (х ) = <Ро W + [ft О ) - fto(*)] + [<Рг(х ) - < Р М \ - + [<Рп - <Рп-\ (*)] 49 түрінде жазайық. Міне бұдан біз тізбектің жинақтылығын дәлеледеудің орнына ср0 + (р, - (р0) + (<рг - (р,) +... + ((рп - (рп.х) + • • • қатарының бірқалыпты жинақтылы-ғын дәлелдеу жеткілікті екенін көрсетеміз. Ол үшін (рп+\{х)~ (рп{х ) айырымын бағалайық: I <рг (х) - <рх(х)| < \X\\\K(x,s-(p„ < (5) - % a а белгілеуін енгізіп, соңғы теңсіздікті (p2- ( p \ < \ X \ M , N ^ p түрінде жазамыз. Дэл осылай, ~ Ф г \ ~ \Л Щ \ < Р г СО - <Р\ ( 0 | * ^ J ( s ~ a ) d s А Л \2 N ' M o ^ Х ^ a a Z ! олай болса, жалпы түрде: \<РМ - Ч > . \ Щ = 1,2,.... Бұдан қатардың бірқалыпты жинақтылығын, яғни жуықгау тізбегінің ше- шімге жинақты екенін көреміз. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|