d x =  j(cos/ - c o ss ) d s  =0, d 2  = T T

(p{x)
 = Л \(2* -  typ(t)dt +
интегралдық тендеуінің шешімін табайық.
Шешуі.  Длдымен  D(X)  мен  Z)(x,5;A)  көпмүшеліктерін аныктаймыз:
= J(2s - s ) d s  = 0,5, d\(x,s) = 0,5(2*- s ) - \(2 x  -  s){2s -  t)dt =
— -  s - t  + 2ts 
2
dt = 0;
=   1
,
5
-
*
-
5
+
  2 * 5 ;
d 2(x ,s ) = ^ - ( 2 x - 5 ) - 2 J ( 2 x - /)
5 
0
d }  = 0, d 2(x,s) = 0,....
Демек,
f  i  \ 2
D(A) = 1-0,5A +  “   ,D(x,s;A,) = 2 x - s - A
v 6 ;
— -  x -  5 + 2*5 
2
Егер  A2 - З А + 6 = 0  болса,  онда  Я =  + 
^   .Сонымен  берілген  тендеудің
шешімі
(p(x) = ~  + Aj
О 
n
Я
(2 x -/)+
■ -* —/ + 2xt
t
i - o M + ^ x  
6
6
• -- \dt = -- 
6
(6*+ 2 )A -A 2x 
Я2-З Я  + 6
§4.4. Фредгольм  теоремалары
Жоғарыдағы  талқылаған  мэселелер  нэтижесінде  келесі  теоремаларды 
тұжырымдауға  болады.
1-теорема  (Фредголъмнің  1-  теоремасы).  Егер  Я  регуляр  сан.  Ал  ядросы 
үзіліссіз
(р{х) = Я J К  (*, 5)^ (5) ds + / ( * )  
(61)
біртекті  емес  интегралдық теңдеудің  жалғыз ғана үзіліссіз  шешімі  бар  болады,  ол 
шешім
<р(х) = Ajfi(x,s,A)f(s)ds + / ( * )
формуласымен анықталады.
Бұл теоремадан салдар ретінде мынадай тұжырым шығады.
2-теорема.  Егер  Я  регуляр сан болса, онда біртекті
72
/

(p(x)
 = Я J К  (x, s yp{s )ds
(62)
тендеудің  тек  нөлдік,  яғни  (р(х) = 0 
шешуі  ғана  бар  болады.  Сондыктан  егер
біртекті  (62) теңдеуінің  нөлдік  емес  шешімі  бар  болса.  Ол  жағдай тек Я шектік сан 
болтан жағдайда орындалады.
3-теорема.  Егер  Л,,  меншікті  сан  болса,  онда  біртекті  (62)  тендеуінің  <£>(х)^0 
шешімі  бар болады.
Дәлелдеуі.  Меншікті  Я(|  мон  резольвентаның  г  еселі  полюсі  болсын,  демек, 
резольвента
R(x ,s,A )
a_r(x,s)  |  a_r+](x,s) 
( Л - A J  
( A - A J - '
+
Я - Я ()
+ Ү,ак( х ,Б )(А - A0)k
к
  О
Лоран қатарына жіктелсін.
Мұндағы,  a_r( x , s ) *  0  .  Интеграл  теңдеуді  /?(х,.?,Я)  үшін  Лоран  қатармен 
ауыстырып,  одан  кейін  оның  екі  жағын  (Я -Я „)г  көбейтіп,  сонан  соң  Я = Я()  деп 
алып,
ь
a_r (x,s) = А \ К  (х, t )a_r {t,s)dt,
п
тендігін аламыз, яғни  теорема орынды.
Егер жоғарыдағы (61) тендеуіне түйіндес
b
щ(х)= 
K(s,xyf/{s)ds + g(x)
теңдеуіне Фредгольм әдісін толығымен  қайталасақ, оның да шешімін
у/(х) = g(x )+ A\ R(s,x\A)g(s)cls
a
түрінде анықтаймыз,  мұндагы,
R(s,x;A) = j ^ D ( s , x ; A ) .
Бұдан  бөлшектің  бөлімінде  Фредгольм  анықтауышы  D(A)  алымында  х  пен 
s -тің орындары ауысқан  D(s,x;A)  анықтауышы тұрганын байқаймыз.  Сондықтан 
түйіндес  теңдеу  мен  жоғарыдағы  (61)  теңдеуінің  меншікті  сандары  ортақ.  Демек, 
мына тұжырым орынды.
4-теорема.  Біртекті  (62) интегралдык теқцеуі  мен оган түйіндес
73

y/{x)
  = X\K(s,x\X)//(s)ds
(63)
a
тендеуі  пара-пар  (олардың  бірдей  шешімдері  бар  болады  немесе  екеуінщ  де 
шешімі жоқ болады).
•  Ескерту.  Егер  біртекті  интегралдық  теңдеу  нөлдік  емес  бір  (рЛх )  шешімі 
бар  болса,  онда  ол  теңдеудің  ақырсыз  көп  нөлдік  емес  шешімдері  бар  болады, 
себебі  сфй{х)  сол теңдеудің шешімі болады,  мұнда  с — кез келген тұрақты шама.
Біртекті  интегралдық  тендеудің  меншікті  мәні  Л  санына  сәйкес  сызықгы 
тэеуелсіз  шешімдерінің  саны  ол  мэннің  рангісі  деп  аталады.  Л  меншікті  мэн 
болсын,  ал  (р](х),<р2(х),...,(рт(х)  функциялары  сол  меншікті  мэнге  сәйкес  сызыкты 
тәуелсіз  меншікті  функциялар  болсын,  яғни  (62)  тендеуінің  Л -ға  сәйкес  нөлдік 
емес шешімдері
(р^х) = Л \ K(x,s)p.{s)ds  ( j  = 1,2,...,т)
a
болып жазылсын.
Меншікті  функциялардан  тұрақты  коэффициенттер  арқылы  түзілген  сызык­
ты  комбинация  да  меншікті  функция  болғандықтан,  бұл  функцияларға  ортого- 
нальдау  үдерісін  қолдануға  болады.  Демек,  меншікті  функцияларды  ортогональ 
жэне нормаланған деп айтуға болады.
Соңғы тендікті
Л
п
(pi(x) = \ K ( x 4s)pl(s)ds  { j  = 1,2,...,/я).
түрінде  көшіріп  жазайық.  Міне,  бұл  өрнектің  сол  жағы  K(x,s)  -тің  ортонор-
маланған  меншікті  функциялар  жүйесі  бойынша  түзілген  Фурье  коэффициент! 
екенін көреміз.  Бессель теңсіздігі бойынша

жүктеу/скачать 10,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: