Курсы оқу құралы
a n Бұдан \ f (х)ц/k(x)dx - 0 (A: = 1,2,...) (68) и
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| a
n Бұдан \ f (х)ц/k(x)dx - 0 (A: = 1,2,...) (68) и шығады. Демек, (61) тендеуінің шешілуі үшін / ( х ) функциясы (68) шартын қанағаттандыруы қажет, бұл шарттағы у/К(х) түйіндес функцияның А меншікті мэніне сэйкес функциялар. Енді осы (68) шарттарының жеткілікті де болатынын көрсетейік. (68) шарты орынды деп қабылдайық. L(x,s) ядросын (64) формуласы бойынша түземіз. Біз жоғарыда А саны бұл ядроның меншікті моні емес екенін көрдік, демек, {р(х) = / ( х ) + Aj L(x, s)(p{s)ds (69) теңдеуінің шешуі бар. Бұл тендеуді мына b m b ф ) = / ( х ) + Л\ K{x,s)(p{s)ds - А £ р , (x)J (s)ds a J = i “ түрінде жазып, оның екі жағын да ^/Дх) функциясына көбейтіп, одан кейін х бойынша йг-дан b -ға дейін интегралдап, j (x)dx = f / \x)y/t(x)dx + Ц - n a a 77 өрнегін аламыз. Бұдан (68) шартын пайдаланып, J (p{s)(p, (s)ds = 0 (к = 1,2, а w) екенін көреміз. Сонымен (61) теңдеуге келтірілді, яғни (69) тендеудің шешімі<р(.ү) (61) тең- деудің шешімі екен. Демек, (68) шарттары жеткілікті екенін дәлелдедік. Егер осы шарттар орындалса, онда біртекті емес (61) тендеудің жалпы шешімі кандай да бір дербес (р0(х) шешімі мен біртекті теңдеудің жалпы шешімінің косындысынан тұрады: т (p{x) = (p,{x) + ^ c j(pj { x \ һ 1 мұндағы, с - тұрақты шамалар. Сөйтіп, бұл жағдайда (61) тендеуінің акырсыз көп шешімдері бар болады. Дербес <р0(х) шешімін L(x,s) ядросының резольвен- тасы арқылы аныктайды. Міне, бұл талқылаулар нэтижесінде мына тұжырымды дэлелдедік. 7 теорема. (Фредгольмның теоремасы). Егер Л параметр (61) теңдеуінің меншікті мэні болса, онда ол теңдеудің шешілуі үшін сол теңдеудегі f ( x ) бос мүшесі (68) шартын қанағаттандыруы кажетті де, жеткілікті. (68) өрнектеріндегі у/к ( jc ) функциялары (61) теңдеуіне түйіндес біртекті теңдеудің меншікті функция- лары. Егер (68) шарттар орындалса, онда (61) теңдеуінің акырсыз коп жиынды шешімі бар болады да олар соңғы формуламен өрнектеледі. Сонымен дэлелденген теоремаларды былай корытындылауга болады. 1. Егер Фредгольмның біртекті интегралдық теңдеуінің тек нөльдік шешімі гана бар болса, онда оған сойкес біртекті емес интегралдық теңдеудің кез келген бос мүше f { x ) үшін жалғыз ғана шешімі бар болады. 2. Берілген біртекті интегралдық теңдеу мен оның түйіндес интегралдык тендеуінің шешімдері бірдей нөлге тең немесе Еіөлге тең емес болады. Бұган коса олардың меншікті мэндерінің рангтері бірдей болады. 3. Біртекті интегралдық теңдеудің нөлге тең емес шешімдері бар болған жағдайда, біртекті емес интегралдық тендеудің шешімі бар болуы үшін оның бос мүшесі түйіндес интеграпдық меншікті функцияларымен ортогональ болуы қажетті де, жеткілікті. |