Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- \(p(x)y/k(x)dx = ]
| b
m b y/(x) = Л )К (s, x)y/{s)ds - Л^ср/ (x)J у/f (s)y/{s)ds / = 1 a ( 66 ) түрінде жазайық. cp(x) функциясы (65) тендеуінің шешімі болсын. Тендеудің екі жағын да t//k(x) (k = 1,2,...,w) функциясына көбейтіп, нэтижелерді х бойынша а- дан b-ға дейін интегралдап, \(p(x)y/k(x)dx = ] Л) К (x,s)cp(s)ds rn y/k (x)dx - Я І f Cpt (s)(p(s)ds j [f/. (x)i//k {x)dx І 1 a a теңдеуін аламыз. Егер біз i//k (х) функциялары л ] K{x,s)y/k (s)ds =y/k(д) (k = 1,2,...,m) 75 тендеулерінің шешімдері екенін жэне олардың ортонормаланғанын еске алсақ, алдыңғы теңдеуді ь һ һ j (р{х)у/к (.x)dx = \у/к (s)(p{s)ds - Л\ (рк {s)(p{s)ds и а түрінде жазамыз. Бұдан Л ф 0 екенін ескеріп, \(pk(s)(p(s)ds = 0 (к - 1,2,...,m) (67) и өрнегін аламыз. Демек, (67) шарттарын пайдаланып, (65) теңдеуін в (р(х) = Л \К (x,s)(p(s)ds а түрінде жазамыз. Бұдан біз (65) теңдеуінің кез келген шешімі (62) тендеуін де қанағаттандыратынын көреміз. Олай болса, (р{х) шешімі сызықты тэуелсіз ше- шімдердің сызықты комбинациясы ретінде, яғни т 7 = 1 түрінде өрнектеледі екен. Енді барлық с, = 0 (/ = 1,2,...,т ) екенін көрсетейік. Ол үшін теңдіктің екі жағында q>k (х) -ке көбейтіп, нэтижені х бойынша а-дан b-ға дейін интегралдап, һ т Ь J(р{х)(рк (x)dx = ^ с , J (x)dx = ск (к = 1,2,...,т) a j - I a қатысын аламыз. Бұдан (67) өрнектерін ескеріп, ск = 0 (к = 1,2,...,/и) екенін шыға- рамыз. Сонымен (р = 0 , яғни біртекті теңдеудің тек нөлдік шешімі ғана бар болатынын көреміз. Енді түиіндес теңдеудің нөлге тең емес шешімі бар болатынын көрсетейік. (66) теңдеуінде у/{х) = у/к{х) {к> т) деп алып жэне ^ , ( х ) , ^ 2(х).....у/п(х) ортогональ функциялар жүйесі екенін ескеріп, оның үстіне һ у/к (х) = Л\ K(x,s)y/k (s)ds a екенін пайдаланып, һ у/к (т) = Л\ L(x,s)y/k (s)ds a (к > т) 76 тендігін аламыз, яғни у/ Д х ) ^ 0 түйіндес тендеудің шешімі. Демек, нотижеде 3- теоремаға қайшы тұжырымға келеміз. Бұл қайшылык т < п болуы мүмкін емес- тігін көрсетеді. Дэл осылай т > п жағдайының да мүмкін болмайтынын дәлелдей аламыз. Сондықтан т ~ п , демек, Фредгольмнің 2 теоремасы дэлелденді. Енді, А ядроның меншікті моні болған жағдайда, біртекті емес (61) тендеуін зерттейміз.(61) тендеуінің шешімі бар, оны (р(х) деп кабылдайык. Тендеудің екі жағын да сойкес түйіндес тендеудің меншікті функциялары ц/Д х)-ке көбейтіп, одан кейін х бойынша а-дан b-ға дейін интегралдап, " о \ (р{х)у/k(x)dx = \ (p{s) в Aj K (s,x}//k {x)dx ds + J f ( x y j / k (x)dx, өрнегін аламыз. Бұл жерде (63) тендеуін пайдалансақ, b һ һ J (р(х)у/к {x)dx = J (p(s)if/{s)ds + J f { x ) y / h (x)dx, жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|